对称群中元素的阶以及同阶元个数的研究
3对称群作为一类重要的群，对群论的研究有基础而重要的意义。其中，关于群元素的阶、子群、共轭类、商群及其阶数等方面，一直以来都是群论研究所关心的基本问题。在本文中，我们首先给出群的基本概念及相关性质，并且重点介绍一类重要的群——对称群及其性质。然后我们借助一定的组合工具，例如整数的分割等，来研究对称群中同阶元个数与其阶数之间的关系，给出相关的结果。对于类似的问题，我们还考虑了循环群的情况，并给出循环群中同阶元个数和阶数之间的关系。在此基础上我们指出进一步的研究方向。
目录
引言
引言
群论作为数学的一个分支，起源于十九世纪，其发展历史也较为悠久。作为群论的主要研究对象，群是定义在特定集合上的满足某种运算规则构成的封闭系统。其中的元类似于数，可以用加法或乘法等某一种运算规则将其结合起来，并满足某种规律。
随着科学技术的不断进步，群论在我们所熟知的许多领域例如计算机、理论物理、分析化学等存在着广泛的应用。近代数学的思想、观念和方法，深深渗透到众多自然和社会科学的研究中，同时也推动了这些学科的发展。由于众多学科定量研究越来越多，所以更需要用数学知识来描述其中定量或定性的规律，并借助数学方法来推动本学科的发展。此外，群论的思想及应用，在培养大学生抽象思维能力、加强数学修养和强化逻辑推理能力等方面，均起到重要作用。
对称群作为一类重要的群，在群论的研究中具有基础而重要的意义。其中，有关群元素的阶、子群、共轭类及其阶数[19]等方面的研究，一直以来都是群论研究中的基本问题。在本文中，我们将探讨对称群中元素的阶和同阶元个数之间的关系，并给出相关的结果，在此基础上，我们还对循环群中的元素及其阶数进行了相应的研究，相关结果也写在本论文中。由于循环群的结构较简单，具有很好的性质，而对称群相对而言较为复杂，这两类群均和其他的群之间有着紧密的联系，例如凯莱（Caylay）定理[3]告诉我们，任何一个群均同构于某个对称群的子群，因此本文将主要对这两类群进行研究和探讨。
1 绪论
群论的研究历史
在对代数方程的研究中，延伸出了群论这一学科，这是源于人们对代数方程进行逻辑思考，并且进行多重求证分析的结果。群论是人们对代数方程求解逻辑考察的结果。许多著名的数学家Gauss、C *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
auchy、Abel等人，对群论早期发展有着巨大贡献。
群论[1]作为数学学科的分支之一，从广义上讲，主要就是基于对称的研究。当一个物体具有某种对称性时，群论便可作为研究提供分析的工具来加以应用。通常意义上的对称实际上就是在某些特定的变换下仍能保持不变的性质。具有这类性质的物体广泛的出现在许多学科的研究对象中，比如几何中的圆，代数中的对称多项式[15]，分析中的三角函数[15]，化学中的分子结构[2]，物理学中的基本粒子等。上述这些背景使得群论的研究和应用显得较为重要和广泛，如在量子物理学中，对于某些基本粒子的存在性的预测可以借助群论的知识来证明。又比如化学研究什么因素会决定两个分子是否结合的问题，就可以借助分子轨道的对称性[2]。
1981年有限单群分类定理完成后，许多群论研究专家试图用一些基本数量关系来描述有限群中同阶元个数、子群的阶、元素的阶等，从而成为群论的重要研究方向。施武杰教授在上世纪八十年代时，提出用有限群元素阶的集合和有限群的阶来描述有限单群的思想方法。
对称群研究进展
对称群在群论研究中具有基础而重要的意义。其中，对元素的阶和同阶元个数之间关系的探究，是一个比较新颖的问题。施武杰教授曾经提出用群的阶和元素阶所构成的集合来描述有限单群[13]，并且证明了几乎所有的有限单群都可以通过这两个因素唯一确定，以上研究列入群论重要书籍《Unsolved problems in Group Theory》[16]中。之后，V.D.Mazurov等人在施武杰教授的研究方法基础之上，又完全证明了以上提出的定理[21]。
任给一个群，其元素的阶数和同阶元的个数之间的量化关系，这一问题目前为止尚未有明确答案。作为群论的基本问题之一，该问题的研究和解决具有一定的理论意义。孙宗明教授曾就此问题对某些特定的情况进行研究并得到一系列的结果，发表数篇关于《次对称群及其元素的阶》[512]的文章，发现了在比较小的情况下对称群所满足的一些特性。本文将就该问题对两类重要的群：对称群和循环群来进行研究，找出其中所蕴含的关系，然后总结归纳得出的结果。
1.3 研究问题
我们拟解决以下两个关键问题：
（1）以对称群为研究对象，讨论满足阶数相同的元素的个数和此阶数之间的关系，也就是说对集合，我们研究 与之间是否存在某种量化关系。
（2）同样的问题，对于循环群，结果又是怎样的。
2 基础知识
本节简要介绍问题研究需要用到的关于群论的基本概念和定理。
2.1 群的基本概念和性质
定义2.1.1[4]：设是一个非空集合。若在上定义一个代数运算，记作（或加法，记作），并且满足以下条件，则成为一个群：
1）对于中任意元素，有，
2）在中有一个元素，对群中任意的一个元素有，
3）对于中任一元素，都存在中一个元素使。
定义2.1.2：是群的某个非空子集，若对的运算法则也构成一个群，则称为的子群。
定义2.1.3：设是群的一个子群，对于中任一元素，我们称集合
为的一个左陪集，简记为。因为中有单位元，所以。同样我们可以定义右陪集为
显然，是子群到左陪集的一个一一对应，同样，是子群到右陪集的一个一一对应。
定义2.1.4：若群中子群的任意左陪集同时又是的右陪集，换句话说，能与中任意元交换，即满足：
那么叫做的正规子群。
目录
引言
引言
群论作为数学的一个分支，起源于十九世纪，其发展历史也较为悠久。作为群论的主要研究对象，群是定义在特定集合上的满足某种运算规则构成的封闭系统。其中的元类似于数，可以用加法或乘法等某一种运算规则将其结合起来，并满足某种规律。
随着科学技术的不断进步，群论在我们所熟知的许多领域例如计算机、理论物理、分析化学等存在着广泛的应用。近代数学的思想、观念和方法，深深渗透到众多自然和社会科学的研究中，同时也推动了这些学科的发展。由于众多学科定量研究越来越多，所以更需要用数学知识来描述其中定量或定性的规律，并借助数学方法来推动本学科的发展。此外，群论的思想及应用，在培养大学生抽象思维能力、加强数学修养和强化逻辑推理能力等方面，均起到重要作用。
对称群作为一类重要的群，在群论的研究中具有基础而重要的意义。其中，有关群元素的阶、子群、共轭类及其阶数[19]等方面的研究，一直以来都是群论研究中的基本问题。在本文中，我们将探讨对称群中元素的阶和同阶元个数之间的关系，并给出相关的结果，在此基础上，我们还对循环群中的元素及其阶数进行了相应的研究，相关结果也写在本论文中。由于循环群的结构较简单，具有很好的性质，而对称群相对而言较为复杂，这两类群均和其他的群之间有着紧密的联系，例如凯莱（Caylay）定理[3]告诉我们，任何一个群均同构于某个对称群的子群，因此本文将主要对这两类群进行研究和探讨。
1 绪论
群论的研究历史
在对代数方程的研究中，延伸出了群论这一学科，这是源于人们对代数方程进行逻辑思考，并且进行多重求证分析的结果。群论是人们对代数方程求解逻辑考察的结果。许多著名的数学家Gauss、C *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
auchy、Abel等人，对群论早期发展有着巨大贡献。
群论[1]作为数学学科的分支之一，从广义上讲，主要就是基于对称的研究。当一个物体具有某种对称性时，群论便可作为研究提供分析的工具来加以应用。通常意义上的对称实际上就是在某些特定的变换下仍能保持不变的性质。具有这类性质的物体广泛的出现在许多学科的研究对象中，比如几何中的圆，代数中的对称多项式[15]，分析中的三角函数[15]，化学中的分子结构[2]，物理学中的基本粒子等。上述这些背景使得群论的研究和应用显得较为重要和广泛，如在量子物理学中，对于某些基本粒子的存在性的预测可以借助群论的知识来证明。又比如化学研究什么因素会决定两个分子是否结合的问题，就可以借助分子轨道的对称性[2]。
1981年有限单群分类定理完成后，许多群论研究专家试图用一些基本数量关系来描述有限群中同阶元个数、子群的阶、元素的阶等，从而成为群论的重要研究方向。施武杰教授在上世纪八十年代时，提出用有限群元素阶的集合和有限群的阶来描述有限单群的思想方法。
对称群研究进展
对称群在群论研究中具有基础而重要的意义。其中，对元素的阶和同阶元个数之间关系的探究，是一个比较新颖的问题。施武杰教授曾经提出用群的阶和元素阶所构成的集合来描述有限单群[13]，并且证明了几乎所有的有限单群都可以通过这两个因素唯一确定，以上研究列入群论重要书籍《Unsolved problems in Group Theory》[16]中。之后，V.D.Mazurov等人在施武杰教授的研究方法基础之上，又完全证明了以上提出的定理[21]。
任给一个群，其元素的阶数和同阶元的个数之间的量化关系，这一问题目前为止尚未有明确答案。作为群论的基本问题之一，该问题的研究和解决具有一定的理论意义。孙宗明教授曾就此问题对某些特定的情况进行研究并得到一系列的结果，发表数篇关于《次对称群及其元素的阶》[512]的文章，发现了在比较小的情况下对称群所满足的一些特性。本文将就该问题对两类重要的群：对称群和循环群来进行研究，找出其中所蕴含的关系，然后总结归纳得出的结果。
1.3 研究问题
我们拟解决以下两个关键问题：
（1）以对称群为研究对象，讨论满足阶数相同的元素的个数和此阶数之间的关系，也就是说对集合，我们研究 与之间是否存在某种量化关系。
（2）同样的问题，对于循环群，结果又是怎样的。
2 基础知识
本节简要介绍问题研究需要用到的关于群论的基本概念和定理。
2.1 群的基本概念和性质
定义2.1.1[4]：设是一个非空集合。若在上定义一个代数运算，记作（或加法，记作），并且满足以下条件，则成为一个群：
1）对于中任意元素，有，
2）在中有一个元素，对群中任意的一个元素有，
3）对于中任一元素，都存在中一个元素使。
定义2.1.2：是群的某个非空子集，若对的运算法则也构成一个群，则称为的子群。
定义2.1.3：设是群的一个子群，对于中任一元素，我们称集合
为的一个左陪集，简记为。因为中有单位元，所以。同样我们可以定义右陪集为
显然，是子群到左陪集的一个一一对应，同样，是子群到右陪集的一个一一对应。
定义2.1.4：若群中子群的任意左陪集同时又是的右陪集，换句话说，能与中任意元交换，即满足：
那么叫做的正规子群。
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/jsjkxyjs/1704.html
