椭圆型偏微分方程的数值解(附件)【字数：7217】
椭圆型偏微分方程问题的研究具有重要的理论意义和实用价值，它广泛应用于地球物理学，心脏病学，无损探伤和离子物理学还有生物电场问题等领域，如医学成像中CT机的发明和应用，地质勘探中地貌的探测，遥感科学中地表参数的反馈，光学信号处理中信号的重构等。本文以椭圆型偏微分方程为背景，对其数值解法进行研究，具体内容如下（1）利用有限元方法对二维椭圆型方程进行数值求解，推导了有限元离散过程并给出了误差比较；利用变量分离法对二维椭圆型方程进行数值求解；数值算例误差分析，比较有限元方法和变量分离法的计算效果；具体算法的步骤实施； （5）研究结论及其意义。关键词椭圆型偏微分方程；有限元法；变量分离法
目 录
第一章 绪论1
1.1 课题的研究背景与意义1
1.2 求解椭圆型偏微分方程问题常见的解法3
1.3 本文的主要工作4 第二章 算法介绍5
2.1 分离变量法5
2.2 有限元法5
2.2.1 计算流程图6
2.2.2 有限元法的求解步骤7
第三章椭圆型偏微分方程问题求解 8
3.1 有限元法求解椭圆型方程问题8
3.2 变量分离法求解椭圆型方程问题15
3.3 数值算例18
结论20
致谢21
参考文献22
第一章 绪 论
1.1 课题研究的背景和意义
椭圆型偏微分方程，简称椭圆型方程，一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中，就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。
二阶椭圆型方程形如
（11）
的方程，若为正定的矩阵,则称为椭圆型的；若 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: @351916072@
的最大特征值与最小特征值之比有界，则方程(11)称为一致椭圆型的。经常考虑的是方程(11)的如下三种边值问题;
①第一边值问题（狄利克雷问题）,其边界条件为。
②第二边值问题(诺伊曼问题),其边界条件为
③第三边值问题(混合问题),其边界条件为，这里α可在嬠的部分点集上为0,v方向与补法线方向夹角小于π/2。?
二阶椭圆型方程的研究甚早，在50年代以前，对方程(1.1) 的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果。在几十年的发展中，建立了各种解法，例如，绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法，等等。?
绍德尔方法是建立在绍德尔估计之上的。设表示k次连续可微且k阶微商赫德尔连续的函数类，又设是中的区域，方程(11)的所有系数和自由项都属于。所谓绍德尔估计,是指若方程(11)在中有解u,并且,则
式中с是一个与方程(1.1)和区域有关的常数。?
在上述假设下,由泊松方程具有解u以及一般线性方程的极值原理,当с≤0时可以得的估计。因此利用绍德尔估计和参数的连续开拓就可以证明方程(8) 的狄利克雷问题的解的存在性。作为极值原理的一个直接推论：当с≤0时狄利克雷问题的解是惟一的。?
泛函方法肇端于K.O.弗里德里希斯1934年关于对称椭圆算子半有界扩张的工作。H.外尔，C.Л.索伯列夫、C.Γ.米赫林和М.И.维希克等人在40年代末期的进一步研究表明，解椭圆型方程的基本边值问题等价于解形如x＋AX＝?的算子方程,其中A是希尔伯特空间的全连续算子。从而由泛函分析的里斯－绍德尔理论得到椭圆型方程可解性的所谓“二择一原理”。?
近几十年来椭圆型方程的重大进展之一，是解拟线性椭圆型方程
? (12)
通常用勒雷－绍德尔不动点原理。?
设是巴拿赫空间,T是从到的一个完全连续映射，对所有x∈B,使得T(x,0)=0。若存在M,使得对满足x＝T(x,t)的所有,有，则T1x＝T(x,1)在B中有不动点。这就是勒雷绍德尔不动点原理。考虑问题簇
式中Q1＝α，Qt对所有都是椭圆的。定义u＝T(υ,t)是线性狄利克雷问题
的惟一解。于是可以看出,方程(12)的狄利克雷问题的解u就是T(υ,1)的不动点。通常取B为,0<β<1。对系数加以适当限制就可使得T满足勒雷－绍德尔原理的要求，于是方程(1.2)的狄利克雷问题就化为求问题簇的(捙)解的先验估计。?
目 录
第一章 绪论1
1.1 课题的研究背景与意义1
1.2 求解椭圆型偏微分方程问题常见的解法3
1.3 本文的主要工作4 第二章 算法介绍5
2.1 分离变量法5
2.2 有限元法5
2.2.1 计算流程图6
2.2.2 有限元法的求解步骤7
第三章椭圆型偏微分方程问题求解 8
3.1 有限元法求解椭圆型方程问题8
3.2 变量分离法求解椭圆型方程问题15
3.3 数值算例18
结论20
致谢21
参考文献22
第一章 绪 论
1.1 课题研究的背景和意义
椭圆型偏微分方程，简称椭圆型方程，一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中，就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。
二阶椭圆型方程形如
（11）
的方程，若为正定的矩阵,则称为椭圆型的；若 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: @351916072@
的最大特征值与最小特征值之比有界，则方程(11)称为一致椭圆型的。经常考虑的是方程(11)的如下三种边值问题;
①第一边值问题（狄利克雷问题）,其边界条件为。
②第二边值问题(诺伊曼问题),其边界条件为
③第三边值问题(混合问题),其边界条件为，这里α可在嬠的部分点集上为0,v方向与补法线方向夹角小于π/2。?
二阶椭圆型方程的研究甚早，在50年代以前，对方程(1.1) 的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果。在几十年的发展中，建立了各种解法，例如，绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法，等等。?
绍德尔方法是建立在绍德尔估计之上的。设表示k次连续可微且k阶微商赫德尔连续的函数类，又设是中的区域，方程(11)的所有系数和自由项都属于。所谓绍德尔估计,是指若方程(11)在中有解u,并且,则
式中с是一个与方程(1.1)和区域有关的常数。?
在上述假设下,由泊松方程具有解u以及一般线性方程的极值原理,当с≤0时可以得的估计。因此利用绍德尔估计和参数的连续开拓就可以证明方程(8) 的狄利克雷问题的解的存在性。作为极值原理的一个直接推论：当с≤0时狄利克雷问题的解是惟一的。?
泛函方法肇端于K.O.弗里德里希斯1934年关于对称椭圆算子半有界扩张的工作。H.外尔，C.Л.索伯列夫、C.Γ.米赫林和М.И.维希克等人在40年代末期的进一步研究表明，解椭圆型方程的基本边值问题等价于解形如x＋AX＝?的算子方程,其中A是希尔伯特空间的全连续算子。从而由泛函分析的里斯－绍德尔理论得到椭圆型方程可解性的所谓“二择一原理”。?
近几十年来椭圆型方程的重大进展之一，是解拟线性椭圆型方程
? (12)
通常用勒雷－绍德尔不动点原理。?
设是巴拿赫空间,T是从到的一个完全连续映射，对所有x∈B,使得T(x,0)=0。若存在M,使得对满足x＝T(x,t)的所有,有，则T1x＝T(x,1)在B中有不动点。这就是勒雷绍德尔不动点原理。考虑问题簇
式中Q1＝α，Qt对所有都是椭圆的。定义u＝T(υ,t)是线性狄利克雷问题
的惟一解。于是可以看出,方程(12)的狄利克雷问题的解u就是T(υ,1)的不动点。通常取B为,0<β<1。对系数加以适当限制就可使得T满足勒雷－绍德尔原理的要求，于是方程(1.2)的狄利克雷问题就化为求问题簇的(捙)解的先验估计。?
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