标准特征值导数的算法研究(附件)【字数：6481】
摘 要摘 要本文研究了标准特征值问题、二次特征值问题的灵敏度分析及其应用。不同的矩阵应该用怎么样的方法解决，就是说，如何去解一个已经确定的矩阵更加容易，更加合适是十分关键的，就好像说这篇文章中介绍的一些特征值的解决方法，比如对称QR方法、Jacobi方法等，这些都可以更加快捷简单的得到矩阵特征值，文中对此作了一部分解释，另外，收敛性的情况在原文中也有涉及。还有关于特征值导数在生活中到底有什么用，这个在我们现实中就有了很多的体现，很多的振动问题在工程设计中就很明显，比如说房屋建筑和桥路的建设的振动，器械中部件的组织，航行机翼的振动，还有一部分类似情况下的数学上的东西都可以变成矩阵特征值与特征向量的问题。关键词特征值导数；矩阵特征值；幂法；灵敏度；模型修正
目录
第一章 绪 论 1
1.1研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3研究方法 1
第二章：矩阵特征值、特征向量基础概述及算法总结 2
2.1 什么是矩阵特征值及特征向量 2
2.2 矩阵特征值、特征向量部分定义定理 2
2.3 矩阵特征值基础算法 5
2.4 什么是幂法 6
2.5 基本幂法 6
第三章：标准特征值、特征向量的导数及其求法 10
3.1单参数标准特征值问题的灵敏度分析 11
3.1.1一般矩阵特征值问题的灵敏度分析 11
第四章：标准特征值问题特征对导数的计算 14
4.1研究概况 14
第五章：在结构设计、模型修正、故障诊断等领域中特征对关于系数参数的偏导数应用 17
结 论 20
致 谢 21
参考文献 22
第一章 绪 论
1.1研究背景
以特征值问题的灵敏度分析为基础，我们进而研究了结构动力学设计问题。这类问题可以被表述为一个优化问题，我们进而分析该问题的性质，并证明问题的最优解存在与否，并给出了其具体表达式，由此，我们就可以推导出该问题取得局部最优解的一个必要条件，并进而提出了求解该问题的算法，并以很多实际应用问题为例来说明理论和算法的 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
应用。
1.2 研究意义和目的
正像人们生活中所见到的一样，标准特征值对灵敏度的研究在很多地方有着广泛的应用，尤其是在航天航空飞机，船海船舶，建筑建设等很多重要领域都有体现，因为我们需要以此为工具对其进行振动分析和稳定性分析。另外，当具体到对其动力分析时候，我们可以使用有限元方法或者有限分法进行离散化，这样就变成了特征值问题。所以，对矩阵相关问题的研究成果和手段都具有着很关键的影响与意义。
1.3研究方法
首先我们要介绍的便是什么是矩阵以及矩阵特征值，随后便开始对特征值的计算方法进行简单介绍，其中包括幂法、反幂法、QR方法、Jacobi方法这些通用的比较完善的方法，之后，我们会对特征值和特征向量的导数进行研究，包括其定义算法，中间可以分为单参数标准特征值的灵敏度研究和一般矩阵特征值灵敏度的分析。最后，我们会在研究过程中不断对自身所遇到的困难进行记录与解决，希望可以得出自己的结论。
第二章：矩阵特征值、特征向量基础概述及算法总结
2.1 什么是矩阵特征值及特征向量
定义1:设是数域上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数,存在一个非零向量,使得= ξ。那么称为B的一个特征值，而称为的属于特征值 的一个特征向量。
2.2 矩阵特征值、特征向量部分定义定理
从几何上来看, 经过一次线性变换后特征向量的方向,仍然保持在同一条直线上,这时或者方向不变(> 0),或者方向相( < 0),至于 = 0 时,我们可以把特征向量线性变换变成0.如果是线性变换B的属于特征值 的特征向量,那么的任何一个非零倍数也是的属于的特征向量.因为从(1)式可以推出.这说明特征值不能唯一的去确定一个特征向量.相反,特征向量却可以唯一的决定一个特征值。因为,一个特征向量只能属于一个特征值.现在我们来继续给出寻找特征值以及特征向量的方法.设V是数域上维线性空间, 是它的一组基,线性变换B在这组基下的矩阵是B. 设是特征值, 它的一个特征向量ξ 在下的坐标是 , ,?, .则的坐标是
.
的坐标是
因此(1)式相当于坐标之间的等式
= (2)
或
= 0.
这说明特征向量ξ的坐标满足齐次方程组
,
????
即
由于ξ≠0,所以它的坐标不全为零, 也即是说齐次方程组有非零解.由此我们推导知道,齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零。
我们引入以下的定义：
定义2：设是数域上一 级矩阵,是一个数字.矩阵 的行列式
|| 称为的特征多项式,这是数域 上的一个次多项式。
上面的分析说明，如果 是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵 的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次线性方程组(3)就有非零解。 这时，如果( )是方程组(3)的一个非零解，那么非零向量= 满足(1)，即是线性变换的一个特征值,就是属于特征值 的一个特征向量。
因此，确定一个线性变换B 的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:
1. 在线性空间V 中取一组基 , ,?, ,写出在这组基下的矩阵；
目录
第一章 绪 论 1
1.1研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3研究方法 1
第二章：矩阵特征值、特征向量基础概述及算法总结 2
2.1 什么是矩阵特征值及特征向量 2
2.2 矩阵特征值、特征向量部分定义定理 2
2.3 矩阵特征值基础算法 5
2.4 什么是幂法 6
2.5 基本幂法 6
第三章：标准特征值、特征向量的导数及其求法 10
3.1单参数标准特征值问题的灵敏度分析 11
3.1.1一般矩阵特征值问题的灵敏度分析 11
第四章：标准特征值问题特征对导数的计算 14
4.1研究概况 14
第五章：在结构设计、模型修正、故障诊断等领域中特征对关于系数参数的偏导数应用 17
结 论 20
致 谢 21
参考文献 22
第一章 绪 论
1.1研究背景
以特征值问题的灵敏度分析为基础，我们进而研究了结构动力学设计问题。这类问题可以被表述为一个优化问题，我们进而分析该问题的性质，并证明问题的最优解存在与否，并给出了其具体表达式，由此，我们就可以推导出该问题取得局部最优解的一个必要条件，并进而提出了求解该问题的算法，并以很多实际应用问题为例来说明理论和算法的 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
应用。
1.2 研究意义和目的
正像人们生活中所见到的一样，标准特征值对灵敏度的研究在很多地方有着广泛的应用，尤其是在航天航空飞机，船海船舶，建筑建设等很多重要领域都有体现，因为我们需要以此为工具对其进行振动分析和稳定性分析。另外，当具体到对其动力分析时候，我们可以使用有限元方法或者有限分法进行离散化，这样就变成了特征值问题。所以，对矩阵相关问题的研究成果和手段都具有着很关键的影响与意义。
1.3研究方法
首先我们要介绍的便是什么是矩阵以及矩阵特征值，随后便开始对特征值的计算方法进行简单介绍，其中包括幂法、反幂法、QR方法、Jacobi方法这些通用的比较完善的方法，之后，我们会对特征值和特征向量的导数进行研究，包括其定义算法，中间可以分为单参数标准特征值的灵敏度研究和一般矩阵特征值灵敏度的分析。最后，我们会在研究过程中不断对自身所遇到的困难进行记录与解决，希望可以得出自己的结论。
第二章：矩阵特征值、特征向量基础概述及算法总结
2.1 什么是矩阵特征值及特征向量
定义1:设是数域上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数,存在一个非零向量,使得= ξ。那么称为B的一个特征值，而称为的属于特征值 的一个特征向量。
2.2 矩阵特征值、特征向量部分定义定理
从几何上来看, 经过一次线性变换后特征向量的方向,仍然保持在同一条直线上,这时或者方向不变(> 0),或者方向相( < 0),至于 = 0 时,我们可以把特征向量线性变换变成0.如果是线性变换B的属于特征值 的特征向量,那么的任何一个非零倍数也是的属于的特征向量.因为从(1)式可以推出.这说明特征值不能唯一的去确定一个特征向量.相反,特征向量却可以唯一的决定一个特征值。因为,一个特征向量只能属于一个特征值.现在我们来继续给出寻找特征值以及特征向量的方法.设V是数域上维线性空间, 是它的一组基,线性变换B在这组基下的矩阵是B. 设是特征值, 它的一个特征向量ξ 在下的坐标是 , ,?, .则的坐标是
.
的坐标是
因此(1)式相当于坐标之间的等式
= (2)
或
= 0.
这说明特征向量ξ的坐标满足齐次方程组
,
????
即
由于ξ≠0,所以它的坐标不全为零, 也即是说齐次方程组有非零解.由此我们推导知道,齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零。
我们引入以下的定义：
定义2：设是数域上一 级矩阵,是一个数字.矩阵 的行列式
|| 称为的特征多项式,这是数域 上的一个次多项式。
上面的分析说明，如果 是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵 的特征多项式的一个根；反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即，那么齐次线性方程组(3)就有非零解。 这时，如果( )是方程组(3)的一个非零解，那么非零向量= 满足(1)，即是线性变换的一个特征值,就是属于特征值 的一个特征向量。
因此，确定一个线性变换B 的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步:
1. 在线性空间V 中取一组基 , ,?, ,写出在这组基下的矩阵；
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