球面上曲线刻画及其应用
球面曲线插值拟合被广泛应用于海洋学、医疗研究、气象学、航天事业等诸多领域。在了解了不同的球面数据插值方法的理论基础和基本性质的基础上，本文主要对3D空间中，球面上两点之间的曲线进行插值拟合。首先，通过一般球面的参数方程，利用MATLAB编程生成90组球面上的点；其次，给出球面上两个向量之间的球面线性插值法，通过该法得到插值后的向量轨迹，利用MATLAB编程绘出过球面的曲线。我们发现给出的球面线性插值存在一定的缺陷，从而利用四元数插值变换对模型进行改进，得到更优的插值公式。
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
1 绪论 4
1.1选题背景和研究意义 4
1.2国内外研究现状 4
1.3 本文的特色之处 4
1.4 文章结构安排 4
2 球面数据插值方法的理论基础和基本性质 5
2.1 球面PH曲线插值 5
2.2 球面上Lagrange插值 7
2.3 球面上hermite插值 8
2.4 四元数球面线性插值 8
3 关于球面的向量线性插值 8
3.1球面上已知点的选取 9
3.2球面线性插值 9
3.2.1一般线性插值 9
3.2.2球面向量线性插值 9
4 数据模拟 11
4.1球心在原点的单位球上点的生成 11
4.2球心在原点的单位球上曲线刻画 13
5 模型改进 15
5,1模型不足之处 15
5.2模型改进 16
6 应用实例 17
7 结论与展望 17
7.1总结 17
7.2展望 17
致谢 18
参考文献 19
附录A 20
附录B 20
附录C 21
球面上曲线刻画及其应用
信科111 刘晓飞
引言
1 绪论
1.1选题背景和研究意义
插值法是函数 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
逼近的一种重要手段，在计算机被广泛使用的今天，插值法和MATLAB等数学软件结合起来，得到广泛应用，能够解决更多的插值拟合问题。通过历代数学家的的不懈研究，一元插值问题的理论已经日趋完善。但是随着社会发展，多元插值问题已经成为一个重要方面，它的应用渗透到各个领域，如海洋学、医疗研究、航天事业以及气象学等。其中，球面数据插值与逼近问题应用尤为广泛。比如，对资源环境的数据插值与逼近；采集地球表面的离散数据点后，由这些数据点出发对气压、臭氧、磁场和重力场的数学建模；对脑电图的描绘；对物理大地量学中的重力场测量在许多实际插值问题中，如做一个行星围绕太阳旋转的动画，假设只知道旋转过程中两个位置，而我们想依此用软件模拟得到行星在这两个位置中的行驶轨迹。这就不要求对大规模数据进行处理，只需要对两点间的轨迹进行模拟与分析，这样我们可以通过球面线性插值进行插值拟合，得到理想曲线，再根据自己的要求对曲线上任意一点的状态与性质等进行研究。该课题的研究不仅具有一定的理论意义，还具有一定的实际意义。
1.2国内外研究现状
随着科技及生产生活的需要，插值问题在各个领域得到了越来越广泛的应用，因此渐渐被人们所重视。一元、二元插值在我国古代就被应用于历法[1]，发展到现在，一元插值问题的研究已经趋于完善，多元多项式插值成为一个重要的研究领域。
多元多项式插值的研究要复杂的多。针对插值多项式不唯一的情况，多元插值多项式插值节点的适定性成为众多学者的研究方向。1965年，梁学章教授借助代数几何构造了多元多项式的插值适定结点组[2]，在此基础上给出了中插值适定结点组的生成方法，即添加圆锥曲线法和添加直线法。1998年，为了中Lagrange插值问题的进一步研究，梁学章和吕春梅提出沿平面代数曲线插值的概念[3]。近年来，学者们给出了许多不同的球面插值方法，其中包括多元Lagrange插值、多元Hermite插值以及多元Bikhoff插值等。特别地，对于嵌入在欧式空间中的单位球面，如何利用球面上有限的样本点构建数学模型，从而对未知状态进行预测的相关理论正被运用到各个领域。如德国的Freeden研究小组已将球面数据处理的一些理论应用于卫星发射、地表重力场测量等领域[4]。
目前，对于球面散乱数据插值与逼近问题的研究，比较全面的有两个小组：一是美国的Narcowich，Ward，Wendland团队，该团队主要对球面基函数插值及其稳定性进行研究[5,6,7]；二是澳大利亚的Sloan，Womersley团队，该团队主要对球面数值求积公式构造、球面超插值逼近、球面相关数值实验及球面点集选取规则等反面进行研究[8,9]。
1.3 本文的特色之处
随着计算机图形学理论的不断发展与完善以及计算机辅助几何设计的应用范围不断扩大，球面曲线插值问题变得愈加重要。本文以空间中的球面做基础，该球面表达式清晰简单，形状容易理解分析，对于它的插值数据更易于选取，减小实验准备条件的难度。使用MATLAB软件进行分析处理，该软件简单易学，更有助于理解。
1.4 文章结构安排
本文共分为六个部分，各部分内容安排如下：
第一部分，绪论。主要介绍本文选题的背景和研究意义，国内外相关问题的研究状况，本文结构安排和文章特色之处；
第二部分，给出球面数据插值方法的理论基础和基本性质。通过查阅文献，给出几种球面数据插值方法的介绍，便于本文方法的给出；
第三部分，球面向量线性插值法。首先，给出空间中，球面上数据的生成；接着，给出球面线性插值法的具体表示，以及该法在一般球面上的应用；
第四部分，数据模拟。通过Matlab数学软件生成空间单位球面上的点，再随意选取两组有代表性的数据进行数值模拟，结合不同情况得出结果，画出图形；
第五部分，模型改进。针对球面线性插值存在的不足，通过四元数插值进行模型改进；
第六部分，结论与展望。
2 球面数据插值方法的理论基础和基本性质
已有的球面数据插值方法包括球面PH曲线插值、球面上Lagrange插值、球面上hermite插值、四元数球面线性插值等。
2.1 球面PH曲线插值
针对球面上一类特殊曲线，即PH曲线，给出Hermite插值。与其它经典的参数曲线相比，PH曲线有自身的优点：
（1）保持着与B样条和贝塞尔表示的完全一致性[10]；
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
1 绪论 4
1.1选题背景和研究意义 4
1.2国内外研究现状 4
1.3 本文的特色之处 4
1.4 文章结构安排 4
2 球面数据插值方法的理论基础和基本性质 5
2.1 球面PH曲线插值 5
2.2 球面上Lagrange插值 7
2.3 球面上hermite插值 8
2.4 四元数球面线性插值 8
3 关于球面的向量线性插值 8
3.1球面上已知点的选取 9
3.2球面线性插值 9
3.2.1一般线性插值 9
3.2.2球面向量线性插值 9
4 数据模拟 11
4.1球心在原点的单位球上点的生成 11
4.2球心在原点的单位球上曲线刻画 13
5 模型改进 15
5,1模型不足之处 15
5.2模型改进 16
6 应用实例 17
7 结论与展望 17
7.1总结 17
7.2展望 17
致谢 18
参考文献 19
附录A 20
附录B 20
附录C 21
球面上曲线刻画及其应用
信科111 刘晓飞
引言
1 绪论
1.1选题背景和研究意义
插值法是函数 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
逼近的一种重要手段，在计算机被广泛使用的今天，插值法和MATLAB等数学软件结合起来，得到广泛应用，能够解决更多的插值拟合问题。通过历代数学家的的不懈研究，一元插值问题的理论已经日趋完善。但是随着社会发展，多元插值问题已经成为一个重要方面，它的应用渗透到各个领域，如海洋学、医疗研究、航天事业以及气象学等。其中，球面数据插值与逼近问题应用尤为广泛。比如，对资源环境的数据插值与逼近；采集地球表面的离散数据点后，由这些数据点出发对气压、臭氧、磁场和重力场的数学建模；对脑电图的描绘；对物理大地量学中的重力场测量在许多实际插值问题中，如做一个行星围绕太阳旋转的动画，假设只知道旋转过程中两个位置，而我们想依此用软件模拟得到行星在这两个位置中的行驶轨迹。这就不要求对大规模数据进行处理，只需要对两点间的轨迹进行模拟与分析，这样我们可以通过球面线性插值进行插值拟合，得到理想曲线，再根据自己的要求对曲线上任意一点的状态与性质等进行研究。该课题的研究不仅具有一定的理论意义，还具有一定的实际意义。
1.2国内外研究现状
随着科技及生产生活的需要，插值问题在各个领域得到了越来越广泛的应用，因此渐渐被人们所重视。一元、二元插值在我国古代就被应用于历法[1]，发展到现在，一元插值问题的研究已经趋于完善，多元多项式插值成为一个重要的研究领域。
多元多项式插值的研究要复杂的多。针对插值多项式不唯一的情况，多元插值多项式插值节点的适定性成为众多学者的研究方向。1965年，梁学章教授借助代数几何构造了多元多项式的插值适定结点组[2]，在此基础上给出了中插值适定结点组的生成方法，即添加圆锥曲线法和添加直线法。1998年，为了中Lagrange插值问题的进一步研究，梁学章和吕春梅提出沿平面代数曲线插值的概念[3]。近年来，学者们给出了许多不同的球面插值方法，其中包括多元Lagrange插值、多元Hermite插值以及多元Bikhoff插值等。特别地，对于嵌入在欧式空间中的单位球面，如何利用球面上有限的样本点构建数学模型，从而对未知状态进行预测的相关理论正被运用到各个领域。如德国的Freeden研究小组已将球面数据处理的一些理论应用于卫星发射、地表重力场测量等领域[4]。
目前，对于球面散乱数据插值与逼近问题的研究，比较全面的有两个小组：一是美国的Narcowich，Ward，Wendland团队，该团队主要对球面基函数插值及其稳定性进行研究[5,6,7]；二是澳大利亚的Sloan，Womersley团队，该团队主要对球面数值求积公式构造、球面超插值逼近、球面相关数值实验及球面点集选取规则等反面进行研究[8,9]。
1.3 本文的特色之处
随着计算机图形学理论的不断发展与完善以及计算机辅助几何设计的应用范围不断扩大，球面曲线插值问题变得愈加重要。本文以空间中的球面做基础，该球面表达式清晰简单，形状容易理解分析，对于它的插值数据更易于选取，减小实验准备条件的难度。使用MATLAB软件进行分析处理，该软件简单易学，更有助于理解。
1.4 文章结构安排
本文共分为六个部分，各部分内容安排如下：
第一部分，绪论。主要介绍本文选题的背景和研究意义，国内外相关问题的研究状况，本文结构安排和文章特色之处；
第二部分，给出球面数据插值方法的理论基础和基本性质。通过查阅文献，给出几种球面数据插值方法的介绍，便于本文方法的给出；
第三部分，球面向量线性插值法。首先，给出空间中，球面上数据的生成；接着，给出球面线性插值法的具体表示，以及该法在一般球面上的应用；
第四部分，数据模拟。通过Matlab数学软件生成空间单位球面上的点，再随意选取两组有代表性的数据进行数值模拟，结合不同情况得出结果，画出图形；
第五部分，模型改进。针对球面线性插值存在的不足，通过四元数插值进行模型改进；
第六部分，结论与展望。
2 球面数据插值方法的理论基础和基本性质
已有的球面数据插值方法包括球面PH曲线插值、球面上Lagrange插值、球面上hermite插值、四元数球面线性插值等。
2.1 球面PH曲线插值
针对球面上一类特殊曲线，即PH曲线，给出Hermite插值。与其它经典的参数曲线相比，PH曲线有自身的优点：
（1）保持着与B样条和贝塞尔表示的完全一致性[10]；
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