分数阶超混沌系统的函数级联同步算法研究
如何有效利用和控制混沌系统在非线性科学研究中极为重要，是当今国际上热门且前沿的课题之一。分数阶混沌系统因其在动力学中的独特性质，使其在生物医学、神经网络等众多研究领域中都有巨大的价值，是目前的研究热点。本文基于李雅普诺夫稳定理论，利用预估校正法（Adams-Bashforth-Moulton），提出了分数阶超混沌系统的函数级联同步方法。然后，我们以分数阶超混沌系统、系统、Lü系统为例，通过选择适当的控制子，实现了分数阶的函数级联同步，最后的数值模拟结果充分说明了我们所提出的同步方法是有效的。关键字超混沌系统；混沌控制与同步；分数阶Research on function cascade synchronization of fractional order hyperchaotic systemStudent majoring in Information and Computing Science Yunfeng Zhao Tutor Hongli AnAbstractHow to use and control chaotic systems effectively is extremely important in nonlinear science research and becomes one of the most popular topics in the world. Due to the distinctive properties in dynamics, fractional chaotic systems have great values in many fields such as biomedicine and neural network, which make them be a hot topics nowdays. Based on the Lyapunov stability theory and use of the predictive correction method (Adams-Bashforth-Moulton), a function cascade synchronization algorithm for fractional hyperchaotic systems is *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
proposed. Then, we take the fractional hyperchaotic Lorenz system, Chen system and Lü system as examples, by choosing suitable controllers, the fractional order cascade synchronization method is achieved. Finally, the numerical simulation results fully show the effectiveness of the synchronization method we proposed.1 引言“”是混沌这个词的英语表述，其来自于古希腊语中“”一词，其含义是世界上的一切生物出现之前就有的一个广袤的空间[1]。目前混沌逐渐成为了国际上的一个热点问题，因为它为人们观测世界提供了很多的便利，所以它也同“相对论”和“量子论”一起称为物理学最重要的三大发现。1.1混沌研究简介1.1.1混沌研究的历史及意义年，美国的科学家Lorenz在《大气科学》上提出了“确定性非周期流”[2]。为了观察与记录天气的变化，他从对流问题中提取出来一个维数是3的常微分方程组，从中他发现了天气的变化对初值非常敏感。众所周知的“蝴蝶效应”也就是由此而来，因此人们把他称作是混沌学的“鼻祖”。自1970年以后，混沌飞速发展，一系列成果如雨后春笋般一一涌现。“”[3]这个词第一次被公认使用是在1975年，由李天岩和J.A.Yorke提出。年，世界上首次大型国际混沌研究会议在欧洲举办，这意味着混沌这门学科的开始。在科学家研究周期的倍化在通向混沌道路的问题时，普适常量[4]被其发现。80年代以后，对于混沌的研究又上了一个新的阶段，例如Chao电路由蔡少棠教授在1983年提出[5]；Chen系统由陈关荣教授在1999年发现[6]；年，吕金虎给出了统一系统[7]和Lü系统，其它一系列成果我们将不再详细介绍。 在和共同提出了混沌同步理论且实验证明之后[8]，人们开始对混沌产生了兴趣。此后，多种同步类型和控制同步的方法被相继提出（如自适应控制[9]，滑模控制[10]等）。随着时代的发展，混沌研究的逐渐深入，混沌研究不仅仅限于在物理学领域，它也逐渐发展到了其他各种领域中，为其他领域带来了很大的便利。它不仅仅推动了其他的领域的发展，同时也与其他的领域学科相结合，更让人们对混沌有了更深入的了解。目前，混沌的渗透领域繁多，几乎在任何学科领域中都存在混沌的影子，如信息学，生物学，电子学，地质学，宇宙学......甚至在美术，音乐，经济学等方面都应用广泛。1.1.2 混沌的定义及其特征迄今国内外对混沌系统的定义有很多，大致有下面几种Melnikov、Li-Yorke、Famer混沌定义等等，这些混沌定义较为常见。在本文中给出的是Li-Yorke混沌定义。Li-Yorke混沌定义[11]的具体表述如下定义一个连续的，单参数的，自身的映射的区间[α，β]，它的表示方式为它的点映射形式为Li-Yorke混沌定义连续映射或点映射是混沌的，当有一切周期的周期点；有不可数的子集，不含有周期点，使得 该定义中的前两个极限表明了上述条件中的子集内的点既是离散却又是集中的，最后一个极限是说明这个子集是不可能去逼近任意的点。李天岩和Yorke给出了混沌定义的同时还给出了Logistic映射函数发现当时，能够出现混沌现象。以上能够通过定义归纳出混沌系统的三个主要的特征有任意阶的周期轨道；混沌轨道的极度不稳定性；可以找到一个非可数的集合，在其内只有混沌轨迹，同时任何两个轨迹的距离不会越来越远，也不会逐渐靠近，这2种情况会不断地替换；在这个集合里不会存在逐渐接近的周期轨道，也就是任意一个轨道不会趋于另外任意一个周期轨道。提起混沌人们常常会想到“蝴蝶效应”，它反应了系统初始值的极度敏感性，这是混沌最基本的一个特点。混沌系统相对于其他的复杂现象而言，是异常独特的，它有很多独特的特征如有界性、遍历性等等。1.2 分数阶混沌系统的发展及意义自从分数阶混沌融入到动力学系统之后，分数阶动力系统的混沌控制以及混沌同步变成了目前科研领域的热门话题。随着分数微分学应用到物理学、工程学[12,13]领域中，人们对于混沌的认识又上了一个新的高度。分数阶微积分把它的阶数拓广到了分数（以至于扩展到了复数），人们逐渐认识到用分数阶去描绘会更加精准，这也促进了分数阶混沌的发展[14]。随着信息科技的逐渐发展，网络技术的快速提高，人们对于自己信息的隐私性的逐渐重视，网络安全问题逐渐被人们所关注，如何对信息进行加密也成为了国内外研究的一个热门的课题。利用混沌的特征对信息进行加密，相较于一般的信息加密技术，它的保密性会更高。但是对于目前利用混沌特性进行通信保密工作而言，大部分都是用整数阶，而分数阶混沌系统相对于整数阶在保密性上会更高并且破解来会更加困难，所以利用它来进行信息加密的意义更加重大。对比于整数阶的混沌系统，分数阶的复杂性会更高，所以应用也更加多，更加的广泛。迄今为止人们对于分数阶混沌系统的投影同步[15,16]、反同步[17]等多种同步类型已经进行了一系列的探究，但是对于分数阶超混沌级联同步这一方面仍未涉猎，还是一片空白。从而基于上述分析我们可以知道对分数阶的研究重要性，因此本文将着重讨论分数阶超混沌系统的函数级联同步。1.3 本文工作安排在本文中，我们将以稳定性定理作为基础，通过使用预估校正法，提出分数阶超混沌系统的函数级联同步研究方法。然后，用三个具体的分数阶超混沌系统，即分数阶超Lorenz系统、Chen系统、Lü系统为例，来详细研究所提出的同步方法，通过选择适当的控制子，实现了这三个超混沌系统的分数阶函数级联同步。最后，我们基于符号计算Matable软件，对所得结果进行数值模拟，模拟的结果充分证明了本文所提出的方法的是有效的。具体内容及安排如下在第一章中，主要说明了混沌、分数阶混沌系统的历史发展和意义，同时也叙说了混沌的相关定义。在第二章中，介绍了引用的原理，如广义混沌同步的方法、分数阶微分算子理论、预估校正法，同时还详细介绍了我们所提出的分数阶超混沌系统级联同步方法。在第三章中，以三个具体的例子，即超混沌系统、系统、Lü系统，来详细介绍分数阶超混沌系统的函数级联同步方法，并实现了这三个超混沌系统的同步问题。并对所得结果进行了相应的数值模拟以说明所采用方法的有效性。 在第四章中，我们给出了本毕业设计的终结与展望。2 预备工作在本章节中，我们将首先介绍一些本毕业设计所涉及到的相关理论知识，如广义混沌同步方法，分数阶微分算子的具体定义以及分数阶微分方程的求解方法，也就是预估校正法，最后，我们初步给出了所提出的分数阶超混沌系统的函数级联同步算法。2.1 混沌同步方法混沌同步就是当混沌系统的一个运动轨迹随着时间的发展不断趋近于另外一个混沌系统的轨迹，而且这种状态是稳定的。下面给出具体的数学定义。混沌系统可以表述为同理另一个混沌系统为（U为一个控制器，t为时间参数）。其中是矢量，它们分别具有n维分量。（注意和可以是不同形式，也可以完全相同的。但是它们的初始条件必须是不同的。）设是两个混沌系统的初始值，设置适合的控制子U使得两个系统可以达到同步。如果，满足条件存在一个的一个子集，使得，当时有2.1.1激活控制法一个混沌系统表述为， （2.1.1.1） （其中为常矩阵，为状态向量，为非线性的连续函数）另一个混沌系统是， （2.1.1.2）（其中为状态向量。）通过给定合适的控制器，使系统（2.1.1.2）能够逐渐趋近于系统（2.1.1.1），实现两个混沌系统之间的同步，数学表达为（为欧式范数）。设为同步误差，误差系统则是设置的控制器是为了将上式中的不含有误差e的非线性项消除，所以我们令综合两式易得将带入后则为 定理若对角矩阵满足那么的状态向量会逐渐的收敛于0。2.2 分数阶微分算子的定义及其求解方法2.2.1分数阶微分算子的定义分数阶微积分它的阶数范围为所有的复数与实数，也正是因为它的这一特殊性，直到如今国内外对分数阶微积分还没有一个相对一致的定义。目前有许许多多对于分数阶微积分的定义涌现，这些定义都具有一定实用性[18]，迄今为止国际上应用最广泛的有定义，定义等等。本文采用的分数阶微分算子是，具体的形式可以写作本文采用的是[19]微积分定义来进行接下来的研究，其统一的形式为（）。2.2.2 分数阶微分方程的求解方法—预估-校正法求解分数阶微积分运算的方法有很多种，经常使用的有以下几种如图近似法[20]，预估-校正法[21]，时频域转换法等等，而在本文就是用预估-校正法。预估-校正法实际上是一种广义的法。（因为在定义下求变换，只需要求得函数的和，也就是整数阶微分在初始时的值，则在求解时更有实用性，所以预估-校正法采用的是分数阶微分定义）。下面给出预估-校正法的公式考虑下面的微分方程初始的值为也可以表示为。Volterra方程是与以上的方程等价的，其表示方法为设置。（1）对上式进行Adams-Bashforth预估，可得到如下所示的预估公式（注意）。（2）然后Adams-moulton矫正，能够得到以下形式的矫正公式其中有设置且存在某个满足，有误差估计。2.3 分数阶超混沌系统的函数级联同步2.3.1 广义分数阶超混沌系统同步方案下面我们设置两个互不相同的系统分数阶超混沌系统 （2.3.1.1）另一个分数阶超混沌系统 （2.3.1.2）其中其中为一个维的非线性函数所组成的向量，为一个维的非线性函数所组成的向量。我们称系统（2.3.1.1）和（2.3.1.2）达到同步，如果给定一个矢量映射，满足。混沌系统（2.3.1.1）可以改写成为以下的这种形式（是非线性向量函数）。是非线性的，是线性的。同理，也可以把混沌系统（2.3.1.2）表述成以下形式（是非线性向量函数。）是非线性部分，是线性部分，是一个合适的控制器。定理1系统在Balance Point是渐进稳定的[22,23]，如若维的分数阶混沌系统在一个Balance Point的矩阵的全部特征根符合。定理另一种形式多项式方程在平衡点是趋于稳定的。如果其所有的根都满足定理2是映射，设的矩阵是，当混沌系统（2.3.1.2）的控制子满足；S符合；是的辐角主值，是反馈增益矩阵。则系统（2.3.1.1）和（2.3.1.2）满足了上述同步的充分性要求。2.3.2 分数阶超混沌系统函数级联同步方法接下里开始具体给出本文的重点分数阶超混沌系统的函数级联同步方法，考虑以下的分数阶超混沌系统 （2.3.2.1）将其作为驱动系统。首先我们复制上述系统（2.3.2.1）前三个子方程作为一个子系统，以其作为（2.3.2.1）的响应系统，即超混沌系统 （2.3.2.2）这里的变量相当于原系统（2.3.2.1）所提供的信号，而是我们所需要的控制器。设置控制器的目的是为了找到合适的控制子，使误差函数，，可以随着时间的发展逐渐的趋近于0，满足了定理1与定理2。这样我们就认为超混沌系统（2.3.2.1）和（2.3.2.2）之间实现了同步。这里（其中，，为函数。）现在复制分数阶超混沌系统（2.3.2.1）的后三个子方程作为一个新的子系统，以其为（2.3.2.1）的第二个响应系统，即超混沌系统（2.3.2.3），可以表示为 （2.3.2.3）这里对应的是上述系统（2.3.2.3）的驱动变量，是它的控制器。设置控制器的目的是为了找到合适的控制子，使误差函数，，可以随着时间的发展逐渐的趋近于0，满足了定理1与定理2，这样我们就可以认为系统（2.3.2.1）与（2.3.2.3）之间达到了函数级联同步。这里综上所述，我们得到函数误差函数系统逐渐的趋近于0，即从而实现了分数阶超混沌系统的函数级联同步。3 三个分数阶超混沌系统函数级联同步方法的实现及其数值模拟为了验证在第二章节中我们所给出的分数阶超混沌系统函数级联同步算法是有效的，这里，我们将该方法应用于三个具体的分数阶的超混沌系统Lü，并给出相应的数值模拟结果。3.1 分数阶超混沌Lorenz系统这里分数阶超混沌Lorenz系统[24,25]的形式如下 （3.1.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.1.2）作为响应系统（3.1.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了完成超混沌系统和系统（3.1.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即由此我们可以得到超混沌系统和系统（3.1.2）实现了函数级联同步。接下来，复制超混沌系统的后三个子方程形成一个子系统， （3.1.3）作为响应系统（3.1.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了使得分数阶超混沌系统和系统（3.1.3）能够同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶的超混沌系统和响应系统（3.1.3）可以达到函数级联同步。为了验证所提出的分数阶超混沌Lorenz系统函数级联同步方法是合理有效的，这里将给出其相对应的数值模拟。这里选取的参数的初始值为d=1下图中的图3.1.1——图3.1.4给出驱动与响应系统的三维吸引子图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.1.5——图3.1.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。吸引子图像为/图3.1.1三维/图3.1.2三维/图3.1.3三维/图3.1.4三维误差函数系统为/图3.1.5/图3.1.6/图3.1.7/图3.1.83.2分数阶超混沌Chen系统这里分数阶超混沌Chen系统[26]的形式如下 （3.2.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.2.2）作为响应系统（3.2.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够完成超混沌系统与系统（3.2.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即所以我们可以预测到超混沌系统与系统（3.2.2）可以是实现完成函数级联同步。接下来，复制超混沌系统的后面三个子方程形成一个子系统 （3.2.3）作为响应系统（3.2.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够完成分数阶超混沌系统和系统（3.2.3）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶的超混沌系统和响应系统（3.2.3）可以达到函数级联同步。为了检验我们上述所提出分数阶超混沌系统函数级联同步方法是合理有效的，这里我们将给出相对应的数值模拟。这里选取的参数的初始值为，，，d=1下图中图3.2.1——图3.2.4给出驱动与响应系统的三维吸引子的图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.2.5——图3.2.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。/图3.2.1三维/图3.2.2三维/图3.2.3三维/图3.2.4三维/图3.2.5误差/图3.2.6误差/图3.2.7误差/图3.2.8误差3.3分数阶超混沌Lü系统这里分数阶超混沌Lü系统[27]的形式如下 （3.3.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.3.2）作为响应系统（3.3.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了可以得到超混沌Lü系统和系统（3.3.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即所以我们能够预测到超混沌Lü系统与系统（3.3.2）之间可以实现函数级联同步。接下来，我们复制超混沌Lü系统的后面三个子方程形成一个子系统， （3.3.3）作为响应系统（3.3.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够实现分数阶超混沌Lü系统和系统（3.3.3）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶超混沌Lü系统和响应系统（3.3.3）之间可以达到函数级联同步。为了检验我们所提出的分数阶超混沌Lü系统函数级联同步方法的有效性，这里将给出相应的数值模拟结果。这里选取的参数的初始值为d=1c=2h=1下图中的图3.3.1——图3.3.4给出驱动与响应系统的三维吸引子的图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.3.5——图3.3.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。/图3.3.1三维/图3.3.2三维/图3.3.3三维/图3.3.4三维 /图3.3.5误差/图3.3.6误差/图3.3.7误差/图3.3.8误差4 总结与展望在本文中，我们在李雅普诺夫稳定性定理的基础上，结合ABM方法，提出了分数阶超混沌系统的函数级联同步算法，并以分数阶超混沌系统，，Lü为例，实现了它们这三个系统的函数级联同步问。数值仿真的结果也充分验证了我们所提出的同步方法是正确和有效的。众所周知，分数阶混沌系统许多领域都有应用，如信息学，生物学，电子学，地质学，宇宙学等等，这里我们所给出的这种函数级联同步方法只是一种理论结果，然而，对于我们的这种理论研究成果是否可以推广应用到上述所涉及到的领域中有待于深入地研究；此外，是否存在其他一些分数阶超混沌系统的同步方法来实现超混沌系统的同步，也有待我们进一步地探索。致谢第二感谢我的同学们，在这四年来的学习研究以及生活上给我的巨大的支持和帮助，他们所给予我的愉快的生活环境和浓厚的学术氛围，这些都给我的论文工作提供了保障，正是他们的协作与配合让我的论文可以顺利的进行下去。尤其要感谢我的“战友”刘子秋同学对我的关心、支持和鼓励。 参考文献 [1] Rossler O E. An equation for continuous chaos [J]. Physics Letters A，1976，57(5)397-398. [2] Lorenz E N. Deterministic nonperodic flow [J]. Journal of the Atomospheric Science， 1963，20(5) 130-141. [3] Arena P，Caponetto R，Forturm L，et al. Chaos in a fractional order Duffing system[M]. Italy Stresa，19971259-1262. [4] Feigenbaum M J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations [J]. Journal of Statistical Physics，1978，19(1)25-52. [5] Chua L O，Comuro M，Matsumoto T. The double croll family. Part Irigorous proof of chaos [C]. IEEE Transactions on Circuits and Systems，1986，331072-1096. [6] Chen G R，Ueta T. Yet another chaotic attractor [J]. International Journal of Bifurcation & Chaos， 1999，9(6)1465-1466. [7] Lü J H，Chen G R，et al. Bridge the gap between the Lorenz system and Chen system [J].International Journal of Bifurcation & Chaos，2002，12(12)2917-2926. [8] Pecora L M，Carroll T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical Review Letters，1990， 64(8)821-827. 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The Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1967，13529-539. [20] Charef A，Sun H H，et al. Fractal systems as represented by singularity function [C]. IEEE Transactions on automatic control，1992，37(9)1465-1470. [21] Diethelm K，Freed A D，Ford N J. A Predictor-Corrector Approach for the Numerical Solution of Fractional Differential Equations [J]. Nonlinear dynamics，2002，29(1-4)3-22. [22] Matignon D.Stability results for fractional differential equations with application to control processing [C]. In Computation Engineering in Systems and Application multiconference，Little， 1996，2963-968. [23] Mohammad S T，Mohammad H. A note on the stability of fractional order systems [J]. Mathematics and Computers in Simulation，2009，79(5)1566-1576. [24 Wang X Y，Wang M J. A hyperchaos generated from Lorenz system [J]. Physica A，2008，387(14) 3751-3758. [25] Wang X Y，Song J M. Synchronization of the fractional order hyperchaos Lorenz systems with activation feedback control [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations， 2009，14(8)3351-3357. [26] Wu X J，Lu Y.Generalized projective synchronization of the fractional-order Chen hyperchaotic system [DB]. Nonlinear Dynamics DOI 10.1007/s11071-008-9416-5. [27] 闵富红，余杨，葛曹君.超混沌分数阶Lü系统电路实验与追踪控制[M].物理学报. 2009， 58(3)1457-1459.
目录
摘要1
关键字1
Abstract1
Key words1
1 引言1
1.1 混沌研究简介1
1.1.1 混沌研究的历史及意义1
1.1.2 混沌的定义及其特征2
1.2 分数阶混沌系统的发展及意义3
1.3 本文工作安排3
2 预备工作3
2.1 混沌同步方法3
2.1.1 激活控制法4
2.2 分数阶微分算子的定义及其求解方法4
2.2.1 分数阶微分算子的定义4
2.2.2 分数阶微分方程的求解方法—预估校正法5
2.3 分数阶超混沌系统的函数级联同步5
2.3.1 广义分数阶超混沌系统同步方案5
2.3.2 分数阶超混沌系统函数级联同步方法7
3 三个分数阶超混沌系统函数级联同步方法的实现及其数值模拟8
3.1 分数阶超混沌Lorenz系统8
3.2 分数阶超混沌Chen系统14
3.3 分数阶超混沌Lü系统19
4 总结与展望25
致谢26
参考文献26
分数阶超混沌系统的函数级联同步算法研究
引言
proposed. Then, we take the fractional hyperchaotic Lorenz system, Chen system and Lü system as examples, by choosing suitable controllers, the fractional order cascade synchronization method is achieved. Finally, the numerical simulation results fully show the effectiveness of the synchronization method we proposed.1 引言“”是混沌这个词的英语表述，其来自于古希腊语中“”一词，其含义是世界上的一切生物出现之前就有的一个广袤的空间[1]。目前混沌逐渐成为了国际上的一个热点问题，因为它为人们观测世界提供了很多的便利，所以它也同“相对论”和“量子论”一起称为物理学最重要的三大发现。1.1混沌研究简介1.1.1混沌研究的历史及意义年，美国的科学家Lorenz在《大气科学》上提出了“确定性非周期流”[2]。为了观察与记录天气的变化，他从对流问题中提取出来一个维数是3的常微分方程组，从中他发现了天气的变化对初值非常敏感。众所周知的“蝴蝶效应”也就是由此而来，因此人们把他称作是混沌学的“鼻祖”。自1970年以后，混沌飞速发展，一系列成果如雨后春笋般一一涌现。“”[3]这个词第一次被公认使用是在1975年，由李天岩和J.A.Yorke提出。年，世界上首次大型国际混沌研究会议在欧洲举办，这意味着混沌这门学科的开始。在科学家研究周期的倍化在通向混沌道路的问题时，普适常量[4]被其发现。80年代以后，对于混沌的研究又上了一个新的阶段，例如Chao电路由蔡少棠教授在1983年提出[5]；Chen系统由陈关荣教授在1999年发现[6]；年，吕金虎给出了统一系统[7]和Lü系统，其它一系列成果我们将不再详细介绍。 在和共同提出了混沌同步理论且实验证明之后[8]，人们开始对混沌产生了兴趣。此后，多种同步类型和控制同步的方法被相继提出（如自适应控制[9]，滑模控制[10]等）。随着时代的发展，混沌研究的逐渐深入，混沌研究不仅仅限于在物理学领域，它也逐渐发展到了其他各种领域中，为其他领域带来了很大的便利。它不仅仅推动了其他的领域的发展，同时也与其他的领域学科相结合，更让人们对混沌有了更深入的了解。目前，混沌的渗透领域繁多，几乎在任何学科领域中都存在混沌的影子，如信息学，生物学，电子学，地质学，宇宙学......甚至在美术，音乐，经济学等方面都应用广泛。1.1.2 混沌的定义及其特征迄今国内外对混沌系统的定义有很多，大致有下面几种Melnikov、Li-Yorke、Famer混沌定义等等，这些混沌定义较为常见。在本文中给出的是Li-Yorke混沌定义。Li-Yorke混沌定义[11]的具体表述如下定义一个连续的，单参数的，自身的映射的区间[α，β]，它的表示方式为它的点映射形式为Li-Yorke混沌定义连续映射或点映射是混沌的，当有一切周期的周期点；有不可数的子集，不含有周期点，使得 该定义中的前两个极限表明了上述条件中的子集内的点既是离散却又是集中的，最后一个极限是说明这个子集是不可能去逼近任意的点。李天岩和Yorke给出了混沌定义的同时还给出了Logistic映射函数发现当时，能够出现混沌现象。以上能够通过定义归纳出混沌系统的三个主要的特征有任意阶的周期轨道；混沌轨道的极度不稳定性；可以找到一个非可数的集合，在其内只有混沌轨迹，同时任何两个轨迹的距离不会越来越远，也不会逐渐靠近，这2种情况会不断地替换；在这个集合里不会存在逐渐接近的周期轨道，也就是任意一个轨道不会趋于另外任意一个周期轨道。提起混沌人们常常会想到“蝴蝶效应”，它反应了系统初始值的极度敏感性，这是混沌最基本的一个特点。混沌系统相对于其他的复杂现象而言，是异常独特的，它有很多独特的特征如有界性、遍历性等等。1.2 分数阶混沌系统的发展及意义自从分数阶混沌融入到动力学系统之后，分数阶动力系统的混沌控制以及混沌同步变成了目前科研领域的热门话题。随着分数微分学应用到物理学、工程学[12,13]领域中，人们对于混沌的认识又上了一个新的高度。分数阶微积分把它的阶数拓广到了分数（以至于扩展到了复数），人们逐渐认识到用分数阶去描绘会更加精准，这也促进了分数阶混沌的发展[14]。随着信息科技的逐渐发展，网络技术的快速提高，人们对于自己信息的隐私性的逐渐重视，网络安全问题逐渐被人们所关注，如何对信息进行加密也成为了国内外研究的一个热门的课题。利用混沌的特征对信息进行加密，相较于一般的信息加密技术，它的保密性会更高。但是对于目前利用混沌特性进行通信保密工作而言，大部分都是用整数阶，而分数阶混沌系统相对于整数阶在保密性上会更高并且破解来会更加困难，所以利用它来进行信息加密的意义更加重大。对比于整数阶的混沌系统，分数阶的复杂性会更高，所以应用也更加多，更加的广泛。迄今为止人们对于分数阶混沌系统的投影同步[15,16]、反同步[17]等多种同步类型已经进行了一系列的探究，但是对于分数阶超混沌级联同步这一方面仍未涉猎，还是一片空白。从而基于上述分析我们可以知道对分数阶的研究重要性，因此本文将着重讨论分数阶超混沌系统的函数级联同步。1.3 本文工作安排在本文中，我们将以稳定性定理作为基础，通过使用预估校正法，提出分数阶超混沌系统的函数级联同步研究方法。然后，用三个具体的分数阶超混沌系统，即分数阶超Lorenz系统、Chen系统、Lü系统为例，来详细研究所提出的同步方法，通过选择适当的控制子，实现了这三个超混沌系统的分数阶函数级联同步。最后，我们基于符号计算Matable软件，对所得结果进行数值模拟，模拟的结果充分证明了本文所提出的方法的是有效的。具体内容及安排如下在第一章中，主要说明了混沌、分数阶混沌系统的历史发展和意义，同时也叙说了混沌的相关定义。在第二章中，介绍了引用的原理，如广义混沌同步的方法、分数阶微分算子理论、预估校正法，同时还详细介绍了我们所提出的分数阶超混沌系统级联同步方法。在第三章中，以三个具体的例子，即超混沌系统、系统、Lü系统，来详细介绍分数阶超混沌系统的函数级联同步方法，并实现了这三个超混沌系统的同步问题。并对所得结果进行了相应的数值模拟以说明所采用方法的有效性。 在第四章中，我们给出了本毕业设计的终结与展望。2 预备工作在本章节中，我们将首先介绍一些本毕业设计所涉及到的相关理论知识，如广义混沌同步方法，分数阶微分算子的具体定义以及分数阶微分方程的求解方法，也就是预估校正法，最后，我们初步给出了所提出的分数阶超混沌系统的函数级联同步算法。2.1 混沌同步方法混沌同步就是当混沌系统的一个运动轨迹随着时间的发展不断趋近于另外一个混沌系统的轨迹，而且这种状态是稳定的。下面给出具体的数学定义。混沌系统可以表述为同理另一个混沌系统为（U为一个控制器，t为时间参数）。其中是矢量，它们分别具有n维分量。（注意和可以是不同形式，也可以完全相同的。但是它们的初始条件必须是不同的。）设是两个混沌系统的初始值，设置适合的控制子U使得两个系统可以达到同步。如果，满足条件存在一个的一个子集，使得，当时有2.1.1激活控制法一个混沌系统表述为， （2.1.1.1） （其中为常矩阵，为状态向量，为非线性的连续函数）另一个混沌系统是， （2.1.1.2）（其中为状态向量。）通过给定合适的控制器，使系统（2.1.1.2）能够逐渐趋近于系统（2.1.1.1），实现两个混沌系统之间的同步，数学表达为（为欧式范数）。设为同步误差，误差系统则是设置的控制器是为了将上式中的不含有误差e的非线性项消除，所以我们令综合两式易得将带入后则为 定理若对角矩阵满足那么的状态向量会逐渐的收敛于0。2.2 分数阶微分算子的定义及其求解方法2.2.1分数阶微分算子的定义分数阶微积分它的阶数范围为所有的复数与实数，也正是因为它的这一特殊性，直到如今国内外对分数阶微积分还没有一个相对一致的定义。目前有许许多多对于分数阶微积分的定义涌现，这些定义都具有一定实用性[18]，迄今为止国际上应用最广泛的有定义，定义等等。本文采用的分数阶微分算子是，具体的形式可以写作本文采用的是[19]微积分定义来进行接下来的研究，其统一的形式为（）。2.2.2 分数阶微分方程的求解方法—预估-校正法求解分数阶微积分运算的方法有很多种，经常使用的有以下几种如图近似法[20]，预估-校正法[21]，时频域转换法等等，而在本文就是用预估-校正法。预估-校正法实际上是一种广义的法。（因为在定义下求变换，只需要求得函数的和，也就是整数阶微分在初始时的值，则在求解时更有实用性，所以预估-校正法采用的是分数阶微分定义）。下面给出预估-校正法的公式考虑下面的微分方程初始的值为也可以表示为。Volterra方程是与以上的方程等价的，其表示方法为设置。（1）对上式进行Adams-Bashforth预估，可得到如下所示的预估公式（注意）。（2）然后Adams-moulton矫正，能够得到以下形式的矫正公式其中有设置且存在某个满足，有误差估计。2.3 分数阶超混沌系统的函数级联同步2.3.1 广义分数阶超混沌系统同步方案下面我们设置两个互不相同的系统分数阶超混沌系统 （2.3.1.1）另一个分数阶超混沌系统 （2.3.1.2）其中其中为一个维的非线性函数所组成的向量，为一个维的非线性函数所组成的向量。我们称系统（2.3.1.1）和（2.3.1.2）达到同步，如果给定一个矢量映射，满足。混沌系统（2.3.1.1）可以改写成为以下的这种形式（是非线性向量函数）。是非线性的，是线性的。同理，也可以把混沌系统（2.3.1.2）表述成以下形式（是非线性向量函数。）是非线性部分，是线性部分，是一个合适的控制器。定理1系统在Balance Point是渐进稳定的[22,23]，如若维的分数阶混沌系统在一个Balance Point的矩阵的全部特征根符合。定理另一种形式多项式方程在平衡点是趋于稳定的。如果其所有的根都满足定理2是映射，设的矩阵是，当混沌系统（2.3.1.2）的控制子满足；S符合；是的辐角主值，是反馈增益矩阵。则系统（2.3.1.1）和（2.3.1.2）满足了上述同步的充分性要求。2.3.2 分数阶超混沌系统函数级联同步方法接下里开始具体给出本文的重点分数阶超混沌系统的函数级联同步方法，考虑以下的分数阶超混沌系统 （2.3.2.1）将其作为驱动系统。首先我们复制上述系统（2.3.2.1）前三个子方程作为一个子系统，以其作为（2.3.2.1）的响应系统，即超混沌系统 （2.3.2.2）这里的变量相当于原系统（2.3.2.1）所提供的信号，而是我们所需要的控制器。设置控制器的目的是为了找到合适的控制子，使误差函数，，可以随着时间的发展逐渐的趋近于0，满足了定理1与定理2。这样我们就认为超混沌系统（2.3.2.1）和（2.3.2.2）之间实现了同步。这里（其中，，为函数。）现在复制分数阶超混沌系统（2.3.2.1）的后三个子方程作为一个新的子系统，以其为（2.3.2.1）的第二个响应系统，即超混沌系统（2.3.2.3），可以表示为 （2.3.2.3）这里对应的是上述系统（2.3.2.3）的驱动变量，是它的控制器。设置控制器的目的是为了找到合适的控制子，使误差函数，，可以随着时间的发展逐渐的趋近于0，满足了定理1与定理2，这样我们就可以认为系统（2.3.2.1）与（2.3.2.3）之间达到了函数级联同步。这里综上所述，我们得到函数误差函数系统逐渐的趋近于0，即从而实现了分数阶超混沌系统的函数级联同步。3 三个分数阶超混沌系统函数级联同步方法的实现及其数值模拟为了验证在第二章节中我们所给出的分数阶超混沌系统函数级联同步算法是有效的，这里，我们将该方法应用于三个具体的分数阶的超混沌系统Lü，并给出相应的数值模拟结果。3.1 分数阶超混沌Lorenz系统这里分数阶超混沌Lorenz系统[24,25]的形式如下 （3.1.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.1.2）作为响应系统（3.1.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了完成超混沌系统和系统（3.1.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即由此我们可以得到超混沌系统和系统（3.1.2）实现了函数级联同步。接下来，复制超混沌系统的后三个子方程形成一个子系统， （3.1.3）作为响应系统（3.1.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了使得分数阶超混沌系统和系统（3.1.3）能够同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶的超混沌系统和响应系统（3.1.3）可以达到函数级联同步。为了验证所提出的分数阶超混沌Lorenz系统函数级联同步方法是合理有效的，这里将给出其相对应的数值模拟。这里选取的参数的初始值为d=1下图中的图3.1.1——图3.1.4给出驱动与响应系统的三维吸引子图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.1.5——图3.1.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。吸引子图像为/图3.1.1三维/图3.1.2三维/图3.1.3三维/图3.1.4三维误差函数系统为/图3.1.5/图3.1.6/图3.1.7/图3.1.83.2分数阶超混沌Chen系统这里分数阶超混沌Chen系统[26]的形式如下 （3.2.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.2.2）作为响应系统（3.2.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够完成超混沌系统与系统（3.2.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即所以我们可以预测到超混沌系统与系统（3.2.2）可以是实现完成函数级联同步。接下来，复制超混沌系统的后面三个子方程形成一个子系统 （3.2.3）作为响应系统（3.2.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够完成分数阶超混沌系统和系统（3.2.3）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶的超混沌系统和响应系统（3.2.3）可以达到函数级联同步。为了检验我们上述所提出分数阶超混沌系统函数级联同步方法是合理有效的，这里我们将给出相对应的数值模拟。这里选取的参数的初始值为，，，d=1下图中图3.2.1——图3.2.4给出驱动与响应系统的三维吸引子的图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.2.5——图3.2.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。/图3.2.1三维/图3.2.2三维/图3.2.3三维/图3.2.4三维/图3.2.5误差/图3.2.6误差/图3.2.7误差/图3.2.8误差3.3分数阶超混沌Lü系统这里分数阶超混沌Lü系统[27]的形式如下 （3.3.1）作为驱动系统（，，，是状态变量）。现在复制它的前三个子方程形成一个子系统 （3.3.2）作为响应系统（3.3.2）。其中为控制子，它们的值待定。为了可以得到超混沌Lü系统和系统（3.3.2）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即所以我们能够预测到超混沌Lü系统与系统（3.3.2）之间可以实现函数级联同步。接下来，我们复制超混沌Lü系统的后面三个子方程形成一个子系统， （3.3.3）作为响应系统（3.3.3）。其中为控制子，它们的值待定。为了能够实现分数阶超混沌Lü系统和系统（3.3.3）之间的同步，我们设置误差函数，，为根据分数阶函数级联同步算法，当选取的控制子为可得到误差系统满足即这就意味着分数阶超混沌Lü系统和响应系统（3.3.3）之间可以达到函数级联同步。为了检验我们所提出的分数阶超混沌Lü系统函数级联同步方法的有效性，这里将给出相应的数值模拟结果。这里选取的参数的初始值为d=1c=2h=1下图中的图3.3.1——图3.3.4给出驱动与响应系统的三维吸引子的图像，从中能够看出驱动与响应系统很快达到了同步。图3.3.5——图3.3.8给出了误差图，可以看出误差，，，随着时间发展能够很快的趋近于0。/图3.3.1三维/图3.3.2三维/图3.3.3三维/图3.3.4三维 /图3.3.5误差/图3.3.6误差/图3.3.7误差/图3.3.8误差4 总结与展望在本文中，我们在李雅普诺夫稳定性定理的基础上，结合ABM方法，提出了分数阶超混沌系统的函数级联同步算法，并以分数阶超混沌系统，，Lü为例，实现了它们这三个系统的函数级联同步问。数值仿真的结果也充分验证了我们所提出的同步方法是正确和有效的。众所周知，分数阶混沌系统许多领域都有应用，如信息学，生物学，电子学，地质学，宇宙学等等，这里我们所给出的这种函数级联同步方法只是一种理论结果，然而，对于我们的这种理论研究成果是否可以推广应用到上述所涉及到的领域中有待于深入地研究；此外，是否存在其他一些分数阶超混沌系统的同步方法来实现超混沌系统的同步，也有待我们进一步地探索。致谢第二感谢我的同学们，在这四年来的学习研究以及生活上给我的巨大的支持和帮助，他们所给予我的愉快的生活环境和浓厚的学术氛围，这些都给我的论文工作提供了保障，正是他们的协作与配合让我的论文可以顺利的进行下去。尤其要感谢我的“战友”刘子秋同学对我的关心、支持和鼓励。 参考文献 [1] Rossler O E. 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目录
摘要1
关键字1
Abstract1
Key words1
1 引言1
1.1 混沌研究简介1
1.1.1 混沌研究的历史及意义1
1.1.2 混沌的定义及其特征2
1.2 分数阶混沌系统的发展及意义3
1.3 本文工作安排3
2 预备工作3
2.1 混沌同步方法3
2.1.1 激活控制法4
2.2 分数阶微分算子的定义及其求解方法4
2.2.1 分数阶微分算子的定义4
2.2.2 分数阶微分方程的求解方法—预估校正法5
2.3 分数阶超混沌系统的函数级联同步5
2.3.1 广义分数阶超混沌系统同步方案5
2.3.2 分数阶超混沌系统函数级联同步方法7
3 三个分数阶超混沌系统函数级联同步方法的实现及其数值模拟8
3.1 分数阶超混沌Lorenz系统8
3.2 分数阶超混沌Chen系统14
3.3 分数阶超混沌Lü系统19
4 总结与展望25
致谢26
参考文献26
分数阶超混沌系统的函数级联同步算法研究
引言
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