分数阶Fourier变换的数值计算方法研究
分数阶Fourier变换的数值计算方法研究[20200406123834]
摘要
FRFT作为FT的推广，相比于传统FT具有更强的灵活性和适应性。它的出现引起了各个领域的关注，并在雷达的成像以及图像分析、图像媒体音频等的加密以及信号处理等领域中都得到了广泛的应用。虽然现在已有一些离散FRFT算法，但满足DFRFT严密性的算法仍然需要人们继续研究。因此它的研究前景和应用潜力是不容小觑的。
本文开篇介绍了FRFT的发展历程，讲述了各个阶段取得的进展。首先介绍FRFT的线性积分的定义方式和FRFT的一些常用的基本性质。接着阐述FRFT的采样定理，为文章重点研究对象DFRFT奠定基础。紧接着又对FRFT的几种离散化计算方法进行优缺点分析，并利用Matlab平台对加权型DFRFT算法的编程过程及其仿真结果进行重点分析。最后讲述了FRFT的应用情况。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:FRFTDFRFT加权型算法信号处理
目录
第一章 绪论 5
1.1研究背景 5
1.1.1FRFT的发展历程 5
1.1.2 FRFT国内外的发展现状 6
1.2研究思路和技术实现方法 6
1.2.1研究思路 6
1.2.2 Matlab平台简介 7
第二章 FRFT的定义及基本性质 8
2.1FRFT的线性积分定义 8
2.1.1定义 8
2.2.2 物理意义 9
2.2 FRFT的几个常用性质 10
第三章 基于FRFT的采样定理 11
第四章 DFRFT主要算法分析 13
4.1 DFRFT主要算法介绍 13
4.1.1特征分解型算法 13
4.1.2离散采样型算法 15
4.1.3加权型算法 16
4.2DFRFT计算方法4点和16点研究 17
4.2.1WDFRFT计算方法4点 17
4.2.1 WDFRFT计算方法16点 18
4.3 DFRFT几种计算方法的总结 21
第五章 FRFT的应用 23
5.1在雷达领域的应用 23
5.2在图像处理方面的应用 23
5.3在现代通信领域中的应用 23
结束语 24
参考文献 25
致谢信 26
第一章 绪论
1.1研究背景
1.1.1FRFT的发展历程
19世纪初期，法国科学家Fourier为使得热导方程的计算方法得到简化，首次提出了Fourier的概念。
20世纪以来，随着正弦函数和Fourier的进一步推广使用，人们逐渐意识到频域比经典时域方法在信号分析上有很多突出的优点。傅里叶变换（Fourier Transform，“FT”）几乎在所有科研与工程技术领域得到了应用[1]。
20世纪70年代以来，可以说计算机促使传统领域发生了革命性的变化。此时，一种以FT为基础的算法——“快速傅里叶变换”（FFT）应用而生。利用Matlab软件或者C 语言编程等方式，可以相当简便实现信号的FT。另外，利用Matlab还可实时用图形表示出来，结果非常直观清晰。目前FFT的应用已经十分成熟。本文在研究FRFT计算方法的时候，主要就是利用Matlab进行仿真，结合图像分析离散FRFT计算方法的计算时间、计算精度等等。
随着人们对FT的研究的不断深入，FT的在一些领域中的局限性也显露出来。 它的局限性具体体现在，FT是对信号的全局进行变换，在信号进行傅里叶变换后，我们得到的是信号的频谱的全部内容。因此，我们就不能获得信号在时域上的局部特性。对于非平稳的信号，信号的局部特性才是研究的关键点，具有非常重要的意义。简而言之，这种局限性对非平稳信号是极其不利的。
20世纪80年代，FT的扩展分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，“FRFT”）应运而生，它最早是Namias 利用数学计算的方式推导出的[2]。至此，Namias关于FRFT的理论成果的提出，人们才真正意识到FRFT的意义。
20世纪90年代，FRFT最早的应用领域是光学领域，主要原因是人们采用光学设备很容易实现FRFT。虽然实现了FRFT的应用，但是仅仅局限于光学领域，归其原因是人们并没有对FRFT的物理意义做出解释，也没有像普通FT所具有的快速算法。这使得FRFT未得到应有的认识[3]。
20世纪末， Almeida 指出FRFT可以解释为时频平面的旋转，Ozaktas 等人发表了文章，提出了FRFT的一种离散算法，该算法的计算量与普通FT的快速算法相当。直到FFRT的物理解释和快速算法的提出，国内外更多信号处理领域的研究者开始深入研究FRFT在信号领域中的作用，并出现了大量相关的研究文章。在第四章我们将当前使用较为广泛的离散采样型FRFT算法做一些介绍。
1.1.2 FRFT国内外的发展现状
第二十一世纪，信息技术已经渗透到当今社会的各个角落，数据化显然具有广阔的发展前景。现代通信系统作为信息化的技术基础，也在信息和工业中占据举足轻重的作用。FRFT是普通FT在第二维度上的拓展，它在Chirp信号分析中具有特殊的优势，应用价值十分广泛。FRFT的数值计算研究是算法能够在实时信号处理中得到应用的重要前提。
FRFT的出现可以说是引起了各个领域研究人员的重视，人们对FRFT进行研究并将它广泛应用[4]。如在雷达的成像以及图像分析上、在对图像媒体等加密上、以及信号处理等领域中都得到了很大的应用。正如FFT的出现大大推动了FT的发展一样，FRFT的快速算法也是FRFT得到更广阔应用的基础。因此，研究DFRFT和DFRFT的快速算法是非常有意义的事。
近年来，虽然现在已有一些离散FRFT算法，同时，“为了保证DFRFT定义的严密性有学者提出了DFRFT的准确的特性要求”[5]。然而，迄今为止并没有一种快速算法能够很好的满足DFRFT的特性要求。当前使用较多的采样型算法并不能够满足人们的需求。因此DFRFT的应用前景是非常广阔的，对FRFT的发展与研究，我们还有很长的路要走。
1.2研究思路和技术实现方法
1.2.1研究思路
首先深入了解FRFT的定义及基本性质；对离散FRFT的实现做前期准备包括采样定理，搜集离散FRFT的常用算法相关资料等等。然后重点剖析DFRFT的几种算法的优缺点，选择其中一种计算方法，利用matlab进行程序编程和仿真，并对结果做一个系统的分析。最后阐述当前FRFT在应用较为广泛的几个处理领域；此外，本文在研究的时候注重FT与FRFT的对比分析。
1.2.2 Matlab平台简介
Matlab作为我们学习上不可或缺的软件，可以说是贯穿我们整个大学学习生活的，从EDA的课程中用到的系统仿真工具（Simulink）到数字信号处理中的function函数和图像仿真，可以说它的应用是非常广泛的。在学习数字信号处理这门课的时候，我们使用Matlab进行信号的仿真，包括对信号进行普通FT，对信号进行采样滤波等等。
利用Matlab编写程序仿真我们可以清楚的看到滤波前后信号的变化，可以说用Matlab编程相对简单而又清晰直观。本次毕业课题的完成就是利用的Matlab作为研究平台。
第二章 FRFT的定义及基本性质
FRFT 的定义方式有很多种，根据一种定义方式可以推导到另一种定义，定义方式不同，物理意义也会有所差异，同时也就是意味着FRFT应用的领域会有所不同。这一方面体现了FRFT在数学领域里不容小觑的地位，另一方面也表明FRFT广阔的应用空间。FRFT定义形式根据研究者研究领域的不同，但是本质上都是等价的。本章，我们主要介绍FRFT的常见的几种定义方式。此外，还将对FRFT的性质以及物理意义做了简要阐述。
2.1FRFT的线性积分定义：
2.1.1定义
FRFT最早的一种定义是在连续时间信号下提出的。设定义在时间域的函数 的FRFT可用 或 两种方式表述，具体选择哪种方式可以根据研究的需要，或者上下文选择。 表示算子 作用在函数 上，结果产生在频域 上。
摘要
FRFT作为FT的推广，相比于传统FT具有更强的灵活性和适应性。它的出现引起了各个领域的关注，并在雷达的成像以及图像分析、图像媒体音频等的加密以及信号处理等领域中都得到了广泛的应用。虽然现在已有一些离散FRFT算法，但满足DFRFT严密性的算法仍然需要人们继续研究。因此它的研究前景和应用潜力是不容小觑的。
本文开篇介绍了FRFT的发展历程，讲述了各个阶段取得的进展。首先介绍FRFT的线性积分的定义方式和FRFT的一些常用的基本性质。接着阐述FRFT的采样定理，为文章重点研究对象DFRFT奠定基础。紧接着又对FRFT的几种离散化计算方法进行优缺点分析，并利用Matlab平台对加权型DFRFT算法的编程过程及其仿真结果进行重点分析。最后讲述了FRFT的应用情况。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:FRFTDFRFT加权型算法信号处理
目录
第一章 绪论 5
1.1研究背景 5
1.1.1FRFT的发展历程 5
1.1.2 FRFT国内外的发展现状 6
1.2研究思路和技术实现方法 6
1.2.1研究思路 6
1.2.2 Matlab平台简介 7
第二章 FRFT的定义及基本性质 8
2.1FRFT的线性积分定义 8
2.1.1定义 8
2.2.2 物理意义 9
2.2 FRFT的几个常用性质 10
第三章 基于FRFT的采样定理 11
第四章 DFRFT主要算法分析 13
4.1 DFRFT主要算法介绍 13
4.1.1特征分解型算法 13
4.1.2离散采样型算法 15
4.1.3加权型算法 16
4.2DFRFT计算方法4点和16点研究 17
4.2.1WDFRFT计算方法4点 17
4.2.1 WDFRFT计算方法16点 18
4.3 DFRFT几种计算方法的总结 21
第五章 FRFT的应用 23
5.1在雷达领域的应用 23
5.2在图像处理方面的应用 23
5.3在现代通信领域中的应用 23
结束语 24
参考文献 25
致谢信 26
第一章 绪论
1.1研究背景
1.1.1FRFT的发展历程
19世纪初期，法国科学家Fourier为使得热导方程的计算方法得到简化，首次提出了Fourier的概念。
20世纪以来，随着正弦函数和Fourier的进一步推广使用，人们逐渐意识到频域比经典时域方法在信号分析上有很多突出的优点。傅里叶变换（Fourier Transform，“FT”）几乎在所有科研与工程技术领域得到了应用[1]。
20世纪70年代以来，可以说计算机促使传统领域发生了革命性的变化。此时，一种以FT为基础的算法——“快速傅里叶变换”（FFT）应用而生。利用Matlab软件或者C 语言编程等方式，可以相当简便实现信号的FT。另外，利用Matlab还可实时用图形表示出来，结果非常直观清晰。目前FFT的应用已经十分成熟。本文在研究FRFT计算方法的时候，主要就是利用Matlab进行仿真，结合图像分析离散FRFT计算方法的计算时间、计算精度等等。
随着人们对FT的研究的不断深入，FT的在一些领域中的局限性也显露出来。 它的局限性具体体现在，FT是对信号的全局进行变换，在信号进行傅里叶变换后，我们得到的是信号的频谱的全部内容。因此，我们就不能获得信号在时域上的局部特性。对于非平稳的信号，信号的局部特性才是研究的关键点，具有非常重要的意义。简而言之，这种局限性对非平稳信号是极其不利的。
20世纪80年代，FT的扩展分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，“FRFT”）应运而生，它最早是Namias 利用数学计算的方式推导出的[2]。至此，Namias关于FRFT的理论成果的提出，人们才真正意识到FRFT的意义。
20世纪90年代，FRFT最早的应用领域是光学领域，主要原因是人们采用光学设备很容易实现FRFT。虽然实现了FRFT的应用，但是仅仅局限于光学领域，归其原因是人们并没有对FRFT的物理意义做出解释，也没有像普通FT所具有的快速算法。这使得FRFT未得到应有的认识[3]。
20世纪末， Almeida 指出FRFT可以解释为时频平面的旋转，Ozaktas 等人发表了文章，提出了FRFT的一种离散算法，该算法的计算量与普通FT的快速算法相当。直到FFRT的物理解释和快速算法的提出，国内外更多信号处理领域的研究者开始深入研究FRFT在信号领域中的作用，并出现了大量相关的研究文章。在第四章我们将当前使用较为广泛的离散采样型FRFT算法做一些介绍。
1.1.2 FRFT国内外的发展现状
第二十一世纪，信息技术已经渗透到当今社会的各个角落，数据化显然具有广阔的发展前景。现代通信系统作为信息化的技术基础，也在信息和工业中占据举足轻重的作用。FRFT是普通FT在第二维度上的拓展，它在Chirp信号分析中具有特殊的优势，应用价值十分广泛。FRFT的数值计算研究是算法能够在实时信号处理中得到应用的重要前提。
FRFT的出现可以说是引起了各个领域研究人员的重视，人们对FRFT进行研究并将它广泛应用[4]。如在雷达的成像以及图像分析上、在对图像媒体等加密上、以及信号处理等领域中都得到了很大的应用。正如FFT的出现大大推动了FT的发展一样，FRFT的快速算法也是FRFT得到更广阔应用的基础。因此，研究DFRFT和DFRFT的快速算法是非常有意义的事。
近年来，虽然现在已有一些离散FRFT算法，同时，“为了保证DFRFT定义的严密性有学者提出了DFRFT的准确的特性要求”[5]。然而，迄今为止并没有一种快速算法能够很好的满足DFRFT的特性要求。当前使用较多的采样型算法并不能够满足人们的需求。因此DFRFT的应用前景是非常广阔的，对FRFT的发展与研究，我们还有很长的路要走。
1.2研究思路和技术实现方法
1.2.1研究思路
首先深入了解FRFT的定义及基本性质；对离散FRFT的实现做前期准备包括采样定理，搜集离散FRFT的常用算法相关资料等等。然后重点剖析DFRFT的几种算法的优缺点，选择其中一种计算方法，利用matlab进行程序编程和仿真，并对结果做一个系统的分析。最后阐述当前FRFT在应用较为广泛的几个处理领域；此外，本文在研究的时候注重FT与FRFT的对比分析。
1.2.2 Matlab平台简介
Matlab作为我们学习上不可或缺的软件，可以说是贯穿我们整个大学学习生活的，从EDA的课程中用到的系统仿真工具（Simulink）到数字信号处理中的function函数和图像仿真，可以说它的应用是非常广泛的。在学习数字信号处理这门课的时候，我们使用Matlab进行信号的仿真，包括对信号进行普通FT，对信号进行采样滤波等等。
利用Matlab编写程序仿真我们可以清楚的看到滤波前后信号的变化，可以说用Matlab编程相对简单而又清晰直观。本次毕业课题的完成就是利用的Matlab作为研究平台。
第二章 FRFT的定义及基本性质
FRFT 的定义方式有很多种，根据一种定义方式可以推导到另一种定义，定义方式不同，物理意义也会有所差异，同时也就是意味着FRFT应用的领域会有所不同。这一方面体现了FRFT在数学领域里不容小觑的地位，另一方面也表明FRFT广阔的应用空间。FRFT定义形式根据研究者研究领域的不同，但是本质上都是等价的。本章，我们主要介绍FRFT的常见的几种定义方式。此外，还将对FRFT的性质以及物理意义做了简要阐述。
2.1FRFT的线性积分定义：
2.1.1定义
FRFT最早的一种定义是在连续时间信号下提出的。设定义在时间域的函数 的FRFT可用 或 两种方式表述，具体选择哪种方式可以根据研究的需要，或者上下文选择。 表示算子 作用在函数 上，结果产生在频域 上。
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