三维ising模型的计算机模拟
三维ising模型的计算机模拟[20191223160039]
摘 要
本文是研究三维伊辛模型并使用计算机对其进行数值模拟的基本思路和方式，随后对于蒙特卡罗法的原理及发展和产生进行了介绍，了解其基本内容和思想，最终使用计算机Fortran语言编译蒙特卡罗法对三维伊辛模型的哈密顿量等进行了数值模拟，并对模拟得出的数据进行归纳分析，讨论分析结果。
查看完整论文请+Q: 3519,1607,2
关键字:三维ising模型蒙特卡罗哈密顿量Fortran语言origin软件
目 录
1. 引言3
1.1伊辛模型的国内外研究现状3
2. 伊辛模型概述3
3. 蒙特卡罗法概述5
3.1基本思想5
3.2基本模拟过程7
4. M-C模拟三维伊辛模型7
4.1计算理论7
4.2算法过程和步骤8
5. 数据分析和讨论12
6. 致谢14
7. 参考文献14
附录1.求三维伊辛模型物理量的程序1 5
附录2. 求 的程序 19
1． 引言
在统计物理领域，材料的相变的研究是一个重要的范围，通过物质的相变，要出现新的结构和性质，从而得到物质的相变过程是非常重要的而且具有深远的意义，ising模型就是试图去解决这些问题的一个重要模型。
时至今日，ising的现状也不在仅仅是伊辛博士所提出的模样。每年有差不多6000篇左右的论文研究这一模型。不光是原本的铁磁性，伊辛模型还能适用于其他方面。如铁电薄膜的热力学性质的影响、实现量子态存储和调节、如合金中的有序-无序转变、纠缠动力学，甚至广泛到中国股市投机泡沫研究等社会现象的领域。
不过直到今天，仍然没有被学术界所一致认可的三维ising模型的精确解。本文主要是基于Monte Carlo方法的一些基本物理量，利用Fortran模拟三维ising，结合相关理论，并对数据的进行对比和分析，完成模型的基础研究。
2． 伊辛模型概述
Ising模型作为铁磁体的一种最简洁的理想模型，最早被应用于磁性物体在磁场中性质的研究，直到今日仍然是统计物理学中最广泛的研究模型之一。目前而言，它是一个最简单的理想模型铁磁体。一个三维伊辛模型可以概括为，设有N*N*N的自旋粒子（图1），处于三维晶格格点位置上，每个粒子只考虑近邻间自旋的相互作用，并只取向下或向上两个态。
在第二十世纪30年代初，许多科学家如布拉格，E. J威廉姆斯，H.A贝特等人已经开始利用有序到无序的过渡和点阵气体模型，利用平均场近似的方法来处理伊辛模型。
在布喇格-威廉斯平均场近似法观点中，某一阵点的自旋取某一方向的几率只和在自旋方向上的数目有关，且成正比关系，与近邻阵点的自旋取向没有关系。每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关, 是每个自旋上的磁化强度，可表示为 ，其中 是总点阵数， 分别代表自旋向上和向下的总阵点数，显然 。结合铁磁的特性，可以得出：存在一临界温度 ，当 而 时，物质不磁化，没有相变；当 时，尽管仍有 ，但磁化强度 可不为零（可取正值或负值，铁磁性物质存在相变。此结果应该对所有点阵都成立，但更严谨的证明看出，二维、三维伊辛模型已经存在高于临界温度的情况下有相变的情况。当然，在使用它的铁磁材料的相变临界温度的处理下，仍然是一个有显著意义的方法。
L.Lars Onsager在上世纪40年代曾对Ising模型运用解析法对精确解作出了杰出的贡献。Onsager的思想是先设每个点阵的自旋变量为±1，考虑晶格上的自旋位形，估计所有自旋与相邻的自旋间的相互作用能量和外磁场间的影响能量，然后对所有已知的位形求出总和，并用矩阵解出相关函数，最终求出各个平衡态时的热力学性质，得出热力学函数。
图1 三维ising模型
系统的总能量为：
其中H是外加磁场的强度，Si是第i个格点的自旋，其值为Si =±1。
此处Jij是耦合常数。
Jij＞0表示自旋交换作用为铁磁相互作用，＜0则表示自旋交换作用为反铁磁相互作用，=0表示自旋间无相互作用。
求和遍及所有最近邻粒子之间，当两个原子都处于表面层时，它们之间的交换耦合取 ，其它情况下取 。当 超过某个临界值时，表面在体有序之前达到有序态，即表面铁磁相。在《二维伊辛模型相变临界点温度的模拟计算》一文中求得相变临界点温度为 。
3． 蒙特卡罗法概述
3.1 基本思想
蒙特卡罗法是一种统计模拟方法，运用随机数来解决问题，具有随机性。它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。以前的方式因为解决不了临近真正的物理过程间产生的误差，难以获得较为真实的成果，而Monte Carlo法却能更真实的模拟物理运算过程，适合解决实际问题，这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本用途是为了求解数学，物理，管理模型和其他领域的矛盾、疑难。可以先设定一个过程或者模型，让它的解等于参数，然后使用对模型和过程的观测个取样实验去得出所需要的参数特性，并计算出解的相似值。这也叫做蒙特卡罗的直接解法。间接解法则是先建立一个合适的概率系统，并确定它的随机变量和随机事件，所得的解要和变量的数学期望值或事件出现的概率相符。然后开始多次重复的模拟，最后得到统计平均值为问题的解。
蒙特卡罗法规避了系统可靠度中的问题，无论状态还是的线性或非线性，随机变量的正态分布或非正态分布，只需要模拟足够多的次数，就能获得一个较为准确的无效概率或可靠的概率。所以蒙特卡罗方法给之前问题中的难点给出了一种解决方案，让它们得以继续进一步研究，这就是蒙特卡罗的基础思想。
3.2 基本模拟过程
3.2.1.构造或描述概率过程：
先将模型分为具有随机性质和不具有随机性质。如粒子运动问题这类自身已经是随机性质的系统，可以精确描述并模拟此概率进程，如果本身并不具有随机性质，必须先创造出人为的概率系统，使得系统的某一些参量可以解决该问题的结果。就是使系统被赋予随机性。
3.2.2.实现从已知概率分布抽样：
蒙特卡罗法最基础的一个概率分布是在(0,1)上进行的均匀分布。随机变量包含这类分布均匀的随机数。相互独立并拥有这一类简单子样的随机数序列模拟来解决这个分布抽样系统。随机数的生成问题，就是从这个系统。如果通过计算机用物理方法得到随机数，这一过程不但价格高，而且不能反复利用，功能不便。另一种方法是使用递归生成。这样产生的序列被称为伪随机数，或伪随机数序列。然而，在经过不同统计检验后发表明，它与真正的随机数和随机数序具备共同的特性，可以把它当成真实的随机数去使用。随机序列是各种分布随机抽样方法的前提，与从（0,1）中的均匀分布抽样不一致。因而可知，想要完成蒙特卡罗模拟的基本工具是随机数。
3.3.3.建立各种估计量：
构筑模型之后，需要先确定一个随机无偏估计变量。各种估计量的建立，对模拟结果采取相当的调查和登记，从而可以解决其中的问题。
3.3.4.举例求π：
通过蒙特卡罗法求解的首要步骤就是产生随机数，使用Fortran语言编写产生随机数的具体程序如附录二所示。利用蒙特卡罗方法求 的基本思想是在设定一平面内建立 坐标系，在坐标轴上规定 宽度的范围，随机投掷一根长为 的细针，假设针与水平方向的夹角为 （ 随机数），则取细针一点的纵坐标为 （ *随机数），那么细针两个端点的纵坐标分别为 ， ，且 。如果在 或 的条件下，细针与坐标系上规定的范围有交点，这就是有效点。令投掷的次数为 ，有效点数为 ，则 的表达式为 。计算机语言产生的随机数在0~1之间，从上可以看出蒙特卡罗法必须先根据所求问题的规律构造一个概率模型，然后用计算机进行抽样试验，从而得出对应于这一物理问题的随机变量 的分布。
4． 模拟的理论和过程
4.1 计算理论
某一尺寸为L=N*N*N的立方形三维伊辛模型中某一格点的自旋（S0）及其周围最相近的六个自旋（S1,S2,S3,S4，S5，S6）, 在该格点上伊辛模型的自旋组态，即自旋取向分布的状态，Si取值为+1或-1，即自旋朝上或自旋朝下，这个变量就是伊辛变量。
由于考虑每个自旋周围最相近的六个自旋，然后Si及其周围最相近自旋Sj相互作用能为 ，如此伊辛模型系统中的哈密顿量为：
此J是耦合常数，与材料有关。
同时系统的磁化强度为：
摘 要
本文是研究三维伊辛模型并使用计算机对其进行数值模拟的基本思路和方式，随后对于蒙特卡罗法的原理及发展和产生进行了介绍，了解其基本内容和思想，最终使用计算机Fortran语言编译蒙特卡罗法对三维伊辛模型的哈密顿量等进行了数值模拟，并对模拟得出的数据进行归纳分析，讨论分析结果。
查看完整论文请+Q: 3519,1607,2
关键字:三维ising模型蒙特卡罗哈密顿量Fortran语言origin软件
目 录
1. 引言3
1.1伊辛模型的国内外研究现状3
2. 伊辛模型概述3
3. 蒙特卡罗法概述5
3.1基本思想5
3.2基本模拟过程7
4. M-C模拟三维伊辛模型7
4.1计算理论7
4.2算法过程和步骤8
5. 数据分析和讨论12
6. 致谢14
7. 参考文献14
附录1.求三维伊辛模型物理量的程序1 5
附录2. 求 的程序 19
1． 引言
在统计物理领域，材料的相变的研究是一个重要的范围，通过物质的相变，要出现新的结构和性质，从而得到物质的相变过程是非常重要的而且具有深远的意义，ising模型就是试图去解决这些问题的一个重要模型。
时至今日，ising的现状也不在仅仅是伊辛博士所提出的模样。每年有差不多6000篇左右的论文研究这一模型。不光是原本的铁磁性，伊辛模型还能适用于其他方面。如铁电薄膜的热力学性质的影响、实现量子态存储和调节、如合金中的有序-无序转变、纠缠动力学，甚至广泛到中国股市投机泡沫研究等社会现象的领域。
不过直到今天，仍然没有被学术界所一致认可的三维ising模型的精确解。本文主要是基于Monte Carlo方法的一些基本物理量，利用Fortran模拟三维ising，结合相关理论，并对数据的进行对比和分析，完成模型的基础研究。
2． 伊辛模型概述
Ising模型作为铁磁体的一种最简洁的理想模型，最早被应用于磁性物体在磁场中性质的研究，直到今日仍然是统计物理学中最广泛的研究模型之一。目前而言，它是一个最简单的理想模型铁磁体。一个三维伊辛模型可以概括为，设有N*N*N的自旋粒子（图1），处于三维晶格格点位置上，每个粒子只考虑近邻间自旋的相互作用，并只取向下或向上两个态。
在第二十世纪30年代初，许多科学家如布拉格，E. J威廉姆斯，H.A贝特等人已经开始利用有序到无序的过渡和点阵气体模型，利用平均场近似的方法来处理伊辛模型。
在布喇格-威廉斯平均场近似法观点中，某一阵点的自旋取某一方向的几率只和在自旋方向上的数目有关，且成正比关系，与近邻阵点的自旋取向没有关系。每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关, 是每个自旋上的磁化强度，可表示为 ，其中 是总点阵数， 分别代表自旋向上和向下的总阵点数，显然 。结合铁磁的特性，可以得出：存在一临界温度 ，当 而 时，物质不磁化，没有相变；当 时，尽管仍有 ，但磁化强度 可不为零（可取正值或负值，铁磁性物质存在相变。此结果应该对所有点阵都成立，但更严谨的证明看出，二维、三维伊辛模型已经存在高于临界温度的情况下有相变的情况。当然，在使用它的铁磁材料的相变临界温度的处理下，仍然是一个有显著意义的方法。
L.Lars Onsager在上世纪40年代曾对Ising模型运用解析法对精确解作出了杰出的贡献。Onsager的思想是先设每个点阵的自旋变量为±1，考虑晶格上的自旋位形，估计所有自旋与相邻的自旋间的相互作用能量和外磁场间的影响能量，然后对所有已知的位形求出总和，并用矩阵解出相关函数，最终求出各个平衡态时的热力学性质，得出热力学函数。
图1 三维ising模型
系统的总能量为：
其中H是外加磁场的强度，Si是第i个格点的自旋，其值为Si =±1。
此处Jij是耦合常数。
Jij＞0表示自旋交换作用为铁磁相互作用，＜0则表示自旋交换作用为反铁磁相互作用，=0表示自旋间无相互作用。
求和遍及所有最近邻粒子之间，当两个原子都处于表面层时，它们之间的交换耦合取 ，其它情况下取 。当 超过某个临界值时，表面在体有序之前达到有序态，即表面铁磁相。在《二维伊辛模型相变临界点温度的模拟计算》一文中求得相变临界点温度为 。
3． 蒙特卡罗法概述
3.1 基本思想
蒙特卡罗法是一种统计模拟方法，运用随机数来解决问题，具有随机性。它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。以前的方式因为解决不了临近真正的物理过程间产生的误差，难以获得较为真实的成果，而Monte Carlo法却能更真实的模拟物理运算过程，适合解决实际问题，这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本用途是为了求解数学，物理，管理模型和其他领域的矛盾、疑难。可以先设定一个过程或者模型，让它的解等于参数，然后使用对模型和过程的观测个取样实验去得出所需要的参数特性，并计算出解的相似值。这也叫做蒙特卡罗的直接解法。间接解法则是先建立一个合适的概率系统，并确定它的随机变量和随机事件，所得的解要和变量的数学期望值或事件出现的概率相符。然后开始多次重复的模拟，最后得到统计平均值为问题的解。
蒙特卡罗法规避了系统可靠度中的问题，无论状态还是的线性或非线性，随机变量的正态分布或非正态分布，只需要模拟足够多的次数，就能获得一个较为准确的无效概率或可靠的概率。所以蒙特卡罗方法给之前问题中的难点给出了一种解决方案，让它们得以继续进一步研究，这就是蒙特卡罗的基础思想。
3.2 基本模拟过程
3.2.1.构造或描述概率过程：
先将模型分为具有随机性质和不具有随机性质。如粒子运动问题这类自身已经是随机性质的系统，可以精确描述并模拟此概率进程，如果本身并不具有随机性质，必须先创造出人为的概率系统，使得系统的某一些参量可以解决该问题的结果。就是使系统被赋予随机性。
3.2.2.实现从已知概率分布抽样：
蒙特卡罗法最基础的一个概率分布是在(0,1)上进行的均匀分布。随机变量包含这类分布均匀的随机数。相互独立并拥有这一类简单子样的随机数序列模拟来解决这个分布抽样系统。随机数的生成问题，就是从这个系统。如果通过计算机用物理方法得到随机数，这一过程不但价格高，而且不能反复利用，功能不便。另一种方法是使用递归生成。这样产生的序列被称为伪随机数，或伪随机数序列。然而，在经过不同统计检验后发表明，它与真正的随机数和随机数序具备共同的特性，可以把它当成真实的随机数去使用。随机序列是各种分布随机抽样方法的前提，与从（0,1）中的均匀分布抽样不一致。因而可知，想要完成蒙特卡罗模拟的基本工具是随机数。
3.3.3.建立各种估计量：
构筑模型之后，需要先确定一个随机无偏估计变量。各种估计量的建立，对模拟结果采取相当的调查和登记，从而可以解决其中的问题。
3.3.4.举例求π：
通过蒙特卡罗法求解的首要步骤就是产生随机数，使用Fortran语言编写产生随机数的具体程序如附录二所示。利用蒙特卡罗方法求 的基本思想是在设定一平面内建立 坐标系，在坐标轴上规定 宽度的范围，随机投掷一根长为 的细针，假设针与水平方向的夹角为 （ 随机数），则取细针一点的纵坐标为 （ *随机数），那么细针两个端点的纵坐标分别为 ， ，且 。如果在 或 的条件下，细针与坐标系上规定的范围有交点，这就是有效点。令投掷的次数为 ，有效点数为 ，则 的表达式为 。计算机语言产生的随机数在0~1之间，从上可以看出蒙特卡罗法必须先根据所求问题的规律构造一个概率模型，然后用计算机进行抽样试验，从而得出对应于这一物理问题的随机变量 的分布。
4． 模拟的理论和过程
4.1 计算理论
某一尺寸为L=N*N*N的立方形三维伊辛模型中某一格点的自旋（S0）及其周围最相近的六个自旋（S1,S2,S3,S4，S5，S6）, 在该格点上伊辛模型的自旋组态，即自旋取向分布的状态，Si取值为+1或-1，即自旋朝上或自旋朝下，这个变量就是伊辛变量。
由于考虑每个自旋周围最相近的六个自旋，然后Si及其周围最相近自旋Sj相互作用能为 ，如此伊辛模型系统中的哈密顿量为：
此J是耦合常数，与材料有关。
同时系统的磁化强度为：
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