量子失协与量子相变
量子失协与量子相变[20200406141301]
摘 要
本文主要研究了量子纠缠、量子失协这两个基本的物理概念，并研究了它们与量子相变之间的关系。我们通过数值的方法研究了温度为零时，一维自旋为1/2 各向异性的海森堡链当中关联，纠缠和量子失协。研究发现纠缠和量子失协 都能探测系统的相变点 。我们拓展到有限温度下系统中的纠缠会偏离相变点，而量子失协仍然可以判定系统的相变点。这一现象是非常有趣且很有意义的。此外。利用含时的密度矩阵重整化群，我们研究一维自旋为1/2 各向异性的海森堡链在量子淬火后的量子纠缠和量子关联的动力学行为。研究表明系统最近邻的两个比特之间的量子纠缠和量子关联起先会产生震荡，然后在趋于一个稳定的值。我们把它们的动力学行为和系统的量子相变联系起来，会发现量子关联可以判定系统的相变点 ，而纠缠却不能。我们还考虑系统温度在该过程中量子关联和量子纠缠对相变的探测能力的影响，研究不同温度下同样的量子淬火过程，温度对其探测相变的能力影响甚微。
摘 要 2
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关键字:XXZ自旋链量子纠缠量子失协量子关联量子相变。
目 录
Abstract 3
第一章 引 言 5
1.1引言 5
1.2量子相变 5
第二章 量子纠缠与失协 6
2.1量子纠缠的度量 6
2.1.1Schmidt分解和两体纠缠熵 6
2.1.2两量子位纠缠的度量方法 8
2.2量子失协 9
第三章 自旋1/2的海森堡XXZ模型中量子相变 12
3.1平衡态中量子纠缠和量子失协 12
3.2非平衡态中量子纠缠和量子失协 16
第四章 结语展望 22
致 谢 23
参考文献 23
第一章 引 言
1.1引言
量子信息理论是将量子力学的基本原理应用于信息论和计算机科学领域上而产生的一门综合性学科。当前而言，量子信息理论是国际上研究最为活跃和最热门的一种课题。我们可以利用量子信息技术来完成目前而言诸多经典领域所不能完成的信息处理任务,例如量子隐形传态、量子密码术、量子稠密编码等一系列相关联的工作。有了量子纠缠的发现，这使得量子信息处理技术能够超越经典技术。然而作为量子力学最不同于经典力学的概念,量子纠缠有效地反应了量子力学的本质。正是由于这些特殊性质,使得量子纠缠成为了量子信息处理的重要环节,不仅仅如此，量子纠缠还被广泛应用于量子通信和量子计算的领域中。近些年来,随着量子信息论的发展与创新,在大家对量子自旋系统的深入研究基础上，人们发现了其广阔的应用前景。例如：在量子点系统、电子自旋等许多物理系统中来研究的海森堡模型，其目前一直被用于模拟量子计算机。除此,另一个被关注的与海森堡模型紧密相关联的问题就是量子相变。诸多的研究结果表明,自旋系统的量子相变点与量子纠缠的奇异点之间密切相关。随着人们对此研究的不断深入,后来的人们发现量子纠缠其实并不能包含系统中所有的量子关联。于是人们便引入了量子失协，以此来度量系统中总的量子关联。结果发现通过量子失协可以探测量子相变，并且表现相当出色。由于量子关联与量子相变联系紧密，本课题中也对于一个典型的量子自旋系统中量子关联与量子相变的关系做了简单的研究。
1.2量子相变
量子相变是一个在绝对零度（温度接近0）下没有任何热波动存在的纯粹的量子过程[1]。量子相变是通过改变系统的哈密顿函数（如外部磁场或偶合常数）所造成的。这些量通常是作为已知的调谐参数。一个改变了的哈密顿的系统可能会达到一个特殊点（临界点），其中该系统的基态遭受突然变化会导致映射在系统上性能的宏观变化。量子的相位的这种变化完全是由于量子涨落，此时，系统的温度非常接近零，并且此时海森堡测不准原理存在。这整个过程就称作为量子相变。在某些金属的顺磁性[2]，铁磁性过渡，超导体-绝缘体转变[3]，和超流- 莫特绝缘体转变[4]就是这一量子相变的显着的例子。
原则上量子相变出现在温度为零的环境下，由于热力学第三定律导致这成为不可能实现的实验。因此，人们必须工作并维持在非常小的温度下，尽可能接近到绝对零度，以便于检测一个系统的量子相变。更准确地说，人们需要工作在起主导作用并且不足以驱动系统从基态到激发态的热波动的环境下。这种情况下由量子涨落支配，并能够作为量子相变的一个衡量的环境。
到目前为止，可用来作为确定一个给定的哈密顿，假设温度等于0的临界点的理论工具已经具备。对于自旋链，例如，在研究中的临界点，作为一个不同变化的调整参数，其磁化率，或二分[5]和多体[6]纠缠，或者其量子关联（量子失协）都会表现的不同。我们可以通过研究这些量的极值以及它们的一阶和二阶的衍生物之一的方式来凸现临界点。然而，对温度为零的假设限制了这些理论。事实上，如果热波动没有足够小且使得激发相关的态变，利用发展至今的工具还不能被用来对临界点清楚地说明。
我们去掉这个限制，并提出了一个理论工具，通过其我们能够清楚地检测到在有限温度时的量子相变时的临界点。研究表明，有限的温度下存在严格的量子失协[7]，正如热量子失协（有限温度下的量子失协）[8]给出的结论，在温度为零[9]使用前面的方法，明确检测出量子相变的临界点是可见的。这一显著的量子失协属性，一方面，这是一种应用于减少实验确定量子相变的临界点的重要工具的要求，甚至允许这种检测应用与那些今天的技术几乎不可能获得低于其量子涨落支配温度的系统；另一方面，有限温度下的这一特点表明，量子相变不仅针对小于温度的，但也高于温度的其中量子涨落不再占主导地位的物理性质的系统有着决定性的影响。
第二章 量子纠缠与失协
2.1量子纠缠的度量
2.1.1Schmidt分解和两体纠缠熵
对于由子系统 1 和 2 组成的复杂体系，我们可以利用复合系统纯态的Schmid温度分解定理来做研究。假设它是处于一个纯态 ，那么相应子系统的约化密度矩阵就可以定义为
(2.1.1)
(2.1.2)
则 ， ， 分别为 ， 的本征态，相应的本征值都为 。
这个定理的证明过程如下面所述：取子系统1的态 为 的本征态，相应的本征值 ， ， 就构成一组正交归一的基矢。
假设子系统 2 的正交归一基矢为 ，如果这两个子系统存在相同的本征值 ，这就充分表明这样的纯态分解的的确确是可行的，即该定理是成立的。
(2.1.3)
我们定义：
(2.1.4)
可以假设 归一。
于是有
(2.1.5)
同时有
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
我们便得到共同的本征值 ，复杂系统的纯态就可以表示为
(2.1.10)
对于更多的粒子系统组成的纯态，我们可以通过扩展它的概念来解释，稍微做下处理，尝试将这整个系统拆分成任意的两个部分，即系统 A 和系统 B 。
假设存在的一对量子系统 A 和 B，整体的任意量子态可以用密度矩阵 来表示。对于两粒子的纯态系统，我们可以用系统的部分熵E来表示纠缠度，即：A 和 B 任意一个子系统的熵为：
(2.1.11)
摘 要
本文主要研究了量子纠缠、量子失协这两个基本的物理概念，并研究了它们与量子相变之间的关系。我们通过数值的方法研究了温度为零时，一维自旋为1/2 各向异性的海森堡链当中关联，纠缠和量子失协。研究发现纠缠和量子失协 都能探测系统的相变点 。我们拓展到有限温度下系统中的纠缠会偏离相变点，而量子失协仍然可以判定系统的相变点。这一现象是非常有趣且很有意义的。此外。利用含时的密度矩阵重整化群，我们研究一维自旋为1/2 各向异性的海森堡链在量子淬火后的量子纠缠和量子关联的动力学行为。研究表明系统最近邻的两个比特之间的量子纠缠和量子关联起先会产生震荡，然后在趋于一个稳定的值。我们把它们的动力学行为和系统的量子相变联系起来，会发现量子关联可以判定系统的相变点 ，而纠缠却不能。我们还考虑系统温度在该过程中量子关联和量子纠缠对相变的探测能力的影响，研究不同温度下同样的量子淬火过程，温度对其探测相变的能力影响甚微。
摘 要 2
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:XXZ自旋链量子纠缠量子失协量子关联量子相变。
目 录
Abstract 3
第一章 引 言 5
1.1引言 5
1.2量子相变 5
第二章 量子纠缠与失协 6
2.1量子纠缠的度量 6
2.1.1Schmidt分解和两体纠缠熵 6
2.1.2两量子位纠缠的度量方法 8
2.2量子失协 9
第三章 自旋1/2的海森堡XXZ模型中量子相变 12
3.1平衡态中量子纠缠和量子失协 12
3.2非平衡态中量子纠缠和量子失协 16
第四章 结语展望 22
致 谢 23
参考文献 23
第一章 引 言
1.1引言
量子信息理论是将量子力学的基本原理应用于信息论和计算机科学领域上而产生的一门综合性学科。当前而言，量子信息理论是国际上研究最为活跃和最热门的一种课题。我们可以利用量子信息技术来完成目前而言诸多经典领域所不能完成的信息处理任务,例如量子隐形传态、量子密码术、量子稠密编码等一系列相关联的工作。有了量子纠缠的发现，这使得量子信息处理技术能够超越经典技术。然而作为量子力学最不同于经典力学的概念,量子纠缠有效地反应了量子力学的本质。正是由于这些特殊性质,使得量子纠缠成为了量子信息处理的重要环节,不仅仅如此，量子纠缠还被广泛应用于量子通信和量子计算的领域中。近些年来,随着量子信息论的发展与创新,在大家对量子自旋系统的深入研究基础上，人们发现了其广阔的应用前景。例如：在量子点系统、电子自旋等许多物理系统中来研究的海森堡模型，其目前一直被用于模拟量子计算机。除此,另一个被关注的与海森堡模型紧密相关联的问题就是量子相变。诸多的研究结果表明,自旋系统的量子相变点与量子纠缠的奇异点之间密切相关。随着人们对此研究的不断深入,后来的人们发现量子纠缠其实并不能包含系统中所有的量子关联。于是人们便引入了量子失协，以此来度量系统中总的量子关联。结果发现通过量子失协可以探测量子相变，并且表现相当出色。由于量子关联与量子相变联系紧密，本课题中也对于一个典型的量子自旋系统中量子关联与量子相变的关系做了简单的研究。
1.2量子相变
量子相变是一个在绝对零度（温度接近0）下没有任何热波动存在的纯粹的量子过程[1]。量子相变是通过改变系统的哈密顿函数（如外部磁场或偶合常数）所造成的。这些量通常是作为已知的调谐参数。一个改变了的哈密顿的系统可能会达到一个特殊点（临界点），其中该系统的基态遭受突然变化会导致映射在系统上性能的宏观变化。量子的相位的这种变化完全是由于量子涨落，此时，系统的温度非常接近零，并且此时海森堡测不准原理存在。这整个过程就称作为量子相变。在某些金属的顺磁性[2]，铁磁性过渡，超导体-绝缘体转变[3]，和超流- 莫特绝缘体转变[4]就是这一量子相变的显着的例子。
原则上量子相变出现在温度为零的环境下，由于热力学第三定律导致这成为不可能实现的实验。因此，人们必须工作并维持在非常小的温度下，尽可能接近到绝对零度，以便于检测一个系统的量子相变。更准确地说，人们需要工作在起主导作用并且不足以驱动系统从基态到激发态的热波动的环境下。这种情况下由量子涨落支配，并能够作为量子相变的一个衡量的环境。
到目前为止，可用来作为确定一个给定的哈密顿，假设温度等于0的临界点的理论工具已经具备。对于自旋链，例如，在研究中的临界点，作为一个不同变化的调整参数，其磁化率，或二分[5]和多体[6]纠缠，或者其量子关联（量子失协）都会表现的不同。我们可以通过研究这些量的极值以及它们的一阶和二阶的衍生物之一的方式来凸现临界点。然而，对温度为零的假设限制了这些理论。事实上，如果热波动没有足够小且使得激发相关的态变，利用发展至今的工具还不能被用来对临界点清楚地说明。
我们去掉这个限制，并提出了一个理论工具，通过其我们能够清楚地检测到在有限温度时的量子相变时的临界点。研究表明，有限的温度下存在严格的量子失协[7]，正如热量子失协（有限温度下的量子失协）[8]给出的结论，在温度为零[9]使用前面的方法，明确检测出量子相变的临界点是可见的。这一显著的量子失协属性，一方面，这是一种应用于减少实验确定量子相变的临界点的重要工具的要求，甚至允许这种检测应用与那些今天的技术几乎不可能获得低于其量子涨落支配温度的系统；另一方面，有限温度下的这一特点表明，量子相变不仅针对小于温度的，但也高于温度的其中量子涨落不再占主导地位的物理性质的系统有着决定性的影响。
第二章 量子纠缠与失协
2.1量子纠缠的度量
2.1.1Schmidt分解和两体纠缠熵
对于由子系统 1 和 2 组成的复杂体系，我们可以利用复合系统纯态的Schmid温度分解定理来做研究。假设它是处于一个纯态 ，那么相应子系统的约化密度矩阵就可以定义为
(2.1.1)
(2.1.2)
则 ， ， 分别为 ， 的本征态，相应的本征值都为 。
这个定理的证明过程如下面所述：取子系统1的态 为 的本征态，相应的本征值 ， ， 就构成一组正交归一的基矢。
假设子系统 2 的正交归一基矢为 ，如果这两个子系统存在相同的本征值 ，这就充分表明这样的纯态分解的的确确是可行的，即该定理是成立的。
(2.1.3)
我们定义：
(2.1.4)
可以假设 归一。
于是有
(2.1.5)
同时有
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
我们便得到共同的本征值 ，复杂系统的纯态就可以表示为
(2.1.10)
对于更多的粒子系统组成的纯态，我们可以通过扩展它的概念来解释，稍微做下处理，尝试将这整个系统拆分成任意的两个部分，即系统 A 和系统 B 。
假设存在的一对量子系统 A 和 B，整体的任意量子态可以用密度矩阵 来表示。对于两粒子的纯态系统，我们可以用系统的部分熵E来表示纠缠度，即：A 和 B 任意一个子系统的熵为：
(2.1.11)
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