帕斯卡矩阵的线性代数
帕斯卡矩阵的线性代数
摘要
帕斯卡矩阵可以用两种不同的基本方法表示成I.个矩阵:表示为I.个下III角矩阵或者作为I.个完整的对称矩阵.研究表明是的Cholesky分解,可以用特殊的求和矩阵因式分解.我们证明这些矩阵的逆是执行高斯消元法计算Cholesky分解的步骤中的算子.通过应用线性代数,我们得到I.些组合恒等式和丢番图方程的I.个存在定理.最后,给出第次幂求和的I.个具体公式.
定义:帕斯卡矩阵由下式定义:
,,和当时.
进I.步,我们定义矩阵,,和见下式
.
,
或.
帕斯卡矩阵是由它的构造形式来描述的:
当.0当,
.
很容易可以得出
例:
此外,我们还需要如下矩阵:
,
,,且
引理I.
当.
证明:当我们有和.另,通过矩阵乘积的定义和熟悉的组合恒等式,我们发现(见[III.P.VII])当时
,
且当它遵循.
例:
由引理I.的结果和的定义得定理I.
定理I.帕斯卡矩阵可以通过求和矩阵进行因式分解
(I.)
例:
对于帕斯卡矩阵的逆,我们得到
(II)
且
,
和
另记被定义为,且
引理II
当
证:对我们有和.令.由帕斯卡矩阵构造规则我们得到的当且时有
对我们有且当时有
例:
引理II通过差分矩阵使被因式分解成为可能,由(II)它遵循
定理II其中
(III)
尤其
(IV)
得
例:
(IV)式代表了众所周知的逆关系(III)
我们定义对称矩阵帕斯卡矩阵为
类似于帕斯卡矩阵,的元素,遵循 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
以下构造原则:
(V)
定理III
(VI)
的Cholesky分解(IV)由下式给出
(VII)
例:
证明:我们定义矩阵,,
很容易验证出,,且
当时(VIII)
我们证明;当时的结果定义为
令,通过(V)式我们得到
(IX)
令,由(VIII)和(V)式,我们再次得到(IX)以及
因此,(VI)式被证实.柯勒斯基分解(VII)可得(III).
备注:矩阵由矩阵执行k次高斯消元得到
例:
引理III
(I.0)
且
,(I.I.)
证明:由(IV),它遵循
据此,(I.0)得证,如果k=I.,(I.I.)到(VII).带(I.0)和(VII)进入,有鉴于此,我们进行了归纳步骤:
且
通过执行矩阵方程(VII)的乘法,我们得到I.个II项式系数的恒等式:
推论I.
,
推论I.也可以从范德蒙卷积而得到公式[III]
备注:矩阵Q的对角元素,在本质上是卡塔兰数[III],其定义为
因此,我们有
,
如果我们看I.下矩阵方程的元素,我们发现
推论II
,
由推论I.和II的结果得到
推论III
,
从的定义我们得到行列式,运用(VII)式,同样得到行列式.从而和是中行列式为I.矩阵所构成的群中的元素.此外,由柯勒斯基因式分解(VII)知的所有特征值是正的.关于的谱,我们得到
因此,如果是的特征值,那么也是的特征值.由此可见,如果的维数是奇数,那么I.是其中I.个特征值.由于特征向量是通过有限多次有理化的计算所得,且因为,对应于特征值l的特征向量中的元素可以被表示为整数.对特征值方程为偶数时得到
定理IV如果n为偶数时,丢番图方程组
在Z中有非平凡解.
对于n=II,IV,VI,VIII和I.0,下表显示了非平凡解,它们没有公约数的组成部分:
让我们再来考虑帕斯卡矩阵.事实证明,对所有的幂中的元素有I.个短公式.如果为了方便,我们设,得到
定理V
对且
或者
,对,
其中,,
证明:由于对,是非奇异的,由第I.个结论成立就可以得到第II个结论.对,和,第I.条语句持有和的定义.令.从而由(IV)和矩阵乘积的定义得到
现在通过数学归纳法结论是显而易见的.
现在开始,我们令是在中的第个分量为I.其他分量为0的向量,并且为求和向量.众所周知,该帕斯卡矩阵的行的总和,是的幂.这个事实可以被推广为帕斯卡矩阵的所有幂(参见[I.]).作为定理VI.个推论,我们得到
引理IV(交换引理)
对且
交换引理指出该基和指数的作用是可以互换的,因此称为交换".
推论IV
当时
证明:首先,我们指出,对于任何方阵A只有下方有非零的对角元素,的第行始终为零因此,如果,则交换引理适用所有的
我们现在能够为第次幂的总和给出I.个明确的公式.
定理VI对
证明:由交换引理,我们有
在最后I.步计算中,推论IV使我们能够将求和运算减少为次,且对于固定值,它的值仅依赖于.
参考文献
[I.]R. *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
Brawer.PotenzenderPascalmatrixundeineIdentitStderKombinatorik.Elem.derMath,IVV,I.0VII-I.I.0,I.IXIX0
[II]R.A.HornandC.A.Johnson.MatrixAnalysis.CambridgeU.P,Cambridge,I.IXVIIIV
[III]J.Riordan.CombinatorialIdentities.Wiley,NewYork,I.IXVIVIII
[IV]J.StoerandR.Bulirsch.IntroductiontoNumericalAnalysis.Springer-Verlag,NewYork,I.IXVIII0
附件II:外文原文
摘要
帕斯卡矩阵可以用两种不同的基本方法表示成I.个矩阵:表示为I.个下III角矩阵或者作为I.个完整的对称矩阵.研究表明是的Cholesky分解,可以用特殊的求和矩阵因式分解.我们证明这些矩阵的逆是执行高斯消元法计算Cholesky分解的步骤中的算子.通过应用线性代数,我们得到I.些组合恒等式和丢番图方程的I.个存在定理.最后,给出第次幂求和的I.个具体公式.
定义:帕斯卡矩阵由下式定义:
,,和当时.
进I.步,我们定义矩阵,,和见下式
.
,
或.
帕斯卡矩阵是由它的构造形式来描述的:
当.0当,
.
很容易可以得出
例:
此外,我们还需要如下矩阵:
,
,,且
引理I.
当.
证明:当我们有和.另,通过矩阵乘积的定义和熟悉的组合恒等式,我们发现(见[III.P.VII])当时
,
且当它遵循.
例:
由引理I.的结果和的定义得定理I.
定理I.帕斯卡矩阵可以通过求和矩阵进行因式分解
(I.)
例:
对于帕斯卡矩阵的逆,我们得到
(II)
且
,
和
另记被定义为,且
引理II
当
证:对我们有和.令.由帕斯卡矩阵构造规则我们得到的当且时有
对我们有且当时有
例:
引理II通过差分矩阵使被因式分解成为可能,由(II)它遵循
定理II其中
(III)
尤其
(IV)
得
例:
(IV)式代表了众所周知的逆关系(III)
我们定义对称矩阵帕斯卡矩阵为
类似于帕斯卡矩阵,的元素,遵循 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
以下构造原则:
(V)
定理III
(VI)
的Cholesky分解(IV)由下式给出
(VII)
例:
证明:我们定义矩阵,,
很容易验证出,,且
当时(VIII)
我们证明;当时的结果定义为
令,通过(V)式我们得到
(IX)
令,由(VIII)和(V)式,我们再次得到(IX)以及
因此,(VI)式被证实.柯勒斯基分解(VII)可得(III).
备注:矩阵由矩阵执行k次高斯消元得到
例:
引理III
(I.0)
且
,(I.I.)
证明:由(IV),它遵循
据此,(I.0)得证,如果k=I.,(I.I.)到(VII).带(I.0)和(VII)进入,有鉴于此,我们进行了归纳步骤:
且
通过执行矩阵方程(VII)的乘法,我们得到I.个II项式系数的恒等式:
推论I.
,
推论I.也可以从范德蒙卷积而得到公式[III]
备注:矩阵Q的对角元素,在本质上是卡塔兰数[III],其定义为
因此,我们有
,
如果我们看I.下矩阵方程的元素,我们发现
推论II
,
由推论I.和II的结果得到
推论III
,
从的定义我们得到行列式,运用(VII)式,同样得到行列式.从而和是中行列式为I.矩阵所构成的群中的元素.此外,由柯勒斯基因式分解(VII)知的所有特征值是正的.关于的谱,我们得到
因此,如果是的特征值,那么也是的特征值.由此可见,如果的维数是奇数,那么I.是其中I.个特征值.由于特征向量是通过有限多次有理化的计算所得,且因为,对应于特征值l的特征向量中的元素可以被表示为整数.对特征值方程为偶数时得到
定理IV如果n为偶数时,丢番图方程组
在Z中有非平凡解.
对于n=II,IV,VI,VIII和I.0,下表显示了非平凡解,它们没有公约数的组成部分:
让我们再来考虑帕斯卡矩阵.事实证明,对所有的幂中的元素有I.个短公式.如果为了方便,我们设,得到
定理V
对且
或者
,对,
其中,,
证明:由于对,是非奇异的,由第I.个结论成立就可以得到第II个结论.对,和,第I.条语句持有和的定义.令.从而由(IV)和矩阵乘积的定义得到
现在通过数学归纳法结论是显而易见的.
现在开始,我们令是在中的第个分量为I.其他分量为0的向量,并且为求和向量.众所周知,该帕斯卡矩阵的行的总和,是的幂.这个事实可以被推广为帕斯卡矩阵的所有幂(参见[I.]).作为定理VI.个推论,我们得到
引理IV(交换引理)
对且
交换引理指出该基和指数的作用是可以互换的,因此称为交换".
推论IV
当时
证明:首先,我们指出,对于任何方阵A只有下方有非零的对角元素,的第行始终为零因此,如果,则交换引理适用所有的
我们现在能够为第次幂的总和给出I.个明确的公式.
定理VI对
证明:由交换引理,我们有
在最后I.步计算中,推论IV使我们能够将求和运算减少为次,且对于固定值,它的值仅依赖于.
参考文献
[I.]R. *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
Brawer.PotenzenderPascalmatrixundeineIdentitStderKombinatorik.Elem.derMath,IVV,I.0VII-I.I.0,I.IXIX0
[II]R.A.HornandC.A.Johnson.MatrixAnalysis.CambridgeU.P,Cambridge,I.IXVIIIV
[III]J.Riordan.CombinatorialIdentities.Wiley,NewYork,I.IXVIVIII
[IV]J.StoerandR.Bulirsch.IntroductiontoNumericalAnalysis.Springer-Verlag,NewYork,I.IXVIII0
附件II:外文原文
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