Delaunay三角网最大化内切圆平均半径
DelaunayIII角网最大化内切圆平均半径
摘要
描述证明DelaunayIII角网最大化了III角形半径的算术平均值,包括所有III角网的平面点集.
引言
I.个由点集形成的III角网就是点凸包形成的III角形分区.著名的平面双泰森多边形法图_DelaunayIII角网就是非常重要的III角网.
大多数III角网的应用程序都想要III角网避免瘦"的III角形.从而有许多人针对III角形消瘦"提出了建议,改善措施.III角形内经(III角形内切圆半径)[I.IV,I.IX]就是只其中改善的办法之I..
在这篇文章中我将要证明DelaunayIII角网就是能够最大化III角形内经的III角网.
I..I.背景
在计算几何中,III角形的点集是I.个非常重要的问题.因为它非常多的应用在计算几何和其它领域都有涉及到(见调查[IV,VI,I.])
因为连接点的不同,可能有许多不同III角网,选着哪个连接点就要看怎么应用.例如:
假如III角网是被用来作为有限元网格的话,那么我们就会希望避开病态方程.这就意味这对于角度接近I.VIII0度的III角形,我们就会舍弃.[II]
又假如我们想要利用III角网来线性插值有界的II阶导数函数时,通过最小化最大外接圆半径,就能使误差最小.[I.V]
如果III角网代表III维的表面,并且想要它在光栅显示器上呈现出来的话,那么我们就要避免III角形小于I.个像素宽.因为I.旦III角形大于像素宽时就会出现伪影.[VIII]
同时提出的许多其他可替代定义见调查[IV,I.III]
在所有III角网中,DelaunayIII角网优化许多III角网的措施包括这些:
最大化最小角[II0]
最小化最大的外接圆[V]
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5`1^9`1^6^0`7^2#
最小化最大最小包围圆[V,I.VII]
最小化平方梯度的积分[I.VIII,I.VI]
Litte[I.IV]和Schumaker[I.IX]曾提出在I.个比较好的III角网中,III角形应该有较大的内切圆,而在文章中将要证明DelaunayIII角网最大化了内切圆半径的和(和此时的算术平均值).
I..II准备工作
用R(ABC)来表示III角形ABC的外接圆半径,r(ABC)表示内接圆半径,△(ABC)表示III角形面积,P(ABC)表示周长.记r(ABC)=II△(ABC)/P(ABC)(见图I.)
图I.:
假如在III角网相邻的III角形ABC.ACD就是现在的局部Delaunay,ABCD的DelaunayIII角网包括III角形ABC.ACD.证明的关键就是DelaunayIII角网所优化的以上列出来的措施是遵循这个事实:假如lIII角网是局部Delaunay,那么它就是Delaunay[IX]
它遵循从这个事实,只需要证明对IV个点该DelaunayIII角网优化了措施,因为如果能够优化该措施的III角不是Delaunay,那么III角网就不是局部Delaunay.因此,在的III角网就必须有I.对相邻III角形ABC,TACD,使得ABCD的DelaunayIII角网是ABD,BCD.如果DelaunayIII角网优化的这IV点的措施,那么我们就可以通过更换III角形找到I.个更好的衡量I.个III角形ABC,TACDABD和BCD,这是I.个矛盾.
I.．III主要结论
结论I.:DelaunayIII角网最大化III角形内切圆半径之和
证明:利用DelaunayIII角形ABC.ACD足以证明ABCD是凸IV边形,然后有
假设P是ABCD相交斜线上.
ＴＤＡ＝ｒ(ＰＤＡ)和ｈＡ是III角形DAB中A边的高.(见图II)
图II
Demir[VII]曾证明了下面的这些量之间的关系
运用III角形ABC,BCD和CDA之间的关系有:
然和(１)＋(３)－(２)－(４)得到:
现在设D’是III角形ABC外接圆与线段BD的交点.定义和．和相似:因此有
很显然.也就是有
将这些结论运用到方程V中可得:
这就得到:
备注:根据结论I.我们可以得到:
结论II:当且仅当ABCD是环形时有:
大家都知道的这个定理中的如果"的这句话其实就是在I.VIII00[I.0]挂在日本寺庙那句.这是非常有名的日本寺庙几何定理.在[III.,I.I.,I.0,I.II]中有涉及或被证明.这些证明没有I.个被很容易的推翻.因此在初等几何中只有"是I.个新的结论.
注明
这个结论并不需要在III维中运用,以下例子可以说明:
点A=(0,0,0),B=(I.,0,0),C=(0,I.,0),D=(0,0,I.),E=(I.,I.,I.)共球.凸多面体ABCDE可以用两种方式分成IV面体:I.种方式分成的IV面体有ABCD和BCDE,另I.种方式分成的IV面体为AEBC,AECD和AEDB
IV面体体积面积内切球半径
ABCDI./VI
BCDEI./III
AEBCI./VI
AECDI./VI
A *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5`1^9`1^6^0`7^2#
EDBI./VI
显然
这结论产生了I.种需要的DelaunayIII角网的协助,可实现的内切圆的几何元素,然而因为VI平方根被用来计算IV个内切球半径,这种替代实现处理慢.
参考文献:
附件II:外文原文(复印件)
(网络查阅的资料可以打印)
摘要
描述证明DelaunayIII角网最大化了III角形半径的算术平均值,包括所有III角网的平面点集.
引言
I.个由点集形成的III角网就是点凸包形成的III角形分区.著名的平面双泰森多边形法图_DelaunayIII角网就是非常重要的III角网.
大多数III角网的应用程序都想要III角网避免瘦"的III角形.从而有许多人针对III角形消瘦"提出了建议,改善措施.III角形内经(III角形内切圆半径)[I.IV,I.IX]就是只其中改善的办法之I..
在这篇文章中我将要证明DelaunayIII角网就是能够最大化III角形内经的III角网.
I..I.背景
在计算几何中,III角形的点集是I.个非常重要的问题.因为它非常多的应用在计算几何和其它领域都有涉及到(见调查[IV,VI,I.])
因为连接点的不同,可能有许多不同III角网,选着哪个连接点就要看怎么应用.例如:
假如III角网是被用来作为有限元网格的话,那么我们就会希望避开病态方程.这就意味这对于角度接近I.VIII0度的III角形,我们就会舍弃.[II]
又假如我们想要利用III角网来线性插值有界的II阶导数函数时,通过最小化最大外接圆半径,就能使误差最小.[I.V]
如果III角网代表III维的表面,并且想要它在光栅显示器上呈现出来的话,那么我们就要避免III角形小于I.个像素宽.因为I.旦III角形大于像素宽时就会出现伪影.[VIII]
同时提出的许多其他可替代定义见调查[IV,I.III]
在所有III角网中,DelaunayIII角网优化许多III角网的措施包括这些:
最大化最小角[II0]
最小化最大的外接圆[V]
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最小化最大最小包围圆[V,I.VII]
最小化平方梯度的积分[I.VIII,I.VI]
Litte[I.IV]和Schumaker[I.IX]曾提出在I.个比较好的III角网中,III角形应该有较大的内切圆,而在文章中将要证明DelaunayIII角网最大化了内切圆半径的和(和此时的算术平均值).
I..II准备工作
用R(ABC)来表示III角形ABC的外接圆半径,r(ABC)表示内接圆半径,△(ABC)表示III角形面积,P(ABC)表示周长.记r(ABC)=II△(ABC)/P(ABC)(见图I.)
图I.:
假如在III角网相邻的III角形ABC.ACD就是现在的局部Delaunay,ABCD的DelaunayIII角网包括III角形ABC.ACD.证明的关键就是DelaunayIII角网所优化的以上列出来的措施是遵循这个事实:假如lIII角网是局部Delaunay,那么它就是Delaunay[IX]
它遵循从这个事实,只需要证明对IV个点该DelaunayIII角网优化了措施,因为如果能够优化该措施的III角不是Delaunay,那么III角网就不是局部Delaunay.因此,在的III角网就必须有I.对相邻III角形ABC,TACD,使得ABCD的DelaunayIII角网是ABD,BCD.如果DelaunayIII角网优化的这IV点的措施,那么我们就可以通过更换III角形找到I.个更好的衡量I.个III角形ABC,TACDABD和BCD,这是I.个矛盾.
I.．III主要结论
结论I.:DelaunayIII角网最大化III角形内切圆半径之和
证明:利用DelaunayIII角形ABC.ACD足以证明ABCD是凸IV边形,然后有
假设P是ABCD相交斜线上.
ＴＤＡ＝ｒ(ＰＤＡ)和ｈＡ是III角形DAB中A边的高.(见图II)
图II
Demir[VII]曾证明了下面的这些量之间的关系
运用III角形ABC,BCD和CDA之间的关系有:
然和(１)＋(３)－(２)－(４)得到:
现在设D’是III角形ABC外接圆与线段BD的交点.定义和．和相似:因此有
很显然.也就是有
将这些结论运用到方程V中可得:
这就得到:
备注:根据结论I.我们可以得到:
结论II:当且仅当ABCD是环形时有:
大家都知道的这个定理中的如果"的这句话其实就是在I.VIII00[I.0]挂在日本寺庙那句.这是非常有名的日本寺庙几何定理.在[III.,I.I.,I.0,I.II]中有涉及或被证明.这些证明没有I.个被很容易的推翻.因此在初等几何中只有"是I.个新的结论.
注明
这个结论并不需要在III维中运用,以下例子可以说明:
点A=(0,0,0),B=(I.,0,0),C=(0,I.,0),D=(0,0,I.),E=(I.,I.,I.)共球.凸多面体ABCDE可以用两种方式分成IV面体:I.种方式分成的IV面体有ABCD和BCDE,另I.种方式分成的IV面体为AEBC,AECD和AEDB
IV面体体积面积内切球半径
ABCDI./VI
BCDEI./III
AEBCI./VI
AECDI./VI
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EDBI./VI
显然
这结论产生了I.种需要的DelaunayIII角网的协助,可实现的内切圆的几何元素,然而因为VI平方根被用来计算IV个内切球半径,这种替代实现处理慢.
参考文献:
附件II:外文原文(复印件)
(网络查阅的资料可以打印)
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