ISE最优系统参数寻优及性能分析
ISE最优系统参数寻优及性能分析[20191213111959]
摘 要
自动控制系统的品质可以从稳定性、准确性和快速性三个方面来评价。对于一个结构一定的控制系统，为了保证其品质最佳，应对其参数进行最优化设置。最优化理论与技术的发展，为控制系统参数的寻优提供了有力保障。由于单纯形法具有控制参数收敛快、计算机工作量小、简单实用等特点，所以本文选择了单纯形寻优算法。为了简化设计，本文选取基于“ISE准则”的目标函数，用单纯形法寻找2阶~7阶位移无静差、2阶~7阶速度无静差、3阶~7阶加速度无静差的闭环系统最优传递函数标准型。
论文首先介绍了控制系统的动态性能指标、常用的优化算法及课题的主要工作，然后着重介绍了单纯形法原理和流程，接下来详细阐述了我的毕设寻优设计思路，包括仿真模块及程序分析、时域频域分析方法和寻优流程，最后展示了寻优所得的2阶~7阶位移无静差、2阶~7阶速度无静差、3阶~7阶加速度无静差ISE闭环系统最优传递函数标准型和时域分析、频域分析结果，并附上相应仿真结果。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:单纯形法；ISE；参数寻优；时域分析；频域分析
目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
第1章 绪论 1
1.1 控制系统动态性能指标 1
1.2 最优化算法 2
1.3 课题的主要工作 3
第2章 单纯形寻优 4
2.1 单纯形优化原理 4
2.2 单纯形算法流程 5
第3章 寻优思路设计 7
3.1 仿真模块和程序设计 7
3.2 最优系统时域分析和频域分析 12
3.2.1 时域分析 12
3.2.2 频域分析 14
3.3寻优流程 17
第4章 位移无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 18
4.1 寻优结果 18
4.2 时域分析 18
4.3 频域分析 19
4.4 仿真结果 19
第5章 速度无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 23
5.1 寻优结果 23
5.2 时域分析 23
5.3 频域分析 24
5.4 仿真结果 24
第6章 加速度无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 28
6.1 寻优结果 28
6.2 时域分析 28
6.3 频域分析 29
6.4 仿真结果 29
第7章 总结 32
7.1 毕设中遇到的问题和解决方法 32
7.2 心得体会 32
参考文献 34
致 谢 36
附 录 37
第1章 绪论
1.1 控制系统动态性能指标
控制系统性能指标指的是什么？它是衡量控制系统质量好坏的一种“尺度”。如果一个控制系统的各项品质指标都达到最佳状态，则我们就说，这个系统具有最佳性能指标，或者简称为最佳系统，或最佳控制。
最佳控制是一个极其复杂的问题，许多问题很难用数学方法来描述。从大的方面来看，这种尺度至少包含经济和技术两方面的内容，统一起来的提法应该是具有最佳的技术经济指标的控制系统，才能叫做最佳控制系统[1]。但是这种提法，在目前仅仅是哲理上的，因为一个控制系统的经济指标如何，很难用数学方法来描述，系统方案和组件价格将随着技术发展、市场供求的变化而变化。因此，现代控制理论中所说的性能指标最佳与否，都是指技术性能指标而言的。而且即使仅限于技术性能指标范畴，也还有许多实际问题同样很难用数学模型加以描述。例如，控制系统装置的体积、重量、可修复性和使用方便与否，等等，目前几乎都是凭借设计者的经验来办得，不可能实现写出它们准确的数学模型，然后再给予定量的评价[2]。因此，从现代控制论发展水平来看，人们所说的最佳性能指标是指控制系统动态过程（其中当然也包括它的特殊情况——静态）性能指标是否处于最佳状态[3]。
现在常用的最佳动态性能指标有三个方面：
（1）过渡过程的品质指标
它是衡量一个控制系统在零初始条件下，单位阶跃给定控制输入后，控制系统输出过渡过程质量优劣的一种尺度。衡量指标有超调量、调节时间、上升时间等。
（2）一般的积分泛函指标
式中， ——系统的状态变量，i=1,2...n。
——系统的控制变量，j=1,2...n。
——给定的非线性损失函数；
— ——限定的控制系统的过渡过程时间。
（3）误差泛函积分评价指标
这是用一个数是否达到最小值来衡量一个控制系统是否处于最佳状态。常见的误差泛函积分评价指标有如下几种[4]：
如果把误差 组成的泛函看成是一种“损失函数”，那么上述各种积分指标就可以看成是控制系统由一个状态变换到另一个状态时，以某种损失为最小代价实现它的控制目的的，这时就认为这个系统具有某种最佳控制律[5]。
以ISE（Integrated Square Error）为目标函数寻优对系统误差没有时间上的约束，且平方项对较大的系统误差有较强的抑制作用，对小误差考虑较少。当ISE为极小时，系统通常有较快的响应速度，但也导致了系统较大的振荡，产生过大的超调，相对稳定性差。本课题对ISE最佳调节系统展开研究。
1.2 最优化算法
最优控制是上世纪60年代迅速发展的现代控制理论的核心内容之一，其主要实质是：在满足一定的约束条件下，寻求最优控制规律，使得系统在规定的目标函数下具有最优值[6]。
在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学[7]。最优化是每个人、每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，以实现企业的最大利润。
对于热工系统，最优化问题也就是如何调整控制器参数，使调节品质最好。一个控制系统达到了最优，也即指调节品质最好[8]。衡量调节品质的指标包括三个方面：稳定性、准确性和快速性。不同的调节对象，对调节品质的要求是各有侧重的，这就形成了各类不同的目标函数。
可见，对于控制系统参数优化需要解决两方面的问题：第一，如何选取目标函数；第二，在提出的指标函数下采用什么样的策略来改变系统参数，使这个指标函数达到最小或最大，即寻优策略的问题。
寻优方法多种多样，根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。线性规划法有单纯形法、大M法、两阶段法等。整数规划有割平面法、分枝定界法等。非线性规划法有黄金分割法、二次插值法、牛顿法、最小二乘法、共轭方向法、直接法、间接法、多目标优化法等。智能优化法包括启发式搜索算法、遗传算法、Hopfield神经网络优化算法等。而变分法与动态规划涉及变分法、最大（小）值原理和动态规划[9]。本课题采用的是单纯形法。
1.3 课题的主要工作
在本人的本科毕业设计阶段主要完成本课题的以下工作：
（1） 通过文献检索，了解控制系统不同形式的性能评价指标，重点掌握ISE性能指标的含义以及数学计算方法
（2） 掌握位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE系统标准型
（3） 掌握单纯形寻优算法
（4） 利用单纯形算法对位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE标准型进行参数寻优，完成ISE系统仿真模块的搭建和所需各个函数的编程工作
（5） 分析优化后的ISE最优系统动态性能：时域分析和频域分析
第2章 单纯形寻优
2.1 单纯形优化原理
单纯形法是美国数学家George Dantzig于1947年首先提出的[10]。其理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到，该顶点所对应的可行解称为基本可行解。它属于直接搜索算法，具有操作简单、计算量小、适用面广、便于计算机实现等优点。
单纯形法的基本思想：它是一种多变量函数的寻优方法，其主要思想是先找一个基本可行解，判断是否为最优解，如果不是则找另外一个解，再进行判定，如此迭代运算，直至找到最优解或者判定其无界。
为了理解单纯形的基本思想，可以设想一个盲人在爬山，他每向前走一步之前，都要把拐杖向前试探几下，然后向最高那一点迈出一步[11]。单纯形法就是基于这种想法设计的。
以二元函数为例，在平面上选1、2、3三点（它们构成一个三角形，即所谓初始单纯形），计算这三点的函数值Q，并对它们的大小进行比较，假设其中 最大，则将其扬弃，在1点的对面取一点4，构成一个新的三角形，再比较它们的大小，其中 最大，故将2点扬弃，在2点的对面取一点5, 3、4、5点又构成一个新的三角形hy，如此一致循环下去，最后可找到最小点 。
对于一般的n元函数Q（x）（X为n维向量），可取n维空间的n+1个点，构成初始单纯形。这n+1个点应使n个向量 ， ,......, 线性无关。如果取得点少或上述n个向量有一部分线性相关，那么就会使搜索极小点的范围局限在一个低维空间内，如果极小点不在这个空间内，那就搜索不到了。
单纯形的特点:
①单纯形法操作简单，计算量小。
②目标函数的选法不同，得到的最优化参数也不同，而且有很大的差别。
③用品质指标作为目标函数时，寻优结果较好，但参数并不唯一。
④单纯形法对寻优参数的初值很 敏感，初值不当，可能导致寻优结果失败。
2.2 单纯形算法流程
Step1 选择初始单纯形
取单纯形n个向量为“等长”，若已选定 ，则
式中： 为第i个单位坐标向量。
Step2 计算目标函数值
比较诸函数值的大小，选出最好的点 ，最差的点 和次最差的点 。
Step3 求反射点（即新的点）
Step4 单纯形的压缩
若 ，则进行压缩：
式中： 为压缩后的点： （0< <1）为压缩因子。
在压缩前，要判断一下 与 哪个大，如 > ，先变换r，h点，然后再压缩。求出 后，转向step6。
Step5 单纯形的扩张
若 ，则说明需要扩张：
式中： 为另一给定的常数， >1。
如果 时，说明扩张的合理。否则不进行扩张，令 , 。然后转向step2。
扩张后，再判断一下Qe是否小于Qr，若 ，取扩张后的点e为新点，而代替h点： , 。否则仍用r点代替h点。然后转向step2。
Step6 单纯形的收缩
若Qs>Qg,说明原来的单纯形取得太大了，将他们的所有边都缩小，构成新的单纯形，转向step2。
若 ，则把 舍去，取 ， ，构成新的单纯形，转向step2。
Step7 搜索结束判断
，认为搜索成功。其中ε为一个由经验预先给定的充分小得正数，一般取0.00001< <0.01。
当经过K次搜索后仍不能满足上式时，则认为搜索失败。
第3章 寻优思路设计
3.1 仿真模块和程序设计
对于位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE系统，我都分别设计了一个Simulink仿真模块和四个函数。由于这三种系统设计思路类似，故在此我以位移无静差ISE系统为例给大家介绍我设计的仿真模块和程序。
（1）Simulink仿真模块
如图 3.1，这是一个求ISE值的仿真模块。输入阶跃信号时是位移无静差系统，输入斜坡信号为速度无静差系统，输入加速度信号为加速度无静差系统。
图 3.1 位移无静差ISE系统仿真模块
Transfer Fcn指系统闭环传递函数，位移无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为[12]：
速度无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为：
加速度无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为：
输入减去输出得到系统的误差信号 ，在示波器Scope2中可以看到误差波形，经过Product2的乘方后得到 ，然后经过Integrator积分，便得到了ISE值（ ），在示波器Scope中显示其波形。而示波器Scope1中显示的是闭环传递函数的响应曲线。
摘 要
自动控制系统的品质可以从稳定性、准确性和快速性三个方面来评价。对于一个结构一定的控制系统，为了保证其品质最佳，应对其参数进行最优化设置。最优化理论与技术的发展，为控制系统参数的寻优提供了有力保障。由于单纯形法具有控制参数收敛快、计算机工作量小、简单实用等特点，所以本文选择了单纯形寻优算法。为了简化设计，本文选取基于“ISE准则”的目标函数，用单纯形法寻找2阶~7阶位移无静差、2阶~7阶速度无静差、3阶~7阶加速度无静差的闭环系统最优传递函数标准型。
论文首先介绍了控制系统的动态性能指标、常用的优化算法及课题的主要工作，然后着重介绍了单纯形法原理和流程，接下来详细阐述了我的毕设寻优设计思路，包括仿真模块及程序分析、时域频域分析方法和寻优流程，最后展示了寻优所得的2阶~7阶位移无静差、2阶~7阶速度无静差、3阶~7阶加速度无静差ISE闭环系统最优传递函数标准型和时域分析、频域分析结果，并附上相应仿真结果。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:单纯形法；ISE；参数寻优；时域分析；频域分析
目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
第1章 绪论 1
1.1 控制系统动态性能指标 1
1.2 最优化算法 2
1.3 课题的主要工作 3
第2章 单纯形寻优 4
2.1 单纯形优化原理 4
2.2 单纯形算法流程 5
第3章 寻优思路设计 7
3.1 仿真模块和程序设计 7
3.2 最优系统时域分析和频域分析 12
3.2.1 时域分析 12
3.2.2 频域分析 14
3.3寻优流程 17
第4章 位移无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 18
4.1 寻优结果 18
4.2 时域分析 18
4.3 频域分析 19
4.4 仿真结果 19
第5章 速度无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 23
5.1 寻优结果 23
5.2 时域分析 23
5.3 频域分析 24
5.4 仿真结果 24
第6章 加速度无静差ISE最优系统参数寻优及性能分析 28
6.1 寻优结果 28
6.2 时域分析 28
6.3 频域分析 29
6.4 仿真结果 29
第7章 总结 32
7.1 毕设中遇到的问题和解决方法 32
7.2 心得体会 32
参考文献 34
致 谢 36
附 录 37
第1章 绪论
1.1 控制系统动态性能指标
控制系统性能指标指的是什么？它是衡量控制系统质量好坏的一种“尺度”。如果一个控制系统的各项品质指标都达到最佳状态，则我们就说，这个系统具有最佳性能指标，或者简称为最佳系统，或最佳控制。
最佳控制是一个极其复杂的问题，许多问题很难用数学方法来描述。从大的方面来看，这种尺度至少包含经济和技术两方面的内容，统一起来的提法应该是具有最佳的技术经济指标的控制系统，才能叫做最佳控制系统[1]。但是这种提法，在目前仅仅是哲理上的，因为一个控制系统的经济指标如何，很难用数学方法来描述，系统方案和组件价格将随着技术发展、市场供求的变化而变化。因此，现代控制理论中所说的性能指标最佳与否，都是指技术性能指标而言的。而且即使仅限于技术性能指标范畴，也还有许多实际问题同样很难用数学模型加以描述。例如，控制系统装置的体积、重量、可修复性和使用方便与否，等等，目前几乎都是凭借设计者的经验来办得，不可能实现写出它们准确的数学模型，然后再给予定量的评价[2]。因此，从现代控制论发展水平来看，人们所说的最佳性能指标是指控制系统动态过程（其中当然也包括它的特殊情况——静态）性能指标是否处于最佳状态[3]。
现在常用的最佳动态性能指标有三个方面：
（1）过渡过程的品质指标
它是衡量一个控制系统在零初始条件下，单位阶跃给定控制输入后，控制系统输出过渡过程质量优劣的一种尺度。衡量指标有超调量、调节时间、上升时间等。
（2）一般的积分泛函指标
式中， ——系统的状态变量，i=1,2...n。
——系统的控制变量，j=1,2...n。
——给定的非线性损失函数；
— ——限定的控制系统的过渡过程时间。
（3）误差泛函积分评价指标
这是用一个数是否达到最小值来衡量一个控制系统是否处于最佳状态。常见的误差泛函积分评价指标有如下几种[4]：
如果把误差 组成的泛函看成是一种“损失函数”，那么上述各种积分指标就可以看成是控制系统由一个状态变换到另一个状态时，以某种损失为最小代价实现它的控制目的的，这时就认为这个系统具有某种最佳控制律[5]。
以ISE（Integrated Square Error）为目标函数寻优对系统误差没有时间上的约束，且平方项对较大的系统误差有较强的抑制作用，对小误差考虑较少。当ISE为极小时，系统通常有较快的响应速度，但也导致了系统较大的振荡，产生过大的超调，相对稳定性差。本课题对ISE最佳调节系统展开研究。
1.2 最优化算法
最优控制是上世纪60年代迅速发展的现代控制理论的核心内容之一，其主要实质是：在满足一定的约束条件下，寻求最优控制规律，使得系统在规定的目标函数下具有最优值[6]。
在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学[7]。最优化是每个人、每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，以实现企业的最大利润。
对于热工系统，最优化问题也就是如何调整控制器参数，使调节品质最好。一个控制系统达到了最优，也即指调节品质最好[8]。衡量调节品质的指标包括三个方面：稳定性、准确性和快速性。不同的调节对象，对调节品质的要求是各有侧重的，这就形成了各类不同的目标函数。
可见，对于控制系统参数优化需要解决两方面的问题：第一，如何选取目标函数；第二，在提出的指标函数下采用什么样的策略来改变系统参数，使这个指标函数达到最小或最大，即寻优策略的问题。
寻优方法多种多样，根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。线性规划法有单纯形法、大M法、两阶段法等。整数规划有割平面法、分枝定界法等。非线性规划法有黄金分割法、二次插值法、牛顿法、最小二乘法、共轭方向法、直接法、间接法、多目标优化法等。智能优化法包括启发式搜索算法、遗传算法、Hopfield神经网络优化算法等。而变分法与动态规划涉及变分法、最大（小）值原理和动态规划[9]。本课题采用的是单纯形法。
1.3 课题的主要工作
在本人的本科毕业设计阶段主要完成本课题的以下工作：
（1） 通过文献检索，了解控制系统不同形式的性能评价指标，重点掌握ISE性能指标的含义以及数学计算方法
（2） 掌握位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE系统标准型
（3） 掌握单纯形寻优算法
（4） 利用单纯形算法对位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE标准型进行参数寻优，完成ISE系统仿真模块的搭建和所需各个函数的编程工作
（5） 分析优化后的ISE最优系统动态性能：时域分析和频域分析
第2章 单纯形寻优
2.1 单纯形优化原理
单纯形法是美国数学家George Dantzig于1947年首先提出的[10]。其理论根据是：线性规划
单纯形法的基本思想：它是一种多变量函数的寻优方法，其主要思想是先找一个基本可行解，判断是否为最优解，如果不是则找另外一个解，再进行判定，如此迭代运算，直至找到最优解或者判定其无界。
为了理解单纯形的基本思想，可以设想一个盲人在爬山，他每向前走一步之前，都要把拐杖向前试探几下，然后向最高那一点迈出一步[11]。单纯形法就是基于这种想法设计的。
以二元函数为例，在平面上选1、2、3三点（它们构成一个三角形，即所谓初始单纯形），计算这三点的函数值Q，并对它们的大小进行比较，假设其中 最大，则将其扬弃，在1点的对面取一点4，构成一个新的三角形，再比较它们的大小，其中 最大，故将2点扬弃，在2点的对面取一点5, 3、4、5点又构成一个新的三角形hy，如此一致循环下去，最后可找到最小点 。
对于一般的n元函数Q（x）（X为n维向量），可取n维空间的n+1个点，构成初始单纯形。这n+1个点应使n个向量 ， ,......, 线性无关。如果取得点少或上述n个向量有一部分线性相关，那么就会使搜索极小点的范围局限在一个低维空间内，如果极小点不在这个空间内，那就搜索不到了。
单纯形的特点:
①单纯形法操作简单，计算量小。
②目标函数的选法不同，得到的最优化参数也不同，而且有很大的差别。
③用品质指标作为目标函数时，寻优结果较好，但参数并不唯一。
④单纯形法对寻优参数的初值很 敏感，初值不当，可能导致寻优结果失败。
2.2 单纯形算法流程
Step1 选择初始单纯形
取单纯形n个向量为“等长”，若已选定 ，则
式中： 为第i个单位坐标向量。
Step2 计算目标函数值
比较诸函数值的大小，选出最好的点 ，最差的点 和次最差的点 。
Step3 求反射点（即新的点）
Step4 单纯形的压缩
若 ，则进行压缩：
式中： 为压缩后的点： （0< <1）为压缩因子。
在压缩前，要判断一下 与 哪个大，如 > ，先变换r，h点，然后再压缩。求出 后，转向step6。
Step5 单纯形的扩张
若 ，则说明需要扩张：
式中： 为另一给定的常数， >1。
如果 时，说明扩张的合理。否则不进行扩张，令 , 。然后转向step2。
扩张后，再判断一下Qe是否小于Qr，若 ，取扩张后的点e为新点，而代替h点： , 。否则仍用r点代替h点。然后转向step2。
Step6 单纯形的收缩
若Qs>Qg,说明原来的单纯形取得太大了，将他们的所有边都缩小，构成新的单纯形，转向step2。
若 ，则把 舍去，取 ， ，构成新的单纯形，转向step2。
Step7 搜索结束判断
，认为搜索成功。其中ε为一个由经验预先给定的充分小得正数，一般取0.00001< <0.01。
当经过K次搜索后仍不能满足上式时，则认为搜索失败。
第3章 寻优思路设计
3.1 仿真模块和程序设计
对于位移无静差、速度无静差、加速度无静差ISE系统，我都分别设计了一个Simulink仿真模块和四个函数。由于这三种系统设计思路类似，故在此我以位移无静差ISE系统为例给大家介绍我设计的仿真模块和程序。
（1）Simulink仿真模块
如图 3.1，这是一个求ISE值的仿真模块。输入阶跃信号时是位移无静差系统，输入斜坡信号为速度无静差系统，输入加速度信号为加速度无静差系统。
图 3.1 位移无静差ISE系统仿真模块
Transfer Fcn指系统闭环传递函数，位移无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为[12]：
速度无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为：
加速度无静差ISE最佳调节律的闭环系统传递函数标准形为：
输入减去输出得到系统的误差信号 ，在示波器Scope2中可以看到误差波形，经过Product2的乘方后得到 ，然后经过Integrator积分，便得到了ISE值（ ），在示波器Scope中显示其波形。而示波器Scope1中显示的是闭环传递函数的响应曲线。
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