剪切变换及凸集映射的2d数据重建技术研究【字数：12415】
摘 要数据重建工作是个客观过程，以客观先验知条件为基础，借助科学的分析方法和手段来进行数据的重建。本文以K.Guo,W-Q.Lim提出的剪切变换理论为基础，以离散剪切变换作为数据重建的手段，由于真实图像数据具有较大的平滑区域，剪切变换能对数据进行多维度，多方向的在变换域中进行最优稀疏表达，故剪切系数表征了函数的规律性，缺失数据的图像是原始图像线性失真的版本，因此数据重建工作就是从这些线性失真信号中恢复稀疏信号，数据重建工作就转化为最优化问题。同时，本文结合凸集映射理论使用最小二乘法，通过反复迭代求取误差函数最小化。实验结果表明，本算法重建的数据结果与完整数据对比具有很好的一致性，并且对比了基于图像金字塔实现的数据恢复算法，在运行速度上明显优于后者。
目 录
第 1 章 绪论 1
1.1 课题研究的目的和意义 1
1.2 数据重建技术简介 1
1.3 论文的主要研究内容及结构 2
第 2 章 剪切变换的原理 3
2.1 傅里叶变换 3
2.1.1 傅里叶级数与傅里叶积分 3
2.1.2 傅里叶级数 3
2.1.3 时域、频域对比 4
2.1.4 傅里叶变换的数学表达式 5
2.1.5 傅里叶变换的局限性 6
2.2 小波变换 10
2.3 剪切变换 11
2.4 剪切变换的离散化 15
2.5 剪切变换离散的实现方法 16
2.5.1 剪切变换的频域离散实现过程 16
2.5.2 剪切变换的时域实现 18
2.6 本章小结 18
第3章 基于凸集映射的数据重建 20
3.1 数据重建技术 20
3.2 凸集映射（POCS）方法的基本原理 20
3.3 基于剪切变换及POCS的数据重建方法 21
3.3.1 结合POCS的剪切变换数据重建 21
3.3.2 基于剪切变换及POCS数据重建算法 24
3.4 本章小结 24
第4章 实验验证及结果分析 25
4.1 实验环境 25 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
4.2 图像质量的衡量指标 25
4.2.1 图像直方图 25
4.2.2 信噪比（Signal to Noise Ratio） 26
4.2.3 峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio） 26
4.3 实验过程及结论 27
4.3.1 傅里叶变换及频域滤波 27
4.3.2 滤波 27
4.3.3 剪切变换 29
4.3.4 本文采用的算法结果分析 30
4.4.5 剪切波实现不同方式实验对比 35
4.4 本章小结 37
第5章 论文总结 38
参考文献 39
附录 40
致谢 49
第 1 章 绪论
1.1 课题研究的目的和意义
从20世纪40年代第一台计算机问世以来，信息处理技术进入了新的历史篇章。尤其是进入二十一世纪，随着芯片技术的迅猛发展，移动互联、数码相机、智能手机，无人驾驶等数字信息处理技术与我们生活形影相随。其中，数字图像处理技术是其中就是一例，被广泛应用于军事、医疗、国家安全、日常生活生产中。
医学图像MRI、CT等要求能够显示出那些人眼不能辨别的细微病灶；卫星图像中至少能够辨识出人的长相甚至汽车的车牌；集成电路生产中的检测装置都需要足够高分辨率的图像，才能保证测量和控制的精度。受困于成像感光元件CMOS、CCD噪声的污染，造成图像信噪比不高，图像分辨率不但不会增加反而会降低。当然，图像的分辨率不是越高越好，高分辨率的图像同样占据大量的储存单元和传送的带宽。
在我们每天浏览的网页图像文件中，大部分为JPEG格式，它就是利用人体眼球上的视杆细胞（Rod cell）视锥细胞（Cone cell）的差异性，将图像通过DCT转换（离散余弦转换）压缩图像。对图像的低频部分进行大幅压缩，人为丢失大量的数据，便于传送和储存信息。
以上可以看出，随着信息高速公路的深入发展，地球数字化，网络的普及化，图像处理已成为与人们生活息息相关的一门学科，它已经在医学影像，地震石油勘探，国防军事等方面取得了巨大的成功。上述基本都是基于傅里叶变换、小波变换（曲波变换、脊波变换）开展的。本文将剪切变换理论来探讨图像数据的重建工作，通过剪切变换优秀的数据稀疏表达能力，对图像数据进行升维分解，然后对获得的数据通过降维投影到原空间，在原空间内找到缺失数据的投影。本文数据恢复使用的空间为Hilbert空间。
1.2 数据重建技术简介
目前图像数据的重建研究主要可以分为二大类：在空间域的处理和频域（变换域）的处理。在空间域的的图像数据重建理论方法有(1)迭代反向投影法(2)非均匀样板内插法(3)最小二乘法(4)自适应滤波法(5)基于估计法：最大拟然估计法、最大后验证估计法、贝叶斯估计法(6)凸集映射等，上述处理方式基本是傅里叶分析方法的延承(低维度)。
基于频域的处理方法有:(1)逆滤波算法(2)维纳滤波法(3)去卷积RL法(4)基于小波域边缘保存正则化法(5)高斯去模糊法，特别20世纪八十年代后，小波理论的广泛应用，产生了基于小波理论架构的脊波、曲线波、轮廓波等在变换域的图像数据重建方法，尤其在2005由D.Labate 和WQ.Lim等人在二进制小波理论基础上构造出了优秀的基函数，提出了剪切变换理论[1]，它不仅能像小波一样具有多尺度多方向多分辨，最重要的是在每个尺度上都能将方向分解成不同的数量，对数据的表达更稀疏，数据的维度更高。属于近年来比较流行的高维度稀疏数据，然后再降维收敛。例如：人工神通过网络、支持向量机、深度学习等。
1.3 论文的主要研究内容及结构
本论文主要研究内容为：以剪切变换为图像数据的表达工具，结合集合论中的凸集映射理论，来进行图像数据的重建工作。
目 录
第 1 章 绪论 1
1.1 课题研究的目的和意义 1
1.2 数据重建技术简介 1
1.3 论文的主要研究内容及结构 2
第 2 章 剪切变换的原理 3
2.1 傅里叶变换 3
2.1.1 傅里叶级数与傅里叶积分 3
2.1.2 傅里叶级数 3
2.1.3 时域、频域对比 4
2.1.4 傅里叶变换的数学表达式 5
2.1.5 傅里叶变换的局限性 6
2.2 小波变换 10
2.3 剪切变换 11
2.4 剪切变换的离散化 15
2.5 剪切变换离散的实现方法 16
2.5.1 剪切变换的频域离散实现过程 16
2.5.2 剪切变换的时域实现 18
2.6 本章小结 18
第3章 基于凸集映射的数据重建 20
3.1 数据重建技术 20
3.2 凸集映射（POCS）方法的基本原理 20
3.3 基于剪切变换及POCS的数据重建方法 21
3.3.1 结合POCS的剪切变换数据重建 21
3.3.2 基于剪切变换及POCS数据重建算法 24
3.4 本章小结 24
第4章 实验验证及结果分析 25
4.1 实验环境 25 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
4.2 图像质量的衡量指标 25
4.2.1 图像直方图 25
4.2.2 信噪比（Signal to Noise Ratio） 26
4.2.3 峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio） 26
4.3 实验过程及结论 27
4.3.1 傅里叶变换及频域滤波 27
4.3.2 滤波 27
4.3.3 剪切变换 29
4.3.4 本文采用的算法结果分析 30
4.4.5 剪切波实现不同方式实验对比 35
4.4 本章小结 37
第5章 论文总结 38
参考文献 39
附录 40
致谢 49
第 1 章 绪论
1.1 课题研究的目的和意义
从20世纪40年代第一台计算机问世以来，信息处理技术进入了新的历史篇章。尤其是进入二十一世纪，随着芯片技术的迅猛发展，移动互联、数码相机、智能手机，无人驾驶等数字信息处理技术与我们生活形影相随。其中，数字图像处理技术是其中就是一例，被广泛应用于军事、医疗、国家安全、日常生活生产中。
医学图像MRI、CT等要求能够显示出那些人眼不能辨别的细微病灶；卫星图像中至少能够辨识出人的长相甚至汽车的车牌；集成电路生产中的检测装置都需要足够高分辨率的图像，才能保证测量和控制的精度。受困于成像感光元件CMOS、CCD噪声的污染，造成图像信噪比不高，图像分辨率不但不会增加反而会降低。当然，图像的分辨率不是越高越好，高分辨率的图像同样占据大量的储存单元和传送的带宽。
在我们每天浏览的网页图像文件中，大部分为JPEG格式，它就是利用人体眼球上的视杆细胞（Rod cell）视锥细胞（Cone cell）的差异性，将图像通过DCT转换（离散余弦转换）压缩图像。对图像的低频部分进行大幅压缩，人为丢失大量的数据，便于传送和储存信息。
以上可以看出，随着信息高速公路的深入发展，地球数字化，网络的普及化，图像处理已成为与人们生活息息相关的一门学科，它已经在医学影像，地震石油勘探，国防军事等方面取得了巨大的成功。上述基本都是基于傅里叶变换、小波变换（曲波变换、脊波变换）开展的。本文将剪切变换理论来探讨图像数据的重建工作，通过剪切变换优秀的数据稀疏表达能力，对图像数据进行升维分解，然后对获得的数据通过降维投影到原空间，在原空间内找到缺失数据的投影。本文数据恢复使用的空间为Hilbert空间。
1.2 数据重建技术简介
目前图像数据的重建研究主要可以分为二大类：在空间域的处理和频域（变换域）的处理。在空间域的的图像数据重建理论方法有(1)迭代反向投影法(2)非均匀样板内插法(3)最小二乘法(4)自适应滤波法(5)基于估计法：最大拟然估计法、最大后验证估计法、贝叶斯估计法(6)凸集映射等，上述处理方式基本是傅里叶分析方法的延承(低维度)。
基于频域的处理方法有:(1)逆滤波算法(2)维纳滤波法(3)去卷积RL法(4)基于小波域边缘保存正则化法(5)高斯去模糊法，特别20世纪八十年代后，小波理论的广泛应用，产生了基于小波理论架构的脊波、曲线波、轮廓波等在变换域的图像数据重建方法，尤其在2005由D.Labate 和WQ.Lim等人在二进制小波理论基础上构造出了优秀的基函数，提出了剪切变换理论[1]，它不仅能像小波一样具有多尺度多方向多分辨，最重要的是在每个尺度上都能将方向分解成不同的数量，对数据的表达更稀疏，数据的维度更高。属于近年来比较流行的高维度稀疏数据，然后再降维收敛。例如：人工神通过网络、支持向量机、深度学习等。
1.3 论文的主要研究内容及结构
本论文主要研究内容为：以剪切变换为图像数据的表达工具，结合集合论中的凸集映射理论，来进行图像数据的重建工作。
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jxgc/zdh/1059.html
