高等数学竞赛试题分析
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
1 绪论3
1.1 本课题的研究意义 3
1.2 研究内容 4
2 材料与方法4
2.1.1收集试卷4
2.1.2 分析整理试卷5
2.1.3 数学建模5
2.1.4 模拟试卷6
3 结果与分析6
3.1 完全一致矩阵6
3.2 非完全一致矩阵9
3.3 成果展示11
致谢13
参考文献14
附录A和法程序14
附录B一致性检验程序15
附录C 填空题各题考点确认详细程序15
附录D 大题各题考点确认详细程序20
附录E 各题各方案关于三个准则的具体取值23
江苏省高等数学竞赛试题分析
引言
1 绪论
1．1 本课题的研究意义
国内外很多高校一直有举办高等数学竞赛的传统，莫斯科大学从20世纪70年代开始就一直在举办高等数学竞赛，美国也一直举办大学生数学竞赛。高等数学竞赛促进了高层次人才的培养，有的学生后来成为知名的数学家，有的成为数学应用学科专家，也有的成为了自然科学工作者。事实证明通过高等数学竞赛能够选拔出很多出色人才，可以说高等数学竞赛对于自然科学和与经济相关的学科的贡献是非常大的。
在中国，首届大学生数学竞赛由中国数学会普及工作委员会主办，由中国科学院数学与系统科学研究院林群院士任竞赛委员会主任，国防科技大学理学院承办了“CMC中国大学生数学竞赛网站”。国防科技大学高等数学竞赛起步较早，为国家国防事业培养了不少尖端数学应用人才。
1．2 研究内容
融数学建模思想于高等代数教学，将起着很重要的作用[4]。研究高等数学竞赛传统的方法是把每道题做透彻的讲解分析，并在一定的基础上上对题目进行拓展，从而使知识点交叉互融，达到对学生数学综合能力的提升。但是这些研究的着眼点在每一道题，并没有从整体上把握一份试卷。也就是，对于一份试卷上各类知识点的考察的比例
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以及分布如何；或者是，纵观历届高等数学竞赛，各类知识点的考察的比例又是怎样变化的这些问题并没有得到确实的回答。为了适应社会发展的步伐，培养有用的人才，我们必须要大力改革我们的教学方法[5]。数学建模是创新能力的一个很好的载体[6]，本项目的研究不仅会分析每道题所考察的知识点，还会总结出一张试卷上各类知识点的考察比例以及分布情况，最后模拟出一张试卷。
MATLAB的数值计算功能在数学软件中首屈一指。它可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，为了能够更好的模拟出高等数学竞赛的考点类型及出题规律，我们会将前期汇总、整理、分析所得的数据输入到数学软件MATLAB中，并结合相关的数学建模知识建立恰当的数学模型。对于每一道题都计算出具体的数据并依此确定每道题的考点并最终模拟出一张竞赛试卷。
2 材料与方法
2．1．1 收集试卷
2．1．2 分析整理试卷
我将每份试卷上的每道题所考察的知识点标注出来，然后进行分类汇总，最后将得到的数据整理成可以输入到MATLAB中的数据。
2．1．3 数学建模
用何种方法建立数学模型是本项目的关键，其实将知识点分完类后，我发现不管是填空题还是大题中，有些知识点考察频率高，而且出现在试卷上的位置也相对固定；还有些知识点虽然考察的不多，但是相隔一年或两年之后就会再次考察。这让我觉得可以通过某种方法将这些定性的数据转换成定量的数据，再用数学的方法处理这些数据，最后模拟一张试卷。因为本项目的最终目的是要模拟出一张契合度较高的而且有参考价值的试卷，所以每一道题的题型的选择应该就是一个最优选择的问题，而且影响这种选择的因素也应该是多方面而不是单一的。这让我联想到了曾经学习过的层次分析模型AHP (Analytic Hierarchy Process)—一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法[7]，可以避免作比较判断时人的主观选择起相当大的作用。层次分析法是指将决策问题按照总目标、评价准则、各备择方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解成对比较矩阵的特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再计算出各个备择方案对总目标的最终权重，最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明在某一特定的评价准则或子目标下，各备择方案或评价准则对上一层某个目标而言重要程度的相对量度。层次分析法较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其做法是构造成对比较矩阵，求出其最大特征值及其所对应的特征向量，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
那么我这个项目选用层次分析模型是可行的吗？在运用层次分析模型时，首先要三个确定层次：目标层、准则层以及方案层。 其中目标层以及方案层比较好确定，难确定的是准则层。以选择题第一题为例，
目标层：第一题知识点
方案层：一元函数极限、数列极限、一元高阶函数求导
那么准则层应该如何确定呢？也就是说哪些因素可以影响各类知识点出现在第一题呢？而且列举的这些因素当然越全面越好。思前想后，我试着列举了一些因素：频率（这个知识点在历届竞赛试卷中出现在选择题第一题的频率，这是一个横向比较）、分值比（这个知识点分值在所有填空题中所占比例，这是一个纵向比较）、重要性（可以这样理解，经常考的或者容易出题的这类知识点可以视为比较重要，不经常出现或者难以出题的这类知识点可视为相对不重要）。当三个层次确定好之后，接下来就是要构造成对比较矩阵。根据Saaty等人提出的19尺度（见表格1），分别构造每个方案对各个准则的成对比较矩阵以及各个准则对目标层的成对比较矩阵。例如我们要构造三个准则：频率、分值比、重要性对目标层的成对比较矩阵A1。矩阵A1中的元素的值表示的就是关于第一题知识点，频率与分值比的相对重要程度，按照Saaty的19尺度，它可以取值1,2，，9或者1/9,1/8，，1。所以我们容易发现，成对比较矩阵一定是一个对称矩阵，并且成对比较矩阵主对角线上的元素为1。特殊一点的，若矩阵A1中的元素满足，那么称矩阵A1为完全一致性矩阵。一致性矩阵A（n阶）具有如下性质：
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