关于高等数学中两个重要极限的认识和应用
关于高等数学中两个重要极限的认识和应用[20191209141746]
摘 要
极限是高等数学中最基本的、也是最重要的概念之一。高等数学中有两个重要极限： 和 ，这两个极限称为重要极限是因为这两个极限在极限计算和导数公式推导过程中起着不可取代的作用。在极限计算，这两个极限可以迅速简化复杂的极限计算，高效解决极限计算问题，在对导数公式的推导过程中，这两个极限也发挥了基石的作用，因为它们的存在，才可推导出基本的三角函数，对数函数，从而逐步推导出其他复杂的导数公式，是微积分基础理论的重要组成部分之一。本文将从两个极限的由来、证明及其应用方面论述对此两种极限的认识。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:两个重要极限重要性应用
目录
1.引言 1
1.1 研究背景和选题意义 1
1.2 国内外研究现状 2
2.两个重要极限的认识 2
2.1 两个重要极限的提出 2
2.2 两个重要极限的基本形式 3
2.3 两个重要极限的其他证明 3
3．两个重要极限的应用 5
3.1 两个重要极限在一元极限计算中的应用 5
3.2 两个重要极限在二元极限计算中的应用 7
3.3 两个重要极限在复杂极限计算中的应用 9
3.4 两个重要极限在微分学中的应用 10
3.5 两个重要极限在生活中的应用 12
4．总结 13
参考文献 14
致谢 14
1. 引言
1.1 研究背景和选题意义
高数中有两个重要极限： 和 。选择这两个重要极限作为本文的研究主题，是因为这两个重要极限在解决极限计算问题中以及在对初等函数导数公式的推导过程中都起着不可取代的作用，可以说，这两个重要极限是微积分学的基础。对于那些刚接触到高等数学的同学而言，极限理论是一个很大的难点，因为它相对于中学数学难以理清的抽象性，在思维上对同学们有了更高的要求，一些同学一时难以接受。但对于高等数学而言，极限又是它十分重要的基础，在函数连续性的验证或是单侧导数的求取过程中，极限都是相当重要的环节。能否学好极限，就意味着高等数学能否有一个很好的开始。然而对于极限而言，这两个重要极限又是重中之重，通过这两个极限可以迅速简化复杂的极限运算，灵活解决问题，在极限的计算中，它们起着桥梁纽带的作用。此外，通过这两个重要极限可以推导出最基本的三角函数以及对数函数等导数公式，而通过这两个基本函数公式可以推导出其他基本的初等函数导数公式。可以说导数问题的解决离不开这两个重要极限，因此，可感知到这两个重要极限在整个高等数学中所占的重要分量。所以针对这两个重要极限的研究讨论，具有十分重要的实际意义。
1.2 国内外研究现状
两个重要极限的研究分析在高等数学领域具有非常重要的战略意义 .国内对有关两个重要极限的研究，涉及的量比较多，前辈们仁者见仁智者见智，在对这两个重要极限的证明、推广、应用方面给出了许多不同的见解，大大充实了我们的视野。总的来说，对这两个极限的研究主要还是对其重要性的研究,及它的应用与推广，而这两个重要极限的重要性则是在极限运算，以及函数的公式推导过程中所体现。在两个重要极限的证明方面，对第一个重要极限，多数是用的几何分析和对夹逼法则的应用来证明，第二个重要极限多数则是通过数列分析和夹逼法则应用来证明。在证明方面，王梦洁[6]在《对两个重要极限的新认识》一文中，针对第一重要极限证明，利用几何图形，运用弧度概念，方便快捷的对极限给予了证明，给人眼前一亮的感觉。且还有运用拉格朗日中值定理对极限一的证明也是简洁明了，让人一目了然。在极限计算应用方面，马红霞[16]在《高等数学中两个重要极限的一些认识》一文中，在对两个重要极限在极限计算中应用中，应用比较法，换元法，构造法等，向我们展示了多种极限计算中，两个重要极限的运用技巧，加深了我们的理解认识。在应用方面，张先荣[17]在《浅谈两个重要极限的重要性及应用》一文中，向我们展示了在三角函数和对数函数推导过程中，两个重要极限的运用，加深了对两个极限重要性的认识。前辈们对两个极限的研究，给我们的学习提供了很大的帮助。
2.两个重要极限的认识
2.1 两个重要极限的由来
（1）关于极限
引例：求半径为r的圆的面积
首先，我们做圆的内接正n边形，利用三角形和多边形的面积公式，我们容易计算出这个内接正n边形的面积为： ，（ ）。
对于这个内接多边形的面积，我们容易想到，当n越大时，这个内接多边形就越像一个圆，而它的面积也就愈发的趋近于圆的面积。但是，这个 无论怎么大，它的面积都不会是圆的面积，因为当 为定值时，这个多边形只能是圆的内接多边形。因此，我们只能设想，当n无限趋近于 时，内接多边形无限趋近于一个圆，它的面积也无限趋近于圆的面积，但是我们不知道哪一个数值是 的最后一个，且内接多边形面积无限趋近的那个值，应当即为圆的面积。所以，我们可以得到了一个奇特的极限：
= ，
这也就是第一个重要极限的变形。
（2）关于极限
这个重要极限，则首先是在生活应用中被提出。大自然，生活中，很多事物都是不间断的、连续的生长变化着，在对这一情况的追踪计算，即为复利和的计算。简而言之，这一类问题即为基数加上一瞬间的利息，转化为下一瞬间的基数，然后再乘以利率与新的基数相加，得到下一个基数，就这样进行下去，最后总会得到这样的模型： （即为所求的和），这里a为基数（本金），t总时间，k为单位时间利率的百分数，n为单位时间内计算利率的次数，这里我们将上面的模型进行下变形，令h= ， ，则 = ，这样我们就又看到了一个奇特的极限： ，即第二个重要极限的变形。
两个重要极限在学习应用中被提出来，也说明了它们的重要性。
2.2 两个重要极限的基本形式
（1）关于极限
对于这一重要极限在形式上我们容易发现它实际上即为两个无穷小之比的极限，在分子和分母分别求极限的情况下便可得到 这一未定的结果，所以把这一类型的极限统称为 型未定式。在这里需要注意的是 仅是一个符号，并没有具体的意义，可以用函数 代替，因此我们还可以将其变形为 ，这里必须要确保在自变量的同一变化过程中， 0，且 可求。在运用 这个极限需要注意以下3点：极限的形式： 的未定型（或可化为 型）；分母为关于 的幂函数；sin函数内的式子要与分母的式子一致，包括系数、正负号。满足这3点结论就可以直接用了。当然在实际的解题过程中，并不会一直出现我们所需要的极限模型，这就需要我们细心的观察，通过简单的拼凑、变形将内层函数和分母变成统一，得到我们需要的模型，来进一步解题。
（2）关于极限
这个极限是“ ”型，同样在 中， 也是一个符号，没有什么具体的意义。令y= ，则 时， 。变形后可以得到 ，必须保证在自变量的同一变化过程中， 0。在这需要特别注意的是，括号内的未定函数需要和指数函数在形式上完全统一，且括号内必须得是“+”，如果是“-”，那么就需要通过变形将“-”放到分母上去。对于这个 ，在应用时也需要注意以下3点：构造出“1+”形式；从整体上进行把握，括号内除去“1+”的部分，在自变量的同一变化过程中要趋于0；“无穷小”和“无穷大”的解析式在形式上要统一，且互为倒数。【16】
2.3 两个重要极限的其他证明
（1）第一个重要极限
证法1：利用洛必达法则，反过来验证。当 时， 0和 0，所以极限是 型未定式。:所以有: = ，即
证法2：依据泰勒公式，可以获得以下的展开式：
+
当 时，即有 = +
（ ）
=
= +
=1-0+0+ 0+0=1
即
（2）第二个重要极限
证明如下：
所以只需要证明
即只需证 =1
又 =
令 = ( , 0)
有 =
得证。
3.两个重要极限的应用
3.1 两个重要极限在一元极限计算中的应用
例1 求
解：因为当 0时，sin 0， 0， 0，所以有
=
=1 1 1 1=1
例2 求
解：因为当 时， ，所以要在分母中构造出 ，且 = ，所以有：
例3 求
解：
例4 求
解：
例5 求
解：本题注意要通过拼凑、分解，来建立两个重要极限模型，再求解。
所以 =
例6 求
解：
通过以上的例子，我们可以发现两个重要极限的运用，迅速简化了一元函数极限的运算，使极限的计算过程变的简单、快捷。在计算过程中，只需要通过简单的四则运算，拼凑转化出满足两个重要极限基本形式的模型，然后进行求解会使原式简单很多。所以在今后的学习中，遇到 型和 型的未定式时，我们可以先尝试着看能否转化出这两个重要极限的模型，再看看能否解决问题。那么在复杂的二元函数极限计算中，这两个重要极限是否依然可以继续运用？答案是肯定的。因为二元函数和一元函数在本质是相同的数学类型，它们有着相同的定义形式，所以一元函数的极限法则，我们是可以直接推广到二元函数的计算中进行运用的。接着，本文将重点解析两个重要极限在二元函数极限计算过程当中的应用。【12】
3.2 两个重要极限在二元极限计算中的应用
例1 求极限
解： =
=
=1 0=0
在极限的计算过程中，我们可以发现通过一些变形，在计算过程中会方便快捷很多，但我们要注意这些变形对定义域的影响。设 = ，则它的定义域为D= ，再设 = ，则它的定义域为 ，所以可见随着变形，它们的定义域也发生了变化，这里我们会发现 ，即变形后的定义域变小了。但 和 显然在各自的定义域中都是成立的，且当 时，可以证明两个极限都是存在的。证明如下：
（1）对于 = 在定义域D= 内，因为当 时，我们可以得出以下演算过程： ，
根据这样的演算，利用夹逼法则可知 =0.
（2）对于 = 在定义域 内，根据极限的四则运算法则我们可知其值为0,.显然两极限函数的值是相当的，且在 （即两函数共有的定义域）内，两函数恒等。所以，虽然因为定义域的变化两函数不等，即 = = 但它们的极限计算结果确是相等的，即： = = =
是成立的。【6】
例2 求极限
解：
例3 求极限
解： =
=
=
= =
当然在解决二元极限计算问题时，我们还需要注意的一点是在一些二元极限的计算过程中，我们可以通过对第一个重要极限等价无穷小在二元函数中的推广来进行灵活运用解决问题，其推广形式如下：
,则 ； ； ； ； 。
对它们的使用将很大程度上的简化运算过程，提高解题效率。当然，需要特别注意的是，在对二元函数的等价无穷小进行代换时，有个前提条件，就是只可以在乘法和除法中进行运用，这个和一元函数的等价无穷小的运用条件是一样。这里通过下面的例子了解一下：
例4 求极限
解：
例5 求极限
解： = =1
3.3 两个重要极限在复杂极限计算中的应用
例1 求极限
解：首先令 ，这里我们先证明{ }的单调性质。
> >( =
> ,同理可知 >
又 < , 有 < =
有 ， { }是单调递增数列。
数列 是单调递减数列
设
则有
=1
= = =
=
由于 =0， = = =1
摘 要
极限是高等数学中最基本的、也是最重要的概念之一。高等数学中有两个重要极限： 和 ，这两个极限称为重要极限是因为这两个极限在极限计算和导数公式推导过程中起着不可取代的作用。在极限计算，这两个极限可以迅速简化复杂的极限计算，高效解决极限计算问题，在对导数公式的推导过程中，这两个极限也发挥了基石的作用，因为它们的存在，才可推导出基本的三角函数，对数函数，从而逐步推导出其他复杂的导数公式，是微积分基础理论的重要组成部分之一。本文将从两个极限的由来、证明及其应用方面论述对此两种极限的认识。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:两个重要极限重要性应用
目录
1.引言 1
1.1 研究背景和选题意义 1
1.2 国内外研究现状 2
2.两个重要极限的认识 2
2.1 两个重要极限的提出 2
2.2 两个重要极限的基本形式 3
2.3 两个重要极限的其他证明 3
3．两个重要极限的应用 5
3.1 两个重要极限在一元极限计算中的应用 5
3.2 两个重要极限在二元极限计算中的应用 7
3.3 两个重要极限在复杂极限计算中的应用 9
3.4 两个重要极限在微分学中的应用 10
3.5 两个重要极限在生活中的应用 12
4．总结 13
参考文献 14
致谢 14
1. 引言
1.1 研究背景和选题意义
高数中有两个重要极限： 和 。选择这两个重要极限作为本文的研究主题，是因为这两个重要极限在解决极限计算问题中以及在对初等函数导数公式的推导过程中都起着不可取代的作用，可以说，这两个重要极限是微积分学的基础。对于那些刚接触到高等数学的同学而言，极限理论是一个很大的难点，因为它相对于中学数学难以理清的抽象性，在思维上对同学们有了更高的要求，一些同学一时难以接受。但对于高等数学而言，极限又是它十分重要的基础，在函数连续性的验证或是单侧导数的求取过程中，极限都是相当重要的环节。能否学好极限，就意味着高等数学能否有一个很好的开始。然而对于极限而言，这两个重要极限又是重中之重，通过这两个极限可以迅速简化复杂的极限运算，灵活解决问题，在极限的计算中，它们起着桥梁纽带的作用。此外，通过这两个重要极限可以推导出最基本的三角函数以及对数函数等导数公式，而通过这两个基本函数公式可以推导出其他基本的初等函数导数公式。可以说导数问题的解决离不开这两个重要极限，因此，可感知到这两个重要极限在整个高等数学中所占的重要分量。所以针对这两个重要极限的研究讨论，具有十分重要的实际意义。
1.2 国内外研究现状
两个重要极限的研究分析在高等数学领域具有非常重要的战略意义 .国内对有关两个重要极限的研究，涉及的量比较多，前辈们仁者见仁智者见智，在对这两个重要极限的证明、推广、应用方面给出了许多不同的见解，大大充实了我们的视野。总的来说，对这两个极限的研究主要还是对其重要性的研究,及它的应用与推广，而这两个重要极限的重要性则是在极限运算，以及函数的公式推导过程中所体现。在两个重要极限的证明方面，对第一个重要极限，多数是用的几何分析和对夹逼法则的应用来证明，第二个重要极限多数则是通过数列分析和夹逼法则应用来证明。在证明方面，王梦洁[6]在《对两个重要极限的新认识》一文中，针对第一重要极限证明，利用几何图形，运用弧度概念，方便快捷的对极限给予了证明，给人眼前一亮的感觉。且还有运用拉格朗日中值定理对极限一的证明也是简洁明了，让人一目了然。在极限计算应用方面，马红霞[16]在《高等数学中两个重要极限的一些认识》一文中，在对两个重要极限在极限计算中应用中，应用比较法，换元法，构造法等，向我们展示了多种极限计算中，两个重要极限的运用技巧，加深了我们的理解认识。在应用方面，张先荣[17]在《浅谈两个重要极限的重要性及应用》一文中，向我们展示了在三角函数和对数函数推导过程中，两个重要极限的运用，加深了对两个极限重要性的认识。前辈们对两个极限的研究，给我们的学习提供了很大的帮助。
2.两个重要极限的认识
2.1 两个重要极限的由来
（1）关于极限
引例：求半径为r的圆的面积
首先，我们做圆的内接正n边形，利用三角形和多边形的面积公式，我们容易计算出这个内接正n边形的面积为： ，（ ）。
对于这个内接多边形的面积，我们容易想到，当n越大时，这个内接多边形就越像一个圆，而它的面积也就愈发的趋近于圆的面积。但是，这个 无论怎么大，它的面积都不会是圆的面积，因为当 为定值时，这个多边形只能是圆的内接多边形。因此，我们只能设想，当n无限趋近于 时，内接多边形无限趋近于一个圆，它的面积也无限趋近于圆的面积，但是我们不知道哪一个数值是 的最后一个，且内接多边形面积无限趋近的那个值，应当即为圆的面积。所以，我们可以得到了一个奇特的极限：
= ，
这也就是第一个重要极限的变形。
（2）关于极限
这个重要极限，则首先是在生活应用中被提出。大自然，生活中，很多事物都是不间断的、连续的生长变化着，在对这一情况的追踪计算，即为复利和的计算。简而言之，这一类问题即为基数加上一瞬间的利息，转化为下一瞬间的基数，然后再乘以利率与新的基数相加，得到下一个基数，就这样进行下去，最后总会得到这样的模型： （即为所求的和），这里a为基数（本金），t总时间，k为单位时间利率的百分数，n为单位时间内计算利率的次数，这里我们将上面的模型进行下变形，令h= ， ，则 = ，这样我们就又看到了一个奇特的极限： ，即第二个重要极限的变形。
两个重要极限在学习应用中被提出来，也说明了它们的重要性。
2.2 两个重要极限的基本形式
（1）关于极限
对于这一重要极限在形式上我们容易发现它实际上即为两个无穷小之比的极限，在分子和分母分别求极限的情况下便可得到 这一未定的结果，所以把这一类型的极限统称为 型未定式。在这里需要注意的是 仅是一个符号，并没有具体的意义，可以用函数 代替，因此我们还可以将其变形为 ，这里必须要确保在自变量的同一变化过程中， 0，且 可求。在运用 这个极限需要注意以下3点：极限的形式： 的未定型（或可化为 型）；分母为关于 的幂函数；sin函数内的式子要与分母的式子一致，包括系数、正负号。满足这3点结论就可以直接用了。当然在实际的解题过程中，并不会一直出现我们所需要的极限模型，这就需要我们细心的观察，通过简单的拼凑、变形将内层函数和分母变成统一，得到我们需要的模型，来进一步解题。
（2）关于极限
这个极限是“ ”型，同样在 中， 也是一个符号，没有什么具体的意义。令y= ，则 时， 。变形后可以得到 ，必须保证在自变量的同一变化过程中， 0。在这需要特别注意的是，括号内的未定函数需要和指数函数在形式上完全统一，且括号内必须得是“+”，如果是“-”，那么就需要通过变形将“-”放到分母上去。对于这个 ，在应用时也需要注意以下3点：构造出“1+”形式；从整体上进行把握，括号内除去“1+”的部分，在自变量的同一变化过程中要趋于0；“无穷小”和“无穷大”的解析式在形式上要统一，且互为倒数。【16】
2.3 两个重要极限的其他证明
（1）第一个重要极限
证法1：利用洛必达法则，反过来验证。当 时， 0和 0，所以极限是 型未定式。:所以有: = ，即
证法2：依据泰勒公式，可以获得以下的展开式：
+
当 时，即有 = +
（ ）
=
= +
=1-0+0+ 0+0=1
即
（2）第二个重要极限
证明如下：
所以只需要证明
即只需证 =1
又 =
令 = ( , 0)
有 =
得证。
3.两个重要极限的应用
3.1 两个重要极限在一元极限计算中的应用
例1 求
解：因为当 0时，sin 0， 0， 0，所以有
=
=1 1 1 1=1
例2 求
解：因为当 时， ，所以要在分母中构造出 ，且 = ，所以有：
例3 求
解：
例4 求
解：
例5 求
解：本题注意要通过拼凑、分解，来建立两个重要极限模型，再求解。
所以 =
例6 求
解：
通过以上的例子，我们可以发现两个重要极限的运用，迅速简化了一元函数极限的运算，使极限的计算过程变的简单、快捷。在计算过程中，只需要通过简单的四则运算，拼凑转化出满足两个重要极限基本形式的模型，然后进行求解会使原式简单很多。所以在今后的学习中，遇到 型和 型的未定式时，我们可以先尝试着看能否转化出这两个重要极限的模型，再看看能否解决问题。那么在复杂的二元函数极限计算中，这两个重要极限是否依然可以继续运用？答案是肯定的。因为二元函数和一元函数在本质是相同的数学类型，它们有着相同的定义形式，所以一元函数的极限法则，我们是可以直接推广到二元函数的计算中进行运用的。接着，本文将重点解析两个重要极限在二元函数极限计算过程当中的应用。【12】
3.2 两个重要极限在二元极限计算中的应用
例1 求极限
解： =
=
=1 0=0
在极限的计算过程中，我们可以发现通过一些变形，在计算过程中会方便快捷很多，但我们要注意这些变形对定义域的影响。设 = ，则它的定义域为D= ，再设 = ，则它的定义域为 ，所以可见随着变形，它们的定义域也发生了变化，这里我们会发现 ，即变形后的定义域变小了。但 和 显然在各自的定义域中都是成立的，且当 时，可以证明两个极限都是存在的。证明如下：
（1）对于 = 在定义域D= 内，因为当 时，我们可以得出以下演算过程： ，
根据这样的演算，利用夹逼法则可知 =0.
（2）对于 = 在定义域 内，根据极限的四则运算法则我们可知其值为0,.显然两极限函数的值是相当的，且在 （即两函数共有的定义域）内，两函数恒等。所以，虽然因为定义域的变化两函数不等，即 = = 但它们的极限计算结果确是相等的，即： = = =
是成立的。【6】
例2 求极限
解：
例3 求极限
解： =
=
=
= =
当然在解决二元极限计算问题时，我们还需要注意的一点是在一些二元极限的计算过程中，我们可以通过对第一个重要极限等价无穷小在二元函数中的推广来进行灵活运用解决问题，其推广形式如下：
,则 ； ； ； ； 。
对它们的使用将很大程度上的简化运算过程，提高解题效率。当然，需要特别注意的是，在对二元函数的等价无穷小进行代换时，有个前提条件，就是只可以在乘法和除法中进行运用，这个和一元函数的等价无穷小的运用条件是一样。这里通过下面的例子了解一下：
例4 求极限
解：
例5 求极限
解： = =1
3.3 两个重要极限在复杂极限计算中的应用
例1 求极限
解：首先令 ，这里我们先证明{ }的单调性质。
> >( =
> ,同理可知 >
又 < , 有 < =
有 ， { }是单调递增数列。
数列 是单调递减数列
设
则有
=1
= = =
=
由于 =0， = = =1
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/rjgc/1912.html
