n阶行列式计算方法总结与应用探讨(附件)【字数：6342】
行列式是高等数学（代数学）中非常重要的一个基础概念。对于学习高等数学的同学来说，掌握行列式的运算和运用十分重要。本文从介绍行列式的背景和历史开始，然后展开讲解行列式的定义和性质，详细说明行列式的各种计算方法，最后是行列式的运用。文中除了行列式理论以外，还部分涉及多项式理论、矩阵理论，在最后的一个证明举例中涉及了一些分析学的知识。讲解行列式的背景，行列式的历史等等，让大家了解行列式，对行列式理论的发展有一个基本的概念。阐述行列式的定义和各项性质，之后是详细说明各种特殊形状的行列式的计算方法。讲解行列式在解方程、解析几何、因式分解、分母有理化中的应用，最后用行列式证明拉格朗日中值定理。关键字行列式；方程；计算；应用
目录
第一章 绪论 1
1.1行列式的背景与意义 1
1.2行列式的历史 1
第二章 N阶行列式的计算方法 3
2.1行列式的定义和性质 3
2.1.1 排列与逆序数 3
2.1.2 行列式的定义 3
2.1.3 行列式的性质 3
2.2 行列式的计算 4
2.2.1 可以直接利用性质计算的行列式 4
2.2.1.1 或的行列式 4
2.2.1.2 奇数阶反对称行列式 4
2.2.1.3 各元素均为两数和的行列式 5
2.2.1.4 析因子法求含参数行列式 5
2.2.1.5 特殊行列式：范德蒙行列式 7
2.2.2 行列式行列的展开与拉普拉斯定理 7
2.2.2.1 行列式按一行（列）展开 7
2.2.2.2 行列式按多行（列）展开 7
2.2.2.3 拉普拉斯定理 8
2.2.3 两条线型行列式的化简与计算 8
2.2.4 箭型行列式的化简与计算 11
2.2.5 三对角行列式的化简与计算 12
2.2.6 Hessenberg行列式的化简与计算 15
2.2.7 各行（列）之和相等的行列式的化简与计算 15
2.2.8 升阶法计算行列式 17 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
2.2.9 相邻行（列）差1的行列式的化简与计算 18
2.2.10 范德蒙（Vandermonde）型行列式的化简与计算 20
2.2.11 运用行列式乘法公式进行行列式的化简与计算 22
2.2.12 行列式方程的求解 23
2.2.13 关于行列式代数余子式的计算 24
2.2.14 运用行列式的对称性计算行列式 26
第三章 N阶行列式的应用探讨 30
3.1 线性方程组与克拉默法则 30
3.1.1 克拉默法则与非齐次线性方程组 31
3.1.2 克拉默法则与齐次线性方程组 31
3.2 行列式在解析几何中的应用 32
3.2.1 平面直线方程 32
3.2.2 平面三角形的面积 32
3.3 行列式在因式分解中的应用 33
3.4 行列式在分母有理化中的应用 34
3.5 行列式在Lagrange中值定理的面积证明中的应用 34
总结 36
致谢 37
参考文献 38
第一章 绪论
1.1行列式的背景与意义
在大学数学特别是高等代数的学习过程中，行列式是继多项式理论之后同学们又会碰到的一个重要的概念。在解线性方程组时，我们通过各种消元计算会得出一个最终算式，他就是行列式的具体算法的表示，行列式也是从线性方程组中诞生的。行列式拥有它自己的计算规则，同时线性方程组的解也相对于与他对应的行列式，所以解线性方程组是行列式最最重要的一个用途。行列式将线性方程组的解公式化，同时线性方程组的解也表明行列式是一个数。行列式不但能够运用在线性方程组上，还能够运用行列式解决矩阵的逆、矩阵的秩、矩阵的特征值方面的问题。向量组的线性相关性、二次型的正负定等运用行列式进行讨论也能得到好的效果。
1.2行列式的历史
行列式的历史十分悠久，大约在十七世纪的时候就有了一些基本概念。德国数学家、物理学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）和日本数学家关孝和分别独立提出了行列式。1683年，关孝和的《伏题法》出现了有关行列式的雏形，而伏题法本身的意思就可以理解成 “解行列式的方法”，行列式的基本概念在这本四百年前的书中已经有了阐述。（参考自[1]，其中有对莱布尼茨方法的详细论述。）
1693年6月，洛比达(Marquis de lH?pital,16611704)收到了莱布尼茨的一封信，这封信中涉及了许多行列式的概念。在信中，莱布尼茨对一个三元一次方程组的系数进行了特殊的排列。莱布尼茨消去了两个未知量，使得最后一个量表示成行列式形式。而行列式结果为零，从而说明三个方程满足同一个解。莱布尼茨虽然是西方第一位发现行列式的人，但他没有对行列式作出严格的定义，也没有给出行列式的名称，莱布尼茨在1850年才发表他的结论，这使得莱布尼茨对行列式理论的发展所作出的贡献十分有限。
瑞士数学家克拉默（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 17041752）于1750年在他的著作《线性代数分析导引》中第一次对行列式的定义和展开等性质给出了比较完善的描述，同时也给出了解线性方程组的克拉默法则。数学家贝祖(E.Bezout,17301783)的贡献使得行列式的符号得以规范，同时指出了判断齐次线性方程组有非零解得方法，通过系数行列式。
在行列式发展历史的前期，行列式只不过是作为一种解线性方程组的工具，并没有独立形成一套完善的理论，而第一个将行列式理论系统阐述并将其从解线性方程组中分离开来的人是法国数学家范德蒙(AT.Vandermonde，1735～1796)?。是行列式理论的奠基人的头衔范德蒙当之无愧。
现代意义上的行列式理论研究开始于19世纪，其中法国大数学家柯西（Cauchy，Augustin Louis 17891857）对行列式理论作出了最重要的贡献，他在前人的基础上用现代方式几乎是重新建立了行列式理论的大厦。
在柯西之后另一位对行列式作出重要贡献的数学家是雅克比(J.Jacobi，1804～1851)。函数行列式即“雅克比行列式”就是由雅各比发明的，雅各比阐述了在多次积分变量代换中函数行列式的重要作用。《论行列式的形成和性质》给现代行列式大厦添上了最后一块砖。整个19?世纪是行列式大发展的世纪，行列式被广泛应用在数学分析、二次型、线性方程组等方面，同时这些应用方向反过来又促进了行列式的发展。
目录
第一章 绪论 1
1.1行列式的背景与意义 1
1.2行列式的历史 1
第二章 N阶行列式的计算方法 3
2.1行列式的定义和性质 3
2.1.1 排列与逆序数 3
2.1.2 行列式的定义 3
2.1.3 行列式的性质 3
2.2 行列式的计算 4
2.2.1 可以直接利用性质计算的行列式 4
2.2.1.1 或的行列式 4
2.2.1.2 奇数阶反对称行列式 4
2.2.1.3 各元素均为两数和的行列式 5
2.2.1.4 析因子法求含参数行列式 5
2.2.1.5 特殊行列式：范德蒙行列式 7
2.2.2 行列式行列的展开与拉普拉斯定理 7
2.2.2.1 行列式按一行（列）展开 7
2.2.2.2 行列式按多行（列）展开 7
2.2.2.3 拉普拉斯定理 8
2.2.3 两条线型行列式的化简与计算 8
2.2.4 箭型行列式的化简与计算 11
2.2.5 三对角行列式的化简与计算 12
2.2.6 Hessenberg行列式的化简与计算 15
2.2.7 各行（列）之和相等的行列式的化简与计算 15
2.2.8 升阶法计算行列式 17 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
2.2.9 相邻行（列）差1的行列式的化简与计算 18
2.2.10 范德蒙（Vandermonde）型行列式的化简与计算 20
2.2.11 运用行列式乘法公式进行行列式的化简与计算 22
2.2.12 行列式方程的求解 23
2.2.13 关于行列式代数余子式的计算 24
2.2.14 运用行列式的对称性计算行列式 26
第三章 N阶行列式的应用探讨 30
3.1 线性方程组与克拉默法则 30
3.1.1 克拉默法则与非齐次线性方程组 31
3.1.2 克拉默法则与齐次线性方程组 31
3.2 行列式在解析几何中的应用 32
3.2.1 平面直线方程 32
3.2.2 平面三角形的面积 32
3.3 行列式在因式分解中的应用 33
3.4 行列式在分母有理化中的应用 34
3.5 行列式在Lagrange中值定理的面积证明中的应用 34
总结 36
致谢 37
参考文献 38
第一章 绪论
1.1行列式的背景与意义
在大学数学特别是高等代数的学习过程中，行列式是继多项式理论之后同学们又会碰到的一个重要的概念。在解线性方程组时，我们通过各种消元计算会得出一个最终算式，他就是行列式的具体算法的表示，行列式也是从线性方程组中诞生的。行列式拥有它自己的计算规则，同时线性方程组的解也相对于与他对应的行列式，所以解线性方程组是行列式最最重要的一个用途。行列式将线性方程组的解公式化，同时线性方程组的解也表明行列式是一个数。行列式不但能够运用在线性方程组上，还能够运用行列式解决矩阵的逆、矩阵的秩、矩阵的特征值方面的问题。向量组的线性相关性、二次型的正负定等运用行列式进行讨论也能得到好的效果。
1.2行列式的历史
行列式的历史十分悠久，大约在十七世纪的时候就有了一些基本概念。德国数学家、物理学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）和日本数学家关孝和分别独立提出了行列式。1683年，关孝和的《伏题法》出现了有关行列式的雏形，而伏题法本身的意思就可以理解成 “解行列式的方法”，行列式的基本概念在这本四百年前的书中已经有了阐述。（参考自[1]，其中有对莱布尼茨方法的详细论述。）
1693年6月，洛比达(Marquis de lH?pital,16611704)收到了莱布尼茨的一封信，这封信中涉及了许多行列式的概念。在信中，莱布尼茨对一个三元一次方程组的系数进行了特殊的排列。莱布尼茨消去了两个未知量，使得最后一个量表示成行列式形式。而行列式结果为零，从而说明三个方程满足同一个解。莱布尼茨虽然是西方第一位发现行列式的人，但他没有对行列式作出严格的定义，也没有给出行列式的名称，莱布尼茨在1850年才发表他的结论，这使得莱布尼茨对行列式理论的发展所作出的贡献十分有限。
瑞士数学家克拉默（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 17041752）于1750年在他的著作《线性代数分析导引》中第一次对行列式的定义和展开等性质给出了比较完善的描述，同时也给出了解线性方程组的克拉默法则。数学家贝祖(E.Bezout,17301783)的贡献使得行列式的符号得以规范，同时指出了判断齐次线性方程组有非零解得方法，通过系数行列式。
在行列式发展历史的前期，行列式只不过是作为一种解线性方程组的工具，并没有独立形成一套完善的理论，而第一个将行列式理论系统阐述并将其从解线性方程组中分离开来的人是法国数学家范德蒙(AT.Vandermonde，1735～1796)?。是行列式理论的奠基人的头衔范德蒙当之无愧。
现代意义上的行列式理论研究开始于19世纪，其中法国大数学家柯西（Cauchy，Augustin Louis 17891857）对行列式理论作出了最重要的贡献，他在前人的基础上用现代方式几乎是重新建立了行列式理论的大厦。
在柯西之后另一位对行列式作出重要贡献的数学家是雅克比(J.Jacobi，1804～1851)。函数行列式即“雅克比行列式”就是由雅各比发明的，雅各比阐述了在多次积分变量代换中函数行列式的重要作用。《论行列式的形成和性质》给现代行列式大厦添上了最后一块砖。整个19?世纪是行列式大发展的世纪，行列式被广泛应用在数学分析、二次型、线性方程组等方面，同时这些应用方向反过来又促进了行列式的发展。
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