广义逆矩阵及其应用generalizedinversematrixanditsapplication(附件)【字数：50
摘 要摘 要由于在实际应用中一些矩阵是没有逆矩阵的，为了解决该问题引出了广义的逆矩阵这个概念。广义逆矩阵是普通矩阵的延伸，它既具有一般矩阵所有的性质，又具有自己独有的性质。因此广义逆矩阵在实际生活中有着非常广泛的应用，如在数理统计、系统理论、优化计算和控制论方面有着重要应用，成为了矩阵论的一个重要分支。在本文中给出广义逆矩阵的概念及定理，然后介绍几种常用的广义逆，，，和,主要介绍了它们的定义和性质。接着引出广义逆矩阵的两种计算方法①Hermite标准形计算法；②满秩分解法求解广义逆矩阵。最后着重讨论广义逆矩阵在解线性方程组中的应用,主要介绍了与相容性线性方程组的解、通解、极小范数解，以及与不相容线性方程组的最小二乘解。关键词广义逆矩阵；满秩分解法；线性方程组；最小二乘解
目 录
第一章 绪论 1
1.1 引言 1
1.2符号表 2
第二章 矩阵广义逆 4
2.1 Penrose广义逆矩阵的定义 4
2.2广义逆矩阵的性质和构造方法 5
第三章 广义逆矩阵的计算 9
3.1 满秩长方阵的广义逆的概念 9
3.2利用Hermite标准形计算矩阵逆 9
3.3满秩分解法 11
第四章 广义逆在线性方程组中的应用 14
4.1. 线性方程组的求解 14
4.2相容方程组的通解与减号逆 15
4.3相容方程组的最小范数解以及最小范数广义逆 16
4.4不相容方程组的最小二乘解以及最小二乘广义逆 18
4.5加号逆的应用 21
总 结 23
参考文献 24
致 谢 25
第一章 绪论
1.1 引言
我们在生活学习中经常会碰到一些矩阵不属于方阵，可是逆矩阵是仅对非奇异方程才有效的。因此，有必要推广逆矩阵的概念。对于广义逆矩阵来说，它属于一种有关一般逆矩阵的拓展，而且是存在着必要性的。例如求解线性方程问题
.
若为阶方阵，满足，那么方程组仅有唯一的解，并且记作为
.
但是我们 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
在学习中接触的一般都是非方阵，那么我们如何解决这类问题呢？于是出现了一个新的拓展内容，即广义逆矩阵。
十九世纪二十年代广义逆矩阵被提出，即广义逆矩阵。凭据投影矩阵提出了矩阵的广义逆，而且广义逆唯一。后来，几乎没人提到这个概念。终于十九世纪五十年代， 证明出所定义的广义逆是仅有的满足相应条件的矩阵，重新激发了对研究广义逆的兴趣，对在这个范围做出重要功绩的二人，后人将此命名成逆。经过40年研究和讨论，有关广义逆的知识都迅猛的成长成熟，相关领域不断开拓，广泛的应用于数值分析、密码学、运筹学等方面和领域。十九世纪七十年代，美国的高校组织了一次关于广义逆的讨论，主编也为其发行了一篇综述文集Generalized Inverses and Appications。六年后，同样又在美国，又举办了一次相关的区域性质的讨论会议，而且主编了另一篇综述文集，其中有12篇是关于广义逆矩阵的最新的论文。而在国内方面在广义的逆矩阵方面也取得了巨大的成功。
在由杨振海和王松桂编写的《广义逆矩阵及其应用》一文中详细地阐述有关广义逆矩阵的理论、方法和应用。王国荣于1994编写的《矩阵与算子广义逆》一书中，介绍了矩阵的广义逆在扰动理论、条件数、递推算法、秩修正阵及算子广义逆的表示和逼近等方面取得的一系列成果。
近些年来，广义逆的理论和计算问题的探讨进一步深入，广义逆矩阵范围内碰到了一些急待于解决的问题。比如，分块矩阵的广义逆中子块的独立问题、除环矩阵的广义逆问题和广义逆矩阵的秩式问题等。
本论文共有4章，第一章主要讲了广义逆矩阵的背景知识和符号表的定义；第二章主要讲了广义逆矩阵的定义和常见的5类广义逆矩阵，分别讨论了每种矩阵的定义和性质，为广义逆矩阵的计算和应用打下了基础；第三章对广义逆矩阵进行求解，主要用了标准形计算法，还有满值分解的方法来计算广义逆矩阵；最后一章介绍了广义逆矩阵在线性方程组中的应用。
1.2符号表
主要符号说明
表示对角线元素为，其余元素都为零的矩阵，单位矩阵
阶单位矩阵
矩阵的MP广义逆
矩阵的转置
矩阵的共轭转置
的逆阵
的{1}逆
的{1,2}逆
的{1,3}逆
复维向量空间
所有复元素矩阵的全体
中所有秩为r的矩阵全体
的秩
矩阵的第元素
矩阵的范数
矩阵的值域
矩阵的零空间
第二章 矩阵广义逆
在现实应用中，我们碰见的很多矩阵都不是方阵，纵然是方阵也不必定是非奇异的，因此对于满足奇异矩阵乃至长方形矩阵该矩阵都存在，则该矩阵称为广义逆矩阵。广义逆矩阵在生产生活中有着重要的应用，因此成为了矩阵论的一个重要的分支。
2.1 Penrose广义逆矩阵的定义
定义2.1.1设，如果满足下列四个条件
； ；
； .
那么叫为的Penrose广义逆矩阵,简记为Penrose广义逆，记为。
例2.1.1 由定义直接验算：
若，则有。
若，则有。
在我们平常的学习中，由于存在着不尽相同的情况，则要思考符合的某些函数的矩阵叫做弱逆。广义逆矩阵中满足不同条件的数目并不一定，所有的广义逆矩阵都有本身的矩阵，是以引进如下定义。
定义2.1.2 设，用表示满足Penrose第个方程的矩阵的集合；，又常记为，叫做的逆。
根据定义2.1.2知道，符合1个、2个、3个、4个Penrose方程的广义逆共有15个，也就是个，但应用较多的有以下5类：
，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为减号逆，记作为；
，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为自反广义逆，记作为；
,此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为最小范数广义逆，记作为；
目 录
第一章 绪论 1
1.1 引言 1
1.2符号表 2
第二章 矩阵广义逆 4
2.1 Penrose广义逆矩阵的定义 4
2.2广义逆矩阵的性质和构造方法 5
第三章 广义逆矩阵的计算 9
3.1 满秩长方阵的广义逆的概念 9
3.2利用Hermite标准形计算矩阵逆 9
3.3满秩分解法 11
第四章 广义逆在线性方程组中的应用 14
4.1. 线性方程组的求解 14
4.2相容方程组的通解与减号逆 15
4.3相容方程组的最小范数解以及最小范数广义逆 16
4.4不相容方程组的最小二乘解以及最小二乘广义逆 18
4.5加号逆的应用 21
总 结 23
参考文献 24
致 谢 25
第一章 绪论
1.1 引言
我们在生活学习中经常会碰到一些矩阵不属于方阵，可是逆矩阵是仅对非奇异方程才有效的。因此，有必要推广逆矩阵的概念。对于广义逆矩阵来说，它属于一种有关一般逆矩阵的拓展，而且是存在着必要性的。例如求解线性方程问题
.
若为阶方阵，满足，那么方程组仅有唯一的解，并且记作为
.
但是我们 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
在学习中接触的一般都是非方阵，那么我们如何解决这类问题呢？于是出现了一个新的拓展内容，即广义逆矩阵。
十九世纪二十年代广义逆矩阵被提出，即广义逆矩阵。凭据投影矩阵提出了矩阵的广义逆，而且广义逆唯一。后来，几乎没人提到这个概念。终于十九世纪五十年代， 证明出所定义的广义逆是仅有的满足相应条件的矩阵，重新激发了对研究广义逆的兴趣，对在这个范围做出重要功绩的二人，后人将此命名成逆。经过40年研究和讨论，有关广义逆的知识都迅猛的成长成熟，相关领域不断开拓，广泛的应用于数值分析、密码学、运筹学等方面和领域。十九世纪七十年代，美国的高校组织了一次关于广义逆的讨论，主编也为其发行了一篇综述文集Generalized Inverses and Appications。六年后，同样又在美国，又举办了一次相关的区域性质的讨论会议，而且主编了另一篇综述文集，其中有12篇是关于广义逆矩阵的最新的论文。而在国内方面在广义的逆矩阵方面也取得了巨大的成功。
在由杨振海和王松桂编写的《广义逆矩阵及其应用》一文中详细地阐述有关广义逆矩阵的理论、方法和应用。王国荣于1994编写的《矩阵与算子广义逆》一书中，介绍了矩阵的广义逆在扰动理论、条件数、递推算法、秩修正阵及算子广义逆的表示和逼近等方面取得的一系列成果。
近些年来，广义逆的理论和计算问题的探讨进一步深入，广义逆矩阵范围内碰到了一些急待于解决的问题。比如，分块矩阵的广义逆中子块的独立问题、除环矩阵的广义逆问题和广义逆矩阵的秩式问题等。
本论文共有4章，第一章主要讲了广义逆矩阵的背景知识和符号表的定义；第二章主要讲了广义逆矩阵的定义和常见的5类广义逆矩阵，分别讨论了每种矩阵的定义和性质，为广义逆矩阵的计算和应用打下了基础；第三章对广义逆矩阵进行求解，主要用了标准形计算法，还有满值分解的方法来计算广义逆矩阵；最后一章介绍了广义逆矩阵在线性方程组中的应用。
1.2符号表
主要符号说明
表示对角线元素为，其余元素都为零的矩阵，单位矩阵
阶单位矩阵
矩阵的MP广义逆
矩阵的转置
矩阵的共轭转置
的逆阵
的{1}逆
的{1,2}逆
的{1,3}逆
复维向量空间
所有复元素矩阵的全体
中所有秩为r的矩阵全体
的秩
矩阵的第元素
矩阵的范数
矩阵的值域
矩阵的零空间
第二章 矩阵广义逆
在现实应用中，我们碰见的很多矩阵都不是方阵，纵然是方阵也不必定是非奇异的，因此对于满足奇异矩阵乃至长方形矩阵该矩阵都存在，则该矩阵称为广义逆矩阵。广义逆矩阵在生产生活中有着重要的应用，因此成为了矩阵论的一个重要的分支。
2.1 Penrose广义逆矩阵的定义
定义2.1.1设，如果满足下列四个条件
； ；
； .
那么叫为的Penrose广义逆矩阵,简记为Penrose广义逆，记为。
例2.1.1 由定义直接验算：
若，则有。
若，则有。
在我们平常的学习中，由于存在着不尽相同的情况，则要思考符合的某些函数的矩阵叫做弱逆。广义逆矩阵中满足不同条件的数目并不一定，所有的广义逆矩阵都有本身的矩阵，是以引进如下定义。
定义2.1.2 设，用表示满足Penrose第个方程的矩阵的集合；，又常记为，叫做的逆。
根据定义2.1.2知道，符合1个、2个、3个、4个Penrose方程的广义逆共有15个，也就是个，但应用较多的有以下5类：
，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为减号逆，记作为；
，此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为自反广义逆，记作为；
,此中随意一个确定广义逆矩阵被称作为最小范数广义逆，记作为；
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