解非线性方程的常用方法(附件)【字数：8082】
摘 要摘 要不管是在工程应用，还是科学计算中，我们常常都会遇到许多关于求解非线性方程的问题。而什么是非线性方程呢？就是因变量与自变量之间的关系，而不是线性的非线性方程关系，这类方程很多，例如平方关系、三角函数关系、指数关系等等。我们在求解这一类的方程时，经常会用到迭代法，且这些迭代法大多是有收敛条件的。对于迭代过程的收敛性，只要有足够的迭代次数，我们就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，由此可知，迭代过程的加速是个非常重要的过程。因此，在本文总将会涉及非线性方程迭代法，如不动点迭代法、Newton迭代法，及它们的收敛条件；同时本文也会涉及加速收敛法，比如Aitken加速收敛法、 Steffensen加速收敛法，将为大家讲述它们的加速原理。其中，Newton迭代法是求解非线性方程的主要方法之一，其优点就是收敛速度较快，但其也存在不少的缺点。因此本文将会为大家讲述一些关于Newton迭代法的改进方法，来提高Newton迭代法的计算精度和减少计算的。关键字非线性方程、迭代法、Aitken加速收敛法而所谓非线性方程是什么，我在中已为大家介绍过。而求解这一类方程常常很难获得确切解，需要求近似解。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 非线性方程的概述 1
第二章 不动点迭代法与收敛性 3
2.1 不动点迭代法 3
2.2 收敛性 4
2.3 收敛速度 7
第三章 Newton 迭代法与其收敛性 9
3.2 Newton迭代法的收敛性 11
3.3 Newton迭代法的总结 13
3.3.1 Newton迭代法可以应用于开方公式 13
3.3.2 Newton迭代法的优缺点 13
第四章 加速收敛法 14
4.1 Aitken加速收敛法 14
4.1.1 Aitken加速收敛法的加速原理 14
4.1.2 算法（Aitken加速收敛法） 16
4.2 Steffensen加速收敛法 16
4.2.1 Steffensen *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
加速收敛法的加速原理 16
4.2.2 Steffensen加速收敛法的收敛条件 17
第五章 Newton法的改进 19
5.1 简化Newton法 19
5.2 Newton下山法 19
5.3 弦截法 21
第六章 高阶收敛的迭代方法 23
6.1 高阶迭代法与收敛性 23
6.2 Adomian多项式 25
6.3 基于Adomian分解的三阶收敛迭代法 27
结语 30
致谢 31
参考文献 32
第一章 绪论
非线性方程在实际问题中经常出现，且跟着科学技术和生产力的发展，在计算科学和工程中有大量非线性方程求解的问题，因而可知求解非线性方程的重要性。
而所谓非线性方程是什么，我在摘要中已为大家介绍过。而求解这一类方程常常很难获得确切解，需要求近似解。
且这些方程可以分为类，多项式方程和非多项式方程。因此，有人就认为非线性方程就是指那些方程中未知数的次数高于一次的方程，或者函数图不是一条直线的即为非线性方程。初学者，对线性方程和非线性方程的鉴定没有明确的依据。
怎样求解非线性方程呢？接下来，本文逐一介绍。
1.1 研究背景
我们在利用数学工具对各种现象进行研究和解决问题的时候，通常都可以归结为对非线性方程的求解，即求解。
而对非线性方程的求解大多是很不容易的，因此寻找非线性方程求解的办法是数值分析之中一个重要的部分，且它在科学和工程计算的各个领域都有着普遍的应用。此时迭代法在求解非线性方程之中就不得不提了，由于它既是有效有是很方便的求解非线性方程的办法。由此可见其的重要性。
在迭代法的发展的几个世纪来说，很多相关专业的人员都对迭代法的各个方面做了研究，因而产生了许多求解非线性方程的迭代法的方法。
数值计算中非线性问题也是常常碰到的一类困难，特别是高阶非线性方程的求解题目成为了非线性科学的一个重要组成部分。
1.2 非线性方程的概述
在工程应用和科学计算几日常生活中，经常会遇到非线性方程
， （1—1）
求根的问题，当是次多项式时，称（1—1）式为代数方程否则称为超越方程；如，。对的代数方程和超越方程没有通用的根的求解公式，通常用数值分析的方法做近似计算。
方程的根也称为函数的零点，若
，且， （1—2）
其中为正整数。当时称为方程的单根；当时称为方程的重根，此时有
。 （1—3）
第二章 不动点迭代法与收敛性
2.1 不动点迭代法
将非线性方程改写成其等价形式
， （2—1）
并且假设是连续函数，此时我们任取一个初始近似值，将它代入（2—1）式的右端，即可求得，按照上面的方法进行下去，设当前点为，由计算出，即
， （2—2）
称为迭代函数，称上述的迭代公式（2—2）是不动点迭代法，（也称为简单迭代法或逐次迭代法）。若式（2—2）产生序列，当连续，且序列收敛于时，有
，
即有，所以是方程的根。
例 2.1 用不动点迭代法，求方程。
解：将原方程改为其等价方程，其中有两个等价方程分别为：
（1）方程1:,若取初值，由迭代法（2—2）得
明显迭代法是发散的。
（2）方程2: ，仍取初值
，
以此类推，得到
，
此时已收敛，故原方程的解为：。
从例2.1的计算结果可知，不同的迭代公式，其迭代序列的收敛情况将会有很大的差异；可能呈现出发散或无意义的情况，就算是收敛的，其收敛的速度也是不同的。为使迭代序列收敛，且有一个较快的速度，迭代公式的选取是非常重要的。
2.2 收敛性
用不动点迭代法求解非线性方程的关键在于适当构造迭代公式，不同的迭代公式收敛的速度不同，有些可能发散。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 非线性方程的概述 1
第二章 不动点迭代法与收敛性 3
2.1 不动点迭代法 3
2.2 收敛性 4
2.3 收敛速度 7
第三章 Newton 迭代法与其收敛性 9
3.2 Newton迭代法的收敛性 11
3.3 Newton迭代法的总结 13
3.3.1 Newton迭代法可以应用于开方公式 13
3.3.2 Newton迭代法的优缺点 13
第四章 加速收敛法 14
4.1 Aitken加速收敛法 14
4.1.1 Aitken加速收敛法的加速原理 14
4.1.2 算法（Aitken加速收敛法） 16
4.2 Steffensen加速收敛法 16
4.2.1 Steffensen *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
加速收敛法的加速原理 16
4.2.2 Steffensen加速收敛法的收敛条件 17
第五章 Newton法的改进 19
5.1 简化Newton法 19
5.2 Newton下山法 19
5.3 弦截法 21
第六章 高阶收敛的迭代方法 23
6.1 高阶迭代法与收敛性 23
6.2 Adomian多项式 25
6.3 基于Adomian分解的三阶收敛迭代法 27
结语 30
致谢 31
参考文献 32
第一章 绪论
非线性方程在实际问题中经常出现，且跟着科学技术和生产力的发展，在计算科学和工程中有大量非线性方程求解的问题，因而可知求解非线性方程的重要性。
而所谓非线性方程是什么，我在摘要中已为大家介绍过。而求解这一类方程常常很难获得确切解，需要求近似解。
且这些方程可以分为类，多项式方程和非多项式方程。因此，有人就认为非线性方程就是指那些方程中未知数的次数高于一次的方程，或者函数图不是一条直线的即为非线性方程。初学者，对线性方程和非线性方程的鉴定没有明确的依据。
怎样求解非线性方程呢？接下来，本文逐一介绍。
1.1 研究背景
我们在利用数学工具对各种现象进行研究和解决问题的时候，通常都可以归结为对非线性方程的求解，即求解。
而对非线性方程的求解大多是很不容易的，因此寻找非线性方程求解的办法是数值分析之中一个重要的部分，且它在科学和工程计算的各个领域都有着普遍的应用。此时迭代法在求解非线性方程之中就不得不提了，由于它既是有效有是很方便的求解非线性方程的办法。由此可见其的重要性。
在迭代法的发展的几个世纪来说，很多相关专业的人员都对迭代法的各个方面做了研究，因而产生了许多求解非线性方程的迭代法的方法。
数值计算中非线性问题也是常常碰到的一类困难，特别是高阶非线性方程的求解题目成为了非线性科学的一个重要组成部分。
1.2 非线性方程的概述
在工程应用和科学计算几日常生活中，经常会遇到非线性方程
， （1—1）
求根的问题，当是次多项式时，称（1—1）式为代数方程否则称为超越方程；如，。对的代数方程和超越方程没有通用的根的求解公式，通常用数值分析的方法做近似计算。
方程的根也称为函数的零点，若
，且， （1—2）
其中为正整数。当时称为方程的单根；当时称为方程的重根，此时有
。 （1—3）
第二章 不动点迭代法与收敛性
2.1 不动点迭代法
将非线性方程改写成其等价形式
， （2—1）
并且假设是连续函数，此时我们任取一个初始近似值，将它代入（2—1）式的右端，即可求得，按照上面的方法进行下去，设当前点为，由计算出，即
， （2—2）
称为迭代函数，称上述的迭代公式（2—2）是不动点迭代法，（也称为简单迭代法或逐次迭代法）。若式（2—2）产生序列，当连续，且序列收敛于时，有
，
即有，所以是方程的根。
例 2.1 用不动点迭代法，求方程。
解：将原方程改为其等价方程，其中有两个等价方程分别为：
（1）方程1:,若取初值，由迭代法（2—2）得
明显迭代法是发散的。
（2）方程2: ，仍取初值
，
以此类推，得到
，
此时已收敛，故原方程的解为：。
从例2.1的计算结果可知，不同的迭代公式，其迭代序列的收敛情况将会有很大的差异；可能呈现出发散或无意义的情况，就算是收敛的，其收敛的速度也是不同的。为使迭代序列收敛，且有一个较快的速度，迭代公式的选取是非常重要的。
2.2 收敛性
用不动点迭代法求解非线性方程的关键在于适当构造迭代公式，不同的迭代公式收敛的速度不同，有些可能发散。
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