积分思想在立体体积计算中的应用(附件)【字数：7605】
摘 要摘 要计算空间立体体积是实际中经常遇到的问题.当立体由平面围成时，用初等数学方法可求得其体积.当立体不是由平面围成，而是由平面与曲面甚至是由曲面和曲面围成时，初等数学就无能为力了.计算空间立体的体积这正是高等数学积分法在几何上的应用.计算的关键是将体积正确表示为定积分或重积分.定积分的主要思想是用近似的方法获得微元的表示，然后用积分获得精确值.合理选取积分元素是运用定积分元素法解决问题的关键.考虑到空间立体图形难以描绘，从而难以计算立体体积的问题.在不作出立体图形的情况下，只需要通过问题已经给出的条件得到被积函数和积分区域，再通过二重积分的几何意义计算得出空间立体的体积.关键词立体体积；定积分；二重积分；计算
目录
第一章 绪论 1
1.1 研究积分思想在立体体积计算中的目的与意义 1
1.2 定积分的概念 1
1.2.1 问题提出 1
1.2.2 定积分的定义 2
1.3 二重积分的概念 3
1.3.1 问题提出 3
第二章 定积分和重积分的性质 6
2.1 定积分 6
2.1.1 牛顿莱布尼茨公式 6
2.1.2 可积条件 7
2.1.3 定积分的性质 8
2.2 二重积分 11
2.2.1 二重积分的简单性质 11
2.2.2 二重积分的计算 12
第三章 积分思想在立体体积计算中的应用 14
3.1 定积分在立体体积计算中的应用 14
3.1.1 由平行截面面积求体积 14
3.1.2 用元素法求旋转体体积 16
3.2 二重积分在立体体积计算中的应用 18
3.2.1 一般区域上的立体体积 18
3.2.2 二重黎曼和求体积 25
3.2.3 运用傅比尼定理求体积 29
3.2.4 二重积分计算空间立体体积的简便方法 31
结论 33
致谢 34
参考文献 35
第一章 绪论
1.1研究积分思想在立体体积计算中的目的与意义
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
/> 在日常的数学学习当中，我们经常遇到空间立体体积计算的问题.当空间立体由不同的平面组成时，用简单的初等数学方法就能计算得出结果.而当立体不是由简单的平面组成，而是由较复杂的平面、曲面组成时，初等数学就不能很好的解决问题.要把空间立体的体积用积分形式准确的表示出来.这就体现出积分思想在立体体积计算当中的重要性.我们知道有时空间立体图形不好准确的描绘出来，这就增加了立体体积的计算难度.在不作出立体图形的情况下，只需要通过问题已经给出的条件得到被积函数和积分区域，再通过二重积分的几何意义计算得出空间立体的体积.
1.2 定积分的概念
1.2.1 问题提出
从下面的例子中总结得出定积分的概念.
假设质点受力的作用沿着轴从点移动到点，并假设一直平行于轴（图11）.如果为常力，那么它对质点所做的功是.这里的变力是连续依赖质点所在的位置的坐标，是连续函数，下面讨论这时对质点所做的功.
/
图11
由是一个连续函数，所以在很小的位移区间上可以大概地看成一个常量.把分割成个小的区间；并在每个小的区间上随意取一个点，就有.
从而，质点由位移到时，力做的功就近似等于，于是
. （1－1）
同样的，对作更多的分割时，如果（1－1）式右边的和式与一个常数无限的接近，那么我们就把这个常数定义为变力所做的功.
这个例子所求的结果可以归结为和式逼近这一特殊形式.在许许多多的数学问题中还有很多类似形式的问题，解决这种问题的步骤方法就是“分割，近似求和，取极限”.这就是定积分概念产生的背景.
1.2.2 定积分的定义
定义1 假设闭区间上有个点，分别是
，
它们把分成个小区间.这些分割点形成对的一个简单的分割，我们把它记作
或，
小区间的长度为，并且记
称为分割的模.
注:因为，所以可以用来反映出被分割的细密程度.另外，分割一旦确定，也就确定了；需要注意的是具有同样细度的分割有无穷多.
定义2 假设是定义在上的一个函数.对于的一个分割，任意选取点，并且作和式
.
我们称这个和式就是函数在上的一个积分和，也把它称作黎曼和.
显而易见，积分和既和分割有关系，也和所选取的点集有关系.
定积分作为积分和的极限，它的值只和被积函数和积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关.
1.3 二重积分的概念
1.3.1 问题提出
平面图形是有界的意思是，构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，也就是存在一个矩形，使得.
假设是一个平面有界图形，用一个和坐标轴平行的一组直线网分割这个图形（图12）.这个时候直线网的网眼——小闭矩形可分为三类：（1）上的点都是的内点，(2)上的点都是的外点，也就是，（3）上含有的边界点.
/
图12
我们将所有属于直线网的第（1）类小矩形（图12中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为，则有（这里表示包含的那个矩形的面积）；把第（1）类和第（3）类小矩形的面积加起来，把这个和数记作，就有.
数集有上确界，数集有下确界，记
, .
通常称为的内面积，为的外面积.
定义3 如果平面图形的内面积和它的外面积相等，就称是可求面积，并把它们的共同值称为的面积.
定理1.1 平面有界图形可求面积的充要条件是：总是存在直线网，对任意给出的，有
. （1－2）
证明 （必要性）假设平面有界图形的面积为.由定义3，有，对任给的，有及的定义知道，分别存在直线网与，使得
目录
第一章 绪论 1
1.1 研究积分思想在立体体积计算中的目的与意义 1
1.2 定积分的概念 1
1.2.1 问题提出 1
1.2.2 定积分的定义 2
1.3 二重积分的概念 3
1.3.1 问题提出 3
第二章 定积分和重积分的性质 6
2.1 定积分 6
2.1.1 牛顿莱布尼茨公式 6
2.1.2 可积条件 7
2.1.3 定积分的性质 8
2.2 二重积分 11
2.2.1 二重积分的简单性质 11
2.2.2 二重积分的计算 12
第三章 积分思想在立体体积计算中的应用 14
3.1 定积分在立体体积计算中的应用 14
3.1.1 由平行截面面积求体积 14
3.1.2 用元素法求旋转体体积 16
3.2 二重积分在立体体积计算中的应用 18
3.2.1 一般区域上的立体体积 18
3.2.2 二重黎曼和求体积 25
3.2.3 运用傅比尼定理求体积 29
3.2.4 二重积分计算空间立体体积的简便方法 31
结论 33
致谢 34
参考文献 35
第一章 绪论
1.1研究积分思想在立体体积计算中的目的与意义
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
/> 在日常的数学学习当中，我们经常遇到空间立体体积计算的问题.当空间立体由不同的平面组成时，用简单的初等数学方法就能计算得出结果.而当立体不是由简单的平面组成，而是由较复杂的平面、曲面组成时，初等数学就不能很好的解决问题.要把空间立体的体积用积分形式准确的表示出来.这就体现出积分思想在立体体积计算当中的重要性.我们知道有时空间立体图形不好准确的描绘出来，这就增加了立体体积的计算难度.在不作出立体图形的情况下，只需要通过问题已经给出的条件得到被积函数和积分区域，再通过二重积分的几何意义计算得出空间立体的体积.
1.2 定积分的概念
1.2.1 问题提出
从下面的例子中总结得出定积分的概念.
假设质点受力的作用沿着轴从点移动到点，并假设一直平行于轴（图11）.如果为常力，那么它对质点所做的功是.这里的变力是连续依赖质点所在的位置的坐标，是连续函数，下面讨论这时对质点所做的功.
/
图11
由是一个连续函数，所以在很小的位移区间上可以大概地看成一个常量.把分割成个小的区间；并在每个小的区间上随意取一个点，就有.
从而，质点由位移到时，力做的功就近似等于，于是
. （1－1）
同样的，对作更多的分割时，如果（1－1）式右边的和式与一个常数无限的接近，那么我们就把这个常数定义为变力所做的功.
这个例子所求的结果可以归结为和式逼近这一特殊形式.在许许多多的数学问题中还有很多类似形式的问题，解决这种问题的步骤方法就是“分割，近似求和，取极限”.这就是定积分概念产生的背景.
1.2.2 定积分的定义
定义1 假设闭区间上有个点，分别是
，
它们把分成个小区间.这些分割点形成对的一个简单的分割，我们把它记作
或，
小区间的长度为，并且记
称为分割的模.
注:因为，所以可以用来反映出被分割的细密程度.另外，分割一旦确定，也就确定了；需要注意的是具有同样细度的分割有无穷多.
定义2 假设是定义在上的一个函数.对于的一个分割，任意选取点，并且作和式
.
我们称这个和式就是函数在上的一个积分和，也把它称作黎曼和.
显而易见，积分和既和分割有关系，也和所选取的点集有关系.
定积分作为积分和的极限，它的值只和被积函数和积分区间有关，而与积分变量所用的符号无关.
1.3 二重积分的概念
1.3.1 问题提出
平面图形是有界的意思是，构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，也就是存在一个矩形，使得.
假设是一个平面有界图形，用一个和坐标轴平行的一组直线网分割这个图形（图12）.这个时候直线网的网眼——小闭矩形可分为三类：（1）上的点都是的内点，(2)上的点都是的外点，也就是，（3）上含有的边界点.
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图12
我们将所有属于直线网的第（1）类小矩形（图12中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为，则有（这里表示包含的那个矩形的面积）；把第（1）类和第（3）类小矩形的面积加起来，把这个和数记作，就有.
数集有上确界，数集有下确界，记
, .
通常称为的内面积，为的外面积.
定义3 如果平面图形的内面积和它的外面积相等，就称是可求面积，并把它们的共同值称为的面积.
定理1.1 平面有界图形可求面积的充要条件是：总是存在直线网，对任意给出的，有
. （1－2）
证明 （必要性）假设平面有界图形的面积为.由定义3，有，对任给的，有及的定义知道，分别存在直线网与，使得
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