非线性方程组的几种数值解法severalnumericalsolutionsofnonlinearequations(附
摘 要摘 要 很多领域都有涉及到非线性方程组，例如天气预报，石油地质勘探，电力系统计算等，甚至商业领域也有非线性优化问题，这些问题要从本质上解决就是求出非线性方程组的解.但是目前已知的数值解法并不完善，选择不同的方法，有着不同的收敛速度和计算量，而收敛速度和计算量影响着计算效率，所以数值解法的研究十分重要.本篇论文首先简单介绍了非线性方程组的几种经典数值解法，如Newton法、区间迭代法、不动点迭代法等，并通过几个数值例子，对一些经典的迭代型数值解法在收敛速度、计算量等方面进行对比分析，得出这些算法的优缺点，并研究了Newton法的改进算法.然后研究了同伦延拓法，最后给出了基于单纯形法的萤火虫算法及改进遗传算法来求解非线性方程组.关键词Newton法；区间迭代法；不动点迭代法；遗传算法；延拓法
目录
第一章 绪论 1
1.1 选题背景和意义 1
1.2 研究现状 1
1.3 本文研究的主要内容 1
第二章 几种迭代法的分析及改进 2
2.1 牛顿型迭代法 3
2.1.1 牛顿法简介 3
2.1.2 三种牛顿法的比较 5
2.1.3 九阶牛顿型迭代法 12
2.2 区间迭代法简介 17
2.2.1 区间与区间运算定义 17
2.2.2 区间运算 17
2.2.3 区间向量 18
2.2.4 区间迭代法 18
2.3不动点迭代法 19
2.4 迭代型数值解法小结 21
2.4.1实例分析 21
2.4.2总结 22
第三章 同伦延拓法及延拓法 23
3.1延拓法及同伦延拓法 23
3.2 实例 27
3.3小结 27
第四章 几种数值解法的改进及应用推广 28
4.1单纯形法的改进及应用推广 28
4.1.1基本萤火虫算法（FA） 28
4.1.2单纯形法策略 29
4.1.3基于单纯形法的萤火虫算法(SMFA) 29
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/> 4.1.4 基于单纯形法的萤火虫算法 30
4.1.5仿真实验 30
4.1.5小结 31
4.2遗传迭代法的改进及应用推广 31
4.2.1遗传算法简介 31
4.2.2遗传算法的基本步骤 32
4.2.4改进遗传算法 32
结 论 34
致 谢 35
参 考 文 献 36 第一章 绪论
1.1 选题背景和意义
自然科学、社会科学等领域的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题.但是，目前已知的大多数数值方法无法求出非线性方程组的精确解，只能得到近似解，甚至是无法求解.解非线性方程组的数值解有很多的经典方法，随着科学研究的不断深入，虽然科研工作者给出了很多的改进方法如改进型的迭代法，改进型的同伦延拓法，改进型的单纯形法等，但是依旧达不到实际应用的要求.另一方面，求非线性方程组的解，还具有解决现实生活问题的重要意义，故对非线性方程组的数值解法的研究具有十分重要的意义.
1.2 研究现状
目前为止，对非线性方程组的数值解法研究已经较为深入，如迭代法已经出现各种变型方法，一些简单的问题如局部收敛影响数值解的精确度等已经解决.对于计算量大，给出领域大的非线性方程组，同伦延拓法较其它方法更有优势，计算量小，易懂，所以在遇到实际问题时，运用较多的还是同伦延拓法.随着科学技术的发展，利用改进型方法研究“如何确定非线性方程组的全部解”将是一个新的研究方向，尽管关于非线性方程组数值解法的理论在不断发展，实验也在如火如荼的进行，但在应用上还没有充分发挥作用，因此研究具有高效率的数值方法是一个较有意义的课题.
1.3 本文研究的主要内容
本文将在经典数值解法的介绍和已有几种数值解法分析的基础上，在效率上对几种方法提出改进以及运用单纯形法对萤火虫算法进行改进.
第一章是分析非线性方程组数值解法的研究前景与实际意义，概括非线性方程组数值解法的研究现状.
第二章是介绍几种非线性方程组的迭代型数值解法，以及提出一些改进型迭代法.
第三章是延拓法及同伦延拓法的简介.
第四章是探讨几种非线性方程组数值解法的改进和应用推广，总结并展望.
第二章 几种迭代法的分析及改进
n个变量和n个方程组成的非线性方程组如下：
（21）
其中是定义在维Euclid空间中开域上的实值函数，以向量标记[3]，令：
则方程（21）也可以表示为：
（22）
其中
若存在，使则称为方程组（21）的解[3].
下面是即将用到的雅克比矩阵
（23）
牛顿法是求解如（21）这样的非线性方程组的最基本而且最重要的方法，这里将介绍几种经典解法，首先是牛顿法.
2.1 牛顿型迭代法
2.1.1 牛顿法简介
牛顿法最初由艾萨克牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中发布.而事实上此方法已经由Joseph Raphson于1690年在“Analysis Aequationum”中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了[12].
对如式（21）的非线性方程组求解的牛顿法，首先将非线性映象逐步线性化，迭代一次，获取一个线性方程，然后求其解，如上迭代法称为线性化方法.首先我们分析一维非线性方程，然后 由其推广到维非线性方程组.
目录
第一章 绪论 1
1.1 选题背景和意义 1
1.2 研究现状 1
1.3 本文研究的主要内容 1
第二章 几种迭代法的分析及改进 2
2.1 牛顿型迭代法 3
2.1.1 牛顿法简介 3
2.1.2 三种牛顿法的比较 5
2.1.3 九阶牛顿型迭代法 12
2.2 区间迭代法简介 17
2.2.1 区间与区间运算定义 17
2.2.2 区间运算 17
2.2.3 区间向量 18
2.2.4 区间迭代法 18
2.3不动点迭代法 19
2.4 迭代型数值解法小结 21
2.4.1实例分析 21
2.4.2总结 22
第三章 同伦延拓法及延拓法 23
3.1延拓法及同伦延拓法 23
3.2 实例 27
3.3小结 27
第四章 几种数值解法的改进及应用推广 28
4.1单纯形法的改进及应用推广 28
4.1.1基本萤火虫算法（FA） 28
4.1.2单纯形法策略 29
4.1.3基于单纯形法的萤火虫算法(SMFA) 29
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4.1.5仿真实验 30
4.1.5小结 31
4.2遗传迭代法的改进及应用推广 31
4.2.1遗传算法简介 31
4.2.2遗传算法的基本步骤 32
4.2.4改进遗传算法 32
结 论 34
致 谢 35
参 考 文 献 36 第一章 绪论
1.1 选题背景和意义
自然科学、社会科学等领域的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题.但是，目前已知的大多数数值方法无法求出非线性方程组的精确解，只能得到近似解，甚至是无法求解.解非线性方程组的数值解有很多的经典方法，随着科学研究的不断深入，虽然科研工作者给出了很多的改进方法如改进型的迭代法，改进型的同伦延拓法，改进型的单纯形法等，但是依旧达不到实际应用的要求.另一方面，求非线性方程组的解，还具有解决现实生活问题的重要意义，故对非线性方程组的数值解法的研究具有十分重要的意义.
1.2 研究现状
目前为止，对非线性方程组的数值解法研究已经较为深入，如迭代法已经出现各种变型方法，一些简单的问题如局部收敛影响数值解的精确度等已经解决.对于计算量大，给出领域大的非线性方程组，同伦延拓法较其它方法更有优势，计算量小，易懂，所以在遇到实际问题时，运用较多的还是同伦延拓法.随着科学技术的发展，利用改进型方法研究“如何确定非线性方程组的全部解”将是一个新的研究方向，尽管关于非线性方程组数值解法的理论在不断发展，实验也在如火如荼的进行，但在应用上还没有充分发挥作用，因此研究具有高效率的数值方法是一个较有意义的课题.
1.3 本文研究的主要内容
本文将在经典数值解法的介绍和已有几种数值解法分析的基础上，在效率上对几种方法提出改进以及运用单纯形法对萤火虫算法进行改进.
第一章是分析非线性方程组数值解法的研究前景与实际意义，概括非线性方程组数值解法的研究现状.
第二章是介绍几种非线性方程组的迭代型数值解法，以及提出一些改进型迭代法.
第三章是延拓法及同伦延拓法的简介.
第四章是探讨几种非线性方程组数值解法的改进和应用推广，总结并展望.
第二章 几种迭代法的分析及改进
n个变量和n个方程组成的非线性方程组如下：
（21）
其中是定义在维Euclid空间中开域上的实值函数，以向量标记[3]，令：
则方程（21）也可以表示为：
（22）
其中
若存在，使则称为方程组（21）的解[3].
下面是即将用到的雅克比矩阵
（23）
牛顿法是求解如（21）这样的非线性方程组的最基本而且最重要的方法，这里将介绍几种经典解法，首先是牛顿法.
2.1 牛顿型迭代法
2.1.1 牛顿法简介
牛顿法最初由艾萨克牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中发布.而事实上此方法已经由Joseph Raphson于1690年在“Analysis Aequationum”中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了[12].
对如式（21）的非线性方程组求解的牛顿法，首先将非线性映象逐步线性化，迭代一次，获取一个线性方程，然后求其解，如上迭代法称为线性化方法.首先我们分析一维非线性方程，然后 由其推广到维非线性方程组.
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