分数阶fourier变换基本性质的探究
在本篇结业论文之中主要探究与分数阶Fourier变换有关的概念以及性质，而在描述其性质之前，首先简单描述了传统以及分数阶Fourier变换的发展进程以及探究背景。继而描述了与传统Fourier变换有关的性质，而且对其主要的几个性质进行了数值验证，即验证其性质的正确性。接着描述了它的局限性，与此同时为引出分数阶Fourier变换做出了铺垫。同样，在描述分数阶Fourier变换的时候，也对其性质以及运算特性作出了数值验证。除此之外，在本篇结业论文之中还对两种变换的逆变换作出了比较。最后，比较了两种变换对同一信号的分解能力，并给出了与此有关的结论。关键词 分数阶Fourier变换，Fourier变换，数值实验
目 录
1 引言 1
2 快速Fourier变换的MATLAB实现 4
3 传统Fourier变换 4
3．1 传统Fourier变换的定义 5
3．2 传统Fourier变换的性质 5
3．3 传统Fourier变换的局限性 13
4 分数阶Fourier变换 14
4．1 分数阶Fourier变换的定义 14
4．2 分数阶Fourier变换的性质 15
4．3 分数阶Fourier变换运算的性质 20
4．4 分数阶Fourier变换计算的分解结构图 24
5 Fourier变换及其逆变换的比较 24
5．1 传统Fourier变换及其逆变换 24
5．2 分数阶Fourier变换及其逆变换 25
6 数值实验 26
6．1 啁啾信号 26
6．2 数值比较 26
6．3 两者数值实验的比较 28
结论 29
致谢 30
参考文献 31
附录 32
1 引言
传统Fourier变换也称为Fourier Transform，简称为FT，它是一种基表示的方式。来自法国的学者J.Fourier（1807年）为了求解出与热传导有关的方程，第一次揭示出传统Fourier变换。发展至今 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: @351916072@
，传统Fourier变换无论是在工程的运用之中，还是在科学的探究之中，都扮演着十分必要的角色，并逐渐成为基础的、有效的分析工具。然而在发展的同时，传统Fourier变换的局限性也逐渐暴露于某些特定的场合以及特殊的应用之中，经过专家研究得出：传统Fourier变换对剖析变动较为平稳的信号更具有优势，但在研究非平稳信号中表现不足。此外，传统Fourier变换和逆变换都不能在时频域上反映出信号的局部变化，即传统Fourier变换缺少时间以及频率的部分分析性能。与此同时，传统Fourier变换在信号的表示或分解中存在者一些分辨率的问题，而分辨率的好坏则取决于信号的表示或分解的基函数的特点，也就是说，传统Fourier变换在检查、测试微弱信号上具有局限性。
分数阶Fourier变换由V.Namias、A.C.McBride、F.H.Kerr等（1980年）提出，
后人常说，分数阶Fourier变换是在他们的研究成果中得以进一步发展起来的新型信号变换，然而分数阶Fourier变换最先能够追溯到N.Wiener（1929年）的研究工作[1]。
1993年之后，分数阶Fourier变换的理论发展迅速，而其发展期间大致可分成以下三个阶段：
第一个阶段为早期准备阶段。N.Wiener（1929）为求出常微分和偏微分的方程，才获取出分数阶Fourier变换的特征值，然而当时并没有出现这一说法。20世纪30年代后，与它相关的探究方向才逐步产生，从而更加深入的创立起与之相关的理论基础[2]。
这一阶段的特点是不同领域的研究学者单独地利用不同的方式方法或者理论从不同的角度得出彼此等价却形式不同的分数阶Fourier变换的定义。
总的来说，1929年至1980年分数阶Fourier变换虽然处于研究与发展的早期，但是并未受到世人的过多关注。
第二个阶段为理论成长阶段。D.Mendlovic以及H.M.Ozaktas（1933年）提出了与分数阶卷积的有关概念，A.W.Lohmann提出了分数阶Fourier变换与WignerVille分布时频平面之间的联系[2]。
L.B.Almeida（1994年）提出了与分数阶Fourier变换有关的性质，与此同时，总结了分数阶Fourier变换与模糊函数、谱图等传统的时频分析工具之间的联系[2]。
总的来说，在这一阶段，分数阶Fourier变换由于其强大的分析能力而逐渐受到世人的关注。
第三个阶段为理论体系进一步发展阶段。R.Tao（2010年）等提出了与短时分数阶Fourier变换（ShortTime Fractional Fourier Transform，STFRFT）有关的定义，并且提出了新的分析方法，也就是联合时频分数域的分析方法。
总的来说，这一阶段还在继续，而且它的探究也仍然在继续，让我们共同期待众多学者为其增添新的活力。
接下来我将简单介绍一下五篇论文，介绍前人与之有关的研究方向以及研究成果：
第一篇文章来自于：Yerin Yoo．fourier_analysis[1]．2001。在此篇文章中，作者Yerin Yoo着重介绍了复数的有关知识以及复数的公式表达，并说明了在与Fourier变换相关的公式中，复数通常以欧拉公式的形式表示出来。其次，作者还描述了与Fourier有关的概念，以及离散Fourier、快速Fourier、与Fourier有关的应用、Fourier变换的描述符和Fourier描述符的相关应用。
总的来说，作者Yerin Yoo并未给读者作出任何的数值验证实例，而是选择从最基础的地方谈起，介绍与Fourier变换有关的基础知识。在本人看来，作者虽然并未给出深入的探究成果，但他的文章却是初学者的福音。而作者Yerin Yoo的研究意义在于将有关Fourier变换的知识简单化、明了化，并略微描述了与Fourier变换相关的基础知识，使得对Fourier变换一无所知的读者能够初步了解Fourier变换。
目 录
1 引言 1
2 快速Fourier变换的MATLAB实现 4
3 传统Fourier变换 4
3．1 传统Fourier变换的定义 5
3．2 传统Fourier变换的性质 5
3．3 传统Fourier变换的局限性 13
4 分数阶Fourier变换 14
4．1 分数阶Fourier变换的定义 14
4．2 分数阶Fourier变换的性质 15
4．3 分数阶Fourier变换运算的性质 20
4．4 分数阶Fourier变换计算的分解结构图 24
5 Fourier变换及其逆变换的比较 24
5．1 传统Fourier变换及其逆变换 24
5．2 分数阶Fourier变换及其逆变换 25
6 数值实验 26
6．1 啁啾信号 26
6．2 数值比较 26
6．3 两者数值实验的比较 28
结论 29
致谢 30
参考文献 31
附录 32
1 引言
传统Fourier变换也称为Fourier Transform，简称为FT，它是一种基表示的方式。来自法国的学者J.Fourier（1807年）为了求解出与热传导有关的方程，第一次揭示出传统Fourier变换。发展至今 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: @351916072@
，传统Fourier变换无论是在工程的运用之中，还是在科学的探究之中，都扮演着十分必要的角色，并逐渐成为基础的、有效的分析工具。然而在发展的同时，传统Fourier变换的局限性也逐渐暴露于某些特定的场合以及特殊的应用之中，经过专家研究得出：传统Fourier变换对剖析变动较为平稳的信号更具有优势，但在研究非平稳信号中表现不足。此外，传统Fourier变换和逆变换都不能在时频域上反映出信号的局部变化，即传统Fourier变换缺少时间以及频率的部分分析性能。与此同时，传统Fourier变换在信号的表示或分解中存在者一些分辨率的问题，而分辨率的好坏则取决于信号的表示或分解的基函数的特点，也就是说，传统Fourier变换在检查、测试微弱信号上具有局限性。
分数阶Fourier变换由V.Namias、A.C.McBride、F.H.Kerr等（1980年）提出，
后人常说，分数阶Fourier变换是在他们的研究成果中得以进一步发展起来的新型信号变换，然而分数阶Fourier变换最先能够追溯到N.Wiener（1929年）的研究工作[1]。
1993年之后，分数阶Fourier变换的理论发展迅速，而其发展期间大致可分成以下三个阶段：
第一个阶段为早期准备阶段。N.Wiener（1929）为求出常微分和偏微分的方程，才获取出分数阶Fourier变换的特征值，然而当时并没有出现这一说法。20世纪30年代后，与它相关的探究方向才逐步产生，从而更加深入的创立起与之相关的理论基础[2]。
这一阶段的特点是不同领域的研究学者单独地利用不同的方式方法或者理论从不同的角度得出彼此等价却形式不同的分数阶Fourier变换的定义。
总的来说，1929年至1980年分数阶Fourier变换虽然处于研究与发展的早期，但是并未受到世人的过多关注。
第二个阶段为理论成长阶段。D.Mendlovic以及H.M.Ozaktas（1933年）提出了与分数阶卷积的有关概念，A.W.Lohmann提出了分数阶Fourier变换与WignerVille分布时频平面之间的联系[2]。
L.B.Almeida（1994年）提出了与分数阶Fourier变换有关的性质，与此同时，总结了分数阶Fourier变换与模糊函数、谱图等传统的时频分析工具之间的联系[2]。
总的来说，在这一阶段，分数阶Fourier变换由于其强大的分析能力而逐渐受到世人的关注。
第三个阶段为理论体系进一步发展阶段。R.Tao（2010年）等提出了与短时分数阶Fourier变换（ShortTime Fractional Fourier Transform，STFRFT）有关的定义，并且提出了新的分析方法，也就是联合时频分数域的分析方法。
总的来说，这一阶段还在继续，而且它的探究也仍然在继续，让我们共同期待众多学者为其增添新的活力。
接下来我将简单介绍一下五篇论文，介绍前人与之有关的研究方向以及研究成果：
第一篇文章来自于：Yerin Yoo．fourier_analysis[1]．2001。在此篇文章中，作者Yerin Yoo着重介绍了复数的有关知识以及复数的公式表达，并说明了在与Fourier变换相关的公式中，复数通常以欧拉公式的形式表示出来。其次，作者还描述了与Fourier有关的概念，以及离散Fourier、快速Fourier、与Fourier有关的应用、Fourier变换的描述符和Fourier描述符的相关应用。
总的来说，作者Yerin Yoo并未给读者作出任何的数值验证实例，而是选择从最基础的地方谈起，介绍与Fourier变换有关的基础知识。在本人看来，作者虽然并未给出深入的探究成果，但他的文章却是初学者的福音。而作者Yerin Yoo的研究意义在于将有关Fourier变换的知识简单化、明了化，并略微描述了与Fourier变换相关的基础知识，使得对Fourier变换一无所知的读者能够初步了解Fourier变换。
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