计算机模拟蒲丰投针(附件)【字数：8314】
摘 要蒲丰投针问题是第一个用几何形式表达概率问题的例子。据说它是蒙特卡罗方法的先驱，这是一种全新的方法，使用随机数来处理确定性问题。蒙特卡罗方法的基本原则是大数定律。为了阐明这一新思想，本文从实验安排，数学推导及其应用的角度对蒲丰投针问题进行了简要介绍。估计无理数和定积分的例子也被用来作为这个有前途和强大的新技术的额外例证。论文中的三个模拟实验和产生的随机序列都是通过MATLAB的编程语言编程实现的。最后给出了随机数和伪随机数的简要讨论。
目 录
第一章 绪论 1
1.1课题研究背景 1
1.2π的发展史简介 1
1.3课题研究方案 2
第二章 蒲丰投针模型及MATLAB 3
2.1蒲丰投针模型 3
2.2 MATLAB软件介绍 4
2.2.1 MATLAB的优点 5
2.2.1 MATLAB获得随机数 6
第三章 MATLAB模拟蒲丰投针实验设计 7
3.1 MATLAB模拟蒲丰投针设计 7
3.1.1 投针编程思路 7
3.1.2 蒲丰投针思想分析 8
3.2 蒲丰投针思想运用 9
3.2.1 计算无理数 9
3.2.2 计算曲线下的面积 11
第三章 伪随机数讨论 13
4.1 伪随机数 13
4.2 伪随机数的应用 13
第四章 分析与总结 15
结束语 16
致 谢 17
参考文献 18
附 录 19
附录A：蒲丰投针代码 19
附录B：蒙特卡罗方法算π 20
附录C：曲线下面积 21
附录D:MATLAB产生随机序列 22
绪论
1.1课题研究背景
蒲丰投针是18世纪法国科学家蒲丰在做大数实验时偶然发现的，实验有利结果与总次数的比值是一个和π有关的值。他的实验对当时产生了很大的影响，展现了集合概率的特征，给了人们处理概率的方法,对很多学科问题的研究起到了重要的作用。
本课题的实验据说是蒙特 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
卡罗方法的起源。蒙特?卡罗方法是以概率论、微积分等学科为基础，而提出的一种数值计算方法。当实验次数越多，它的计算方法也就越准确，对于整个系统的误差也就越小，其理论基础就是概率论中的大数定理和中心极限定理。蒙特卡罗方法可以解决其他数值方法不能解决的问题，是一种随机模拟方法，当普通数值无法求解得情况下运用算法得到问题的模型通过软件得到大量结果，以解决实际问题，是当今科学技术研究领域的重要方法之一。
通过蒲丰投针实验可以告诉证明随机性与必然性之间是存在联系的，事件的可预测性以及非相关性。它的思想被广泛地应用到统计监测、生物实验、医学风险评估等领域。
1.2π的发展史简介
2000对年前我国科学家发现了圆的周长是直径的倍多，魏晋时刘徽用割圆术算出了π3.14的值。公元前3世纪古希腊阿基米德也发现割圆术内接正多边形越多越接近圆得到圆周率介于和之间。我国古时的祖冲之算出了π在3.1415926到3.1315927之间，领先了当时约1000年，展现了我国当时科学研究处于世界领先水平。
正多边形逼近圆的计算量很大，想有新的突破，需寻求新的方法，蒲丰做投针实验时，惊奇地发现了，当有利次数和总次数的比值是一个与π有关的数，发表出来后引起了当时很大的轰动。在纸上画一组平行线，取平行线的间距为 a，拿一根长度为 l的针，去随机地扔在一组平行线中，计算针与线相交的次数，然后相交的次数与总次数的比值，他惊奇的发现这个数是与π有关。之后也有许多人做了蒲丰投针实验，得出了和蒲丰相同的结论，验证了实验的正确性。蒲丰投针计算π的方法不是它的算法有多先进，而是它展示了，统计学，随机数等学科之间是有联系的。
21世纪计算机的能力得到了极大的提升，人们获得随机数的方法更加简单准确可选择的模拟软件也更多，π也被精确到数亿位，计算机得到π的位数也被看为计算机性能的指标之一。
1.3课题研究方案
本文用计算机模拟蒲丰投针实验,使用了MATLAB软件。首先要理解论文中用到的基础知识包括蒙特卡罗方法，伯努利大数定律，蒲丰投针的物理模型，数学公式推导一般表达式，伪随机数的概念，软件的使用等。然后在纸上画出大概的模拟图纸，运用微积分求得蒲丰投针的公式，用MATLAB根据一般公式编写程序。最后Matalab模拟出蒲丰投针实验，进行多次不同次数的模拟进行比较，并用获取的数据在图上显示模拟出投针过程。
蒲丰投针模型及MATLAB
2.1蒲丰投针模型
如图21平面上画着一些平行线，他们间隔为（>0），现在找一个针长度为,针长不大于地板间隔()往平面上扔,针随机地掉落在平面上。观察针与任意一条线相交的有利次数,总次数为,那么相交概率。
图21 蒲丰投针模型
投针试验所有可能的结果：
式（21）
以R表示边长为与π的长方形。针与平行线相交当且仅当
式（22）
设R中满足这个关系式的区域为g，即图22中阴影部分，故由几何概率定义，所求概率为：
图22 可能结果的矩形区域
式（23）
在中，表示针与平行线相交的概率。当与值固定时，就只依赖于，可以通过重复向平面内投针求得，如果投N次中有k次针与平行线相交，则近视值为，由频率的稳定性，当投针的次数越多时，近似程度越好，即的近似程度越好。
目 录
第一章 绪论 1
1.1课题研究背景 1
1.2π的发展史简介 1
1.3课题研究方案 2
第二章 蒲丰投针模型及MATLAB 3
2.1蒲丰投针模型 3
2.2 MATLAB软件介绍 4
2.2.1 MATLAB的优点 5
2.2.1 MATLAB获得随机数 6
第三章 MATLAB模拟蒲丰投针实验设计 7
3.1 MATLAB模拟蒲丰投针设计 7
3.1.1 投针编程思路 7
3.1.2 蒲丰投针思想分析 8
3.2 蒲丰投针思想运用 9
3.2.1 计算无理数 9
3.2.2 计算曲线下的面积 11
第三章 伪随机数讨论 13
4.1 伪随机数 13
4.2 伪随机数的应用 13
第四章 分析与总结 15
结束语 16
致 谢 17
参考文献 18
附 录 19
附录A：蒲丰投针代码 19
附录B：蒙特卡罗方法算π 20
附录C：曲线下面积 21
附录D:MATLAB产生随机序列 22
绪论
1.1课题研究背景
蒲丰投针是18世纪法国科学家蒲丰在做大数实验时偶然发现的，实验有利结果与总次数的比值是一个和π有关的值。他的实验对当时产生了很大的影响，展现了集合概率的特征，给了人们处理概率的方法,对很多学科问题的研究起到了重要的作用。
本课题的实验据说是蒙特 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
卡罗方法的起源。蒙特?卡罗方法是以概率论、微积分等学科为基础，而提出的一种数值计算方法。当实验次数越多，它的计算方法也就越准确，对于整个系统的误差也就越小，其理论基础就是概率论中的大数定理和中心极限定理。蒙特卡罗方法可以解决其他数值方法不能解决的问题，是一种随机模拟方法，当普通数值无法求解得情况下运用算法得到问题的模型通过软件得到大量结果，以解决实际问题，是当今科学技术研究领域的重要方法之一。
通过蒲丰投针实验可以告诉证明随机性与必然性之间是存在联系的，事件的可预测性以及非相关性。它的思想被广泛地应用到统计监测、生物实验、医学风险评估等领域。
1.2π的发展史简介
2000对年前我国科学家发现了圆的周长是直径的倍多，魏晋时刘徽用割圆术算出了π3.14的值。公元前3世纪古希腊阿基米德也发现割圆术内接正多边形越多越接近圆得到圆周率介于和之间。我国古时的祖冲之算出了π在3.1415926到3.1315927之间，领先了当时约1000年，展现了我国当时科学研究处于世界领先水平。
正多边形逼近圆的计算量很大，想有新的突破，需寻求新的方法，蒲丰做投针实验时，惊奇地发现了，当有利次数和总次数的比值是一个与π有关的数，发表出来后引起了当时很大的轰动。在纸上画一组平行线，取平行线的间距为 a，拿一根长度为 l的针，去随机地扔在一组平行线中，计算针与线相交的次数，然后相交的次数与总次数的比值，他惊奇的发现这个数是与π有关。之后也有许多人做了蒲丰投针实验，得出了和蒲丰相同的结论，验证了实验的正确性。蒲丰投针计算π的方法不是它的算法有多先进，而是它展示了，统计学，随机数等学科之间是有联系的。
21世纪计算机的能力得到了极大的提升，人们获得随机数的方法更加简单准确可选择的模拟软件也更多，π也被精确到数亿位，计算机得到π的位数也被看为计算机性能的指标之一。
1.3课题研究方案
本文用计算机模拟蒲丰投针实验,使用了MATLAB软件。首先要理解论文中用到的基础知识包括蒙特卡罗方法，伯努利大数定律，蒲丰投针的物理模型，数学公式推导一般表达式，伪随机数的概念，软件的使用等。然后在纸上画出大概的模拟图纸，运用微积分求得蒲丰投针的公式，用MATLAB根据一般公式编写程序。最后Matalab模拟出蒲丰投针实验，进行多次不同次数的模拟进行比较，并用获取的数据在图上显示模拟出投针过程。
蒲丰投针模型及MATLAB
2.1蒲丰投针模型
如图21平面上画着一些平行线，他们间隔为（>0），现在找一个针长度为,针长不大于地板间隔()往平面上扔,针随机地掉落在平面上。观察针与任意一条线相交的有利次数,总次数为,那么相交概率。
图21 蒲丰投针模型
投针试验所有可能的结果：
式（21）
以R表示边长为与π的长方形。针与平行线相交当且仅当
式（22）
设R中满足这个关系式的区域为g，即图22中阴影部分，故由几何概率定义，所求概率为：
图22 可能结果的矩形区域
式（23）
在中，表示针与平行线相交的概率。当与值固定时，就只依赖于，可以通过重复向平面内投针求得，如果投N次中有k次针与平行线相交，则近视值为，由频率的稳定性，当投针的次数越多时，近似程度越好，即的近似程度越好。
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