分数阶微分器的设计
目录
第一章绪论 4
1.1 论文的研究背景 4
1.2 研究现状 4
第二章基础知识介绍 5
2.1分数阶微积分的主要思想 5
2.2 M-R序列分数阶微分的定义 6
2.3 M-R序列分数阶微分的Laplace变换 6
2.4分数阶微分的其他定义形式 7
2.5 分数阶微积分的应用 8
第三章 分数阶微分与窗函数法设计滤波器 9
3.1分数阶微分 9
3.1.1分数阶微分的算法 9
3.1.2微分对信号作用的理论分析 11
3.1.3各阶微分对信号的作用分析 12
3.1.4分数阶微分器脉冲响应的推导 13
3.2 窗函数法设计FIR滤波器 16
3.2.1 窗函数的选择 16
第四章 分数阶微分器的设计 17
4.1 分数阶微分器的程序及matlab仿真 17
第五章 总结 27
致谢 28
参考文献 28
附录 29
第一章 绪论
1.1 论文的研究背景
我们所熟悉的古典微积分中，微分的阶数和积分的次数都是整数，然而今天我们所说的分数阶微积分，它的阶数和次数是实数，他是我们所知的古典微积分的延伸。
下面我们来看看分数阶微积分的历史。人们第一次提出分数阶微积分是在十七世纪末，在这一个时期，数学家们经常把它与古典微积分比较，他们试图找到以任意数为阶数和次数的微积分并把它定义出来。1695年九月，洛必达（L’Hospital）在发给莱布尼茨的著名的信中写道：“一个简单的线性函数f（x）= X，如果整数的函数导数的数量是分数那会发生什么情况。”这是人们普遍认为分数阶微分第一被提及的时候。根据文献资料所述[1]，一些早期的科学家如欧拉，拉格朗日等，早已经有过对分数阶微积分的研究，只是这种研究没有成功，但是他的研究思想是确实可行的。然而，分数阶微积分的研究在接下来的一百年里就是一个空白期，尽管人们知道有这样的东西，但是都没能做出什么贡献出来。一直到
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中写道：“一个简单的线性函数f（x）= X，如果整数的函数导数的数量是分数那会发生什么情况。”这是人们普遍认为分数阶微分第一被提及的时候。根据文献资料所述[1]，一些早期的科学家如欧拉，拉格朗日等，早已经有过对分数阶微积分的研究，只是这种研究没有成功，但是他的研究思想是确实可行的。然而，分数阶微积分的研究在接下来的一百年里就是一个空白期，尽管人们知道有这样的东西，但是都没能做出什么贡献出来。一直到十九世纪初期，一个叫刘维尔的数学家成功的给出分数阶微积分定义。他所给定义解决了人们一些很重要的问题，如困难的势理论问题。因此刘维尔被人们称作分数阶微积分的真正的创始人。在这一个时期，关于分数阶微积分的研究越来越火，特别是在1974年，Oldham与Spanier发表对分数阶微积分理论的第一部专著。国家也对分数阶微积分的研究有着很大的支持。
分数阶微积分的研究虽然有着突破性的发展，但是大多数人对它还是所知不多，而且现在所有的数学课程都没有关于它的概念。虽然人们所知不多，但由于分数阶微积分的应用越来越广泛，国内外的研究者们对它也有着极大的热情。由于分数阶微分算法的不成熟，使得它在实际的工程运用中有着很多的障碍。关于完善其算法的研究越来越迫切了。
1.2 研究现状
关于分数阶微积分到现在它还没有完善统一的定义，在数学上他的意义一直很模糊。在数值运算方面，分数阶微积分的运算还十分的不成熟，现在主要的问题如下：
算法太少，人们现在常用的算法只有有限差分法和有限元法，这对于我们研究来说是远远不够用的。
由于分数阶微分的深度，关于它的算法软件特别的少，严重的拖了应用的后腿。
数值计算上还有很多难题没有得到解决，如时间和空间域上的问题。
这些问题需要人们的关注，这些问题使得分数阶微积分的应用难以更近一步，特别是关于计算软件的开发必须要跟上应用的脚步。分数阶微积分的理论也需要人们进一步完善。
第二章 基础知识介绍
随着计算机技术的不断发展，分数阶微分在信息领域中不断地发展，目前分数阶微积分运算凭借着其强大的优越性和发展潜能被应用在信息科学中，并给其带来了突破性的研究。
本章首先从整数阶微积分的理论开始介绍，并由其推导出分数阶微分，并给出了分数阶微积分的定义和计算方法。
2.1分数阶微积分的主要思想
图2.1分数阶微积分平面图
如上图所示，我们可以看出，把整数阶微积分的概念慢慢推广到实数轴以至于复平面上就是分数阶微积分的主要思想。在不同的应用条件和需求下，研究人员结合实际需要给出了不同的分数阶微积分的定义。然而这些定义具有局限性只能在特定的条件下使用，所以迄今为止，分数阶微积分仍然没有一个满足各种条件的定义，这给我们研究分数阶微分带来了很大的困难[3]。
2.2M-R序列分数阶微分的定义
由于人们的需求，我们尝试给出一个统一的分数微积分的表达形式。
分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，这些方法的最终目的就是把其中的整数n改为非整数的p，即：
从另一个方向上看，n阶的微分可以看作微分一次次的叠加：
（2.1）
由此，一个在我们生活中用的越来越多也很重要的推广公式就出现了。首先，我们假设有一种合适的方法来把一阶的微分推到为（）阶微分，即是可实现的。我们就可以将（1）式近似为一下公式：
（2.2）
和首先发现了这样的一种推广方式，这个里面是用分数阶微分定义来说明的，他们把这个称作序列分数阶微分。这种序列分数阶微分能够用将替换为分数阶微分、分数阶微分或其他任意形式分数阶微分推导出其他的形式。
在这个基础上进行推进，我们可以用不同阶的分数阶微分来代替（2）
第一章绪论 4
1.1 论文的研究背景 4
1.2 研究现状 4
第二章基础知识介绍 5
2.1分数阶微积分的主要思想 5
2.2 M-R序列分数阶微分的定义 6
2.3 M-R序列分数阶微分的Laplace变换 6
2.4分数阶微分的其他定义形式 7
2.5 分数阶微积分的应用 8
第三章 分数阶微分与窗函数法设计滤波器 9
3.1分数阶微分 9
3.1.1分数阶微分的算法 9
3.1.2微分对信号作用的理论分析 11
3.1.3各阶微分对信号的作用分析 12
3.1.4分数阶微分器脉冲响应的推导 13
3.2 窗函数法设计FIR滤波器 16
3.2.1 窗函数的选择 16
第四章 分数阶微分器的设计 17
4.1 分数阶微分器的程序及matlab仿真 17
第五章 总结 27
致谢 28
参考文献 28
附录 29
第一章 绪论
1.1 论文的研究背景
我们所熟悉的古典微积分中，微分的阶数和积分的次数都是整数，然而今天我们所说的分数阶微积分，它的阶数和次数是实数，他是我们所知的古典微积分的延伸。
下面我们来看看分数阶微积分的历史。人们第一次提出分数阶微积分是在十七世纪末，在这一个时期，数学家们经常把它与古典微积分比较，他们试图找到以任意数为阶数和次数的微积分并把它定义出来。1695年九月，洛必达（L’Hospital）在发给莱布尼茨的著名的信中写道：“一个简单的线性函数f（x）= X，如果整数的函数导数的数量是分数那会发生什么情况。”这是人们普遍认为分数阶微分第一被提及的时候。根据文献资料所述[1]，一些早期的科学家如欧拉，拉格朗日等，早已经有过对分数阶微积分的研究，只是这种研究没有成功，但是他的研究思想是确实可行的。然而，分数阶微积分的研究在接下来的一百年里就是一个空白期，尽管人们知道有这样的东西，但是都没能做出什么贡献出来。一直到
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中写道：“一个简单的线性函数f（x）= X，如果整数的函数导数的数量是分数那会发生什么情况。”这是人们普遍认为分数阶微分第一被提及的时候。根据文献资料所述[1]，一些早期的科学家如欧拉，拉格朗日等，早已经有过对分数阶微积分的研究，只是这种研究没有成功，但是他的研究思想是确实可行的。然而，分数阶微积分的研究在接下来的一百年里就是一个空白期，尽管人们知道有这样的东西，但是都没能做出什么贡献出来。一直到十九世纪初期，一个叫刘维尔的数学家成功的给出分数阶微积分定义。他所给定义解决了人们一些很重要的问题，如困难的势理论问题。因此刘维尔被人们称作分数阶微积分的真正的创始人。在这一个时期，关于分数阶微积分的研究越来越火，特别是在1974年，Oldham与Spanier发表对分数阶微积分理论的第一部专著。国家也对分数阶微积分的研究有着很大的支持。
分数阶微积分的研究虽然有着突破性的发展，但是大多数人对它还是所知不多，而且现在所有的数学课程都没有关于它的概念。虽然人们所知不多，但由于分数阶微积分的应用越来越广泛，国内外的研究者们对它也有着极大的热情。由于分数阶微分算法的不成熟，使得它在实际的工程运用中有着很多的障碍。关于完善其算法的研究越来越迫切了。
1.2 研究现状
关于分数阶微积分到现在它还没有完善统一的定义，在数学上他的意义一直很模糊。在数值运算方面，分数阶微积分的运算还十分的不成熟，现在主要的问题如下：
算法太少，人们现在常用的算法只有有限差分法和有限元法，这对于我们研究来说是远远不够用的。
由于分数阶微分的深度，关于它的算法软件特别的少，严重的拖了应用的后腿。
数值计算上还有很多难题没有得到解决，如时间和空间域上的问题。
这些问题需要人们的关注，这些问题使得分数阶微积分的应用难以更近一步，特别是关于计算软件的开发必须要跟上应用的脚步。分数阶微积分的理论也需要人们进一步完善。
第二章 基础知识介绍
随着计算机技术的不断发展，分数阶微分在信息领域中不断地发展，目前分数阶微积分运算凭借着其强大的优越性和发展潜能被应用在信息科学中，并给其带来了突破性的研究。
本章首先从整数阶微积分的理论开始介绍，并由其推导出分数阶微分，并给出了分数阶微积分的定义和计算方法。
2.1分数阶微积分的主要思想
图2.1分数阶微积分平面图
如上图所示，我们可以看出，把整数阶微积分的概念慢慢推广到实数轴以至于复平面上就是分数阶微积分的主要思想。在不同的应用条件和需求下，研究人员结合实际需要给出了不同的分数阶微积分的定义。然而这些定义具有局限性只能在特定的条件下使用，所以迄今为止，分数阶微积分仍然没有一个满足各种条件的定义，这给我们研究分数阶微分带来了很大的困难[3]。
2.2M-R序列分数阶微分的定义
由于人们的需求，我们尝试给出一个统一的分数微积分的表达形式。
分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，这些方法的最终目的就是把其中的整数n改为非整数的p，即：
从另一个方向上看，n阶的微分可以看作微分一次次的叠加：
（2.1）
由此，一个在我们生活中用的越来越多也很重要的推广公式就出现了。首先，我们假设有一种合适的方法来把一阶的微分推到为（）阶微分，即是可实现的。我们就可以将（1）式近似为一下公式：
（2.2）
和首先发现了这样的一种推广方式，这个里面是用分数阶微分定义来说明的，他们把这个称作序列分数阶微分。这种序列分数阶微分能够用将替换为分数阶微分、分数阶微分或其他任意形式分数阶微分推导出其他的形式。
在这个基础上进行推进，我们可以用不同阶的分数阶微分来代替（2）
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