含参量瑕积分一致收敛性的判断及应用
含参量瑕积分一致收敛性的判断及应用[20191209140738]
摘 要
含参量瑕积分在数学分析中是很少被提及的，但是它却有着重要的意义。本文首先对含参量瑕限积分做了较为系统的分析，对它的概念进行了全面的了解。接下来对含参量瑕积分一致收敛性的证明是尤为重要的，它是我们在含参量瑕积分这个概念上迈出的更大一步,本文主要通过对柯西一致收敛准则等判别法的研究来得到。此外还将对含参量瑕积分一致收敛性的判别法作系统的归纳总结，并将证明应用到具体的实例上去。
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关键字:含参量瑕积分数学分析一致收敛
目 录
1.引言 1
1.1 研究背景和选题意义 1
1.2 国内外研究现状 2
2.含参量瑕积分一致收敛的基本概念及其结论 3
2.1 含参量瑕积分概念 3
2.2 一致收敛 3
2.3 收敛与一致收敛 4
3．含参量瑕积分一致收敛的判别法 5
3.1柯西一致收敛准则 5
3.2优函数判别法 5
3.3狄利克雷判别法 6
3.4阿贝尔判别法 7
3.5 Heine归结原则 8
4．典型例题 10
参考文献 12
致谢 13
1.引言
1.1 研究背景和选题意义
在我们学习数学分析的过程中，我们可以直接从书籍中学习到含参量无穷限积分的相关知识，也可以轻而易举的知道含参量无穷限积分的一致收敛性是如何判定的。而我们却对含参量瑕积分的定义和一致收敛性知之甚少,但它在数学分析中的作用是我们不容忽视的，所以我们对含参量瑕积分的研究是很有必要的。其实含参量无穷限积分和含参量瑕积分两者之间具有相同之处，同时也有不同的地方，而在实践过程中我们遇到的不仅仅是含参量无穷限积分，还会经常遇到含参量暇积分，这就需要我们在学习数学分析时必须要弄清含参量瑕积分与含参量无穷限积分之间的不同。在学习含参量瑕积分时我们首先要弄清它的概念，在通过它的一些其他属性去深入了解它，例如它的一致收敛性。因此，对本课题的研究具有十分重要的理论意义与实际应用前景。
本课题主要研究含参量瑕积分一致收敛性的判定及应用。通过对于本课题的研究，会让我们对数学分析中对于含参量瑕积分这个比较模糊的概念有了比较清晰的理解，还会让我们对大学阶段基本课程的重要性进行认知，让我们知道基本课程在研究中所起到的作用。让我们知道了能够了解并能很好地运用基础知识是一切研究的根本。其次，我们对学术研究有了基本的认识，并让能够自己在学术研究中提出问题，分析问题，解决问题。最后，还将培养我们大学生在科学研究方面的独立性和更为重要的创新能力。虽然这仅仅是一个小小的课题研究，但它其中所蕴含的意义是非常重大的，它对于我个人而言更是一次尤为重要的经历和历练。
1.2 国内外研究现状
无论在国内外，含参量瑕积分都是学习数学分析的过程中具有重要意义的一环，国内外无数学者都曾经对它进行过研究，但所做出的研究报告和文献却很少。目前研究含参量瑕积分的一致收敛性是数学分析领域重要研究内容之一，它的重要性也是一步一步的体现出来。
含参量无穷限积分的一致收敛性我们可以从书中学习到，可含参量瑕积分一致收敛性的判定却是教材中的盲点，国内外的学术性报告和文献也是比较稀缺的。
2006年，伊磊，粱君于伊犁师范学院学报发表了题为《关于含参量瑕积分一致收敛判别法的探讨》 的论文，文中很系统的探讨了含参量瑕积分的一致收敛。
2008年，宋泽成于唐山师范学院学报发表了题为《含参量瑕积分一致收敛性的判定》 的论文，论文在含参量无穷限积分的基础上，通过比较两者之间的相同与不同之处带我们深入了解了含参量瑕积分。
2009年，王斌，项立群于池州学院学报发表了论文，题为《一致极限在含参量瑕积分中的应用》 ，论文中首先给我们说明了二元函数的一致极限，紧接着给我们诠释了含参量瑕积分的性质。
其他关于数学分析解题方法的研究见参考文献 。
本文主要通过自己的理解结合前人研究整合分析来得到含参量瑕积分一致收敛性的判定定理。
对于含参量瑕积分的研究目前来说还是不完善的，我相信在以后的研究中，人们将给出更为系统规范的研究成果，并将这些研究成果应用到课本上，方便以后的学生去学习和思考。
2.含参量瑕积分一致收敛的基本概念及其结论
在本节中，我们将要用到如下的数学知识 。
2.1 含参量瑕积分概念
（1）瑕积分的定义
定义1 设函数 定义在 上，而在 的任一左邻域内 无界, 为 的瑕点，如果 在任意的 上可积，则 在 上的瑕积分为 。
（2）含参量瑕积分的定义
定义2 设 在区域 上有定义。如果对 的某些值， 为函数 的瑕点，则含参量 的瑕积分为 。
（3）含参量瑕积分一致收敛的定义
定义3 对 （ ），总 （ ），使得当 时，对 ，总能得到 ，则称含参量瑕积分 在 上一致收敛。
2.2 一致收敛
设函数项级数为：
（1）
设含参量非正常积分为：
, （2）
我们取函数项级数（1）中的一部分进行求和：
,
定义4 设 是定义于区间 的，如果对 及自然数 ，存在有限个开区间 覆盖了 ，存在一组自然数 ， > 。
当 ， , 有：
则称级数（1）在 上一致收敛。
定义5 设含参量非正常积分（2）定义于 ，如果对 及 ，存在有限个开区间 覆盖了 ，存在一组数 ， > 。
当 ， 有：
则称含参量非正常积分（2）在上 一致收敛。
2.3 收敛与一致收敛
收敛数列：令 为一个数列，且 为一个固定的实数，如果对于任意给出的 ，存在一个正整数 ，使得对于任意 ，有 恒成立，就称数列 收敛于 ，即数列 为收敛数列。
收敛函数：（柯西收敛准则）关于函数 在点 处的收敛定义：对于任意实数 ，存在 ，对任意 满足 ， ，有 。
通过两者的定义我们知道：一致收敛必收敛，收敛不一定一致收敛。
3．含参量瑕积分一致收敛的判别法
本节主要介绍了具体的判别方法。
3.1柯西一致收敛准则
定理：瑕积分 在区间 上一致收敛的充分必要条件：对于 ， ，使得对于 : 及 ，有 。
证：必要性：通过一致收敛的定义，对于 ， ，使得对于 : 及 ，有：
从而对于 : 有：
,
同时成立，所以有：
= + <
充分性：对于 ， ，使得对于 : 及 ，有：
令 ，有：
即瑕积分 在区间 上一致收敛。
3.2优函数判别法
定理：若对于 ，有 ，且瑕积分 在区间上收敛，则瑕积分 在区间 上一致收敛。
证：已知瑕积分 收敛，则对于 ， ，对于 : 及 ，分别有：
,
同时成立。
于是有：
= + <
故瑕积分 在区间 上一致收敛。
3.3狄利克雷判别法
定理：若 ，积分 在区间 上一致有界，对于 ，函数 关于 是单调的，且 时，对参量 ，函数 一致收敛于0,则瑕积分 在 上一致收敛。
证：已知函数 当 时一致收敛于0，即对于 ， ，对于 : 及 ，均有：
又已知对于 : ， 在 上一致有界，即 ，对于 : ，对于 ， ，从而对于 : ，有：
及 。
再由积分中值定理，分别有：
,
故 ，由定理3.1知积分 在区间 上一致收敛。
3.4阿贝尔判别法
定理：若瑕积分 在区间 上一致收敛，对于 ，函数 关于 是单调的，且在区间 上一致有界，则积分 在区间 上一致收敛。
证：由定理知 在区间 上一致收敛，所以 ， ，对于 : 及 ，有：
又由于函数 关于 是单调的，且在区间 上一致有界，即 ，对于 及 有:
由积分中值定理，对于 ，有：
，所以积分 在区间 上一致收敛。
3.5 Heine归结原则
定理：含参量瑕积分 在 上一致收敛的充分必要条件：对任意递增数列 ， 时，它所对应函数项级数 在 上一致收敛。
证：必要性：
因为 在 上一致收敛，所以根据柯西收敛准则我们可以知道， ，一定 ，当 时，对一切 ，总有 成立。
令 ，由 且 递增，则 且递减。由数列极限定义，对上述 ，存在正整数 ，只要 时，就有 ，于是：
=
=
=
根据柯西一致收敛准 在 上一致收敛。
充分性：(反证法)
假设 在 上并不是一致收敛的，则 ，使得对于 ， 和 有
现取 ，则存在 及 ，使得
一般的取 ，则有 及 ，使得
令 ，则 是递增数列，且有 。
对于级数
由 知 ，对 （ 为正整数），只要 就存在 ，使：
这与函数项级数 在 上一致收敛相矛盾，所以 在 上一致收敛。
4．典型例题
例题1 证明含参量瑕积分 （ ）在（0,1）上一致收敛。
证明：因为 可以写为 = + ，
又因为
，
故含参量瑕积分 对于任给的 ，我们可以取 ，当 时，即有:
。
因此，对于 它是一致收敛的。
同理，积分 对于任给的 ，我们可以取 ，当 时，即有:
因此，对于 它是一致收敛的。
则含参量瑕积分 在 上一致收敛。
例题2 证明含参量瑕积分 在 上一致收敛。
证明：
因为 一致收敛，所以通过优函数判别法知 在 上一致收敛。
例题3 证明含参量瑕积分 在 上一致收敛。
证明：因为 是收敛的。又因为函数 在任意 上单调，且对 ，都有 ，所以通过阿贝尔判别法我们可以知道 在 上一致收敛。
参考文献
[1] 伊磊，粱君.关于含参量瑕积分一致收敛判别法的探讨[J].伊犁师范学院学报，2006，卷号（3）：13-15.
[2] 宋泽成.含参量瑕积分一致收敛性的判定[J].唐山师范学院学报，2008，卷号（30）：12-15.
[3] 王斌，项立群.一致极限在含参量瑕积分中的应用[J].池州学院学报，2009，卷号（23）：7-9.
[4] 高慧.含参量非正常积分一致收敛性的几个判别方法[J].延安职业技术学院学报，2011，卷号（25）：99-102.
[5] 谢胜利.含参量广义积分与瑕积分一致收敛的一个判别法[J].荆州师专学报，1982，卷号（9）：74-78.
[6] 李经文.数学分析的结构、特征和位置[J].吉首大学学报，1995，卷号（16）：38-40.
[7] 张玲.数学分析中常见的解题方法[J].唐山师专学报，2000，卷号（22）：53-56.
[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第四版.北京：高等教育出版社，1993,652-665.
[9] 华东师范大学数学系.数学分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010,28-208.
[10] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，1999,359-371.
致谢
历时将近两个多月的时间，通过老师和同学的帮助终于完成了这篇论文。在这里我要对我的导师凡震彬老师表达感谢之情，他从论文的选题开始就对我们进行耐心的分析，论文进展过程中更是对我们不断的指导,在他的帮助下我的论文才能如计划般进展的非常顺利。
摘 要
含参量瑕积分在数学分析中是很少被提及的，但是它却有着重要的意义。本文首先对含参量瑕限积分做了较为系统的分析，对它的概念进行了全面的了解。接下来对含参量瑕积分一致收敛性的证明是尤为重要的，它是我们在含参量瑕积分这个概念上迈出的更大一步,本文主要通过对柯西一致收敛准则等判别法的研究来得到。此外还将对含参量瑕积分一致收敛性的判别法作系统的归纳总结，并将证明应用到具体的实例上去。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:含参量瑕积分数学分析一致收敛
目 录
1.引言 1
1.1 研究背景和选题意义 1
1.2 国内外研究现状 2
2.含参量瑕积分一致收敛的基本概念及其结论 3
2.1 含参量瑕积分概念 3
2.2 一致收敛 3
2.3 收敛与一致收敛 4
3．含参量瑕积分一致收敛的判别法 5
3.1柯西一致收敛准则 5
3.2优函数判别法 5
3.3狄利克雷判别法 6
3.4阿贝尔判别法 7
3.5 Heine归结原则 8
4．典型例题 10
参考文献 12
致谢 13
1.引言
1.1 研究背景和选题意义
在我们学习数学分析的过程中，我们可以直接从书籍中学习到含参量无穷限积分的相关知识，也可以轻而易举的知道含参量无穷限积分的一致收敛性是如何判定的。而我们却对含参量瑕积分的定义和一致收敛性知之甚少,但它在数学分析中的作用是我们不容忽视的，所以我们对含参量瑕积分的研究是很有必要的。其实含参量无穷限积分和含参量瑕积分两者之间具有相同之处，同时也有不同的地方，而在实践过程中我们遇到的不仅仅是含参量无穷限积分，还会经常遇到含参量暇积分，这就需要我们在学习数学分析时必须要弄清含参量瑕积分与含参量无穷限积分之间的不同。在学习含参量瑕积分时我们首先要弄清它的概念，在通过它的一些其他属性去深入了解它，例如它的一致收敛性。因此，对本课题的研究具有十分重要的理论意义与实际应用前景。
本课题主要研究含参量瑕积分一致收敛性的判定及应用。通过对于本课题的研究，会让我们对数学分析中对于含参量瑕积分这个比较模糊的概念有了比较清晰的理解，还会让我们对大学阶段基本课程的重要性进行认知，让我们知道基本课程在研究中所起到的作用。让我们知道了能够了解并能很好地运用基础知识是一切研究的根本。其次，我们对学术研究有了基本的认识，并让能够自己在学术研究中提出问题，分析问题，解决问题。最后，还将培养我们大学生在科学研究方面的独立性和更为重要的创新能力。虽然这仅仅是一个小小的课题研究，但它其中所蕴含的意义是非常重大的，它对于我个人而言更是一次尤为重要的经历和历练。
1.2 国内外研究现状
无论在国内外，含参量瑕积分都是学习数学分析的过程中具有重要意义的一环，国内外无数学者都曾经对它进行过研究，但所做出的研究报告和文献却很少。目前研究含参量瑕积分的一致收敛性是数学分析领域重要研究内容之一，它的重要性也是一步一步的体现出来。
含参量无穷限积分的一致收敛性我们可以从书中学习到，可含参量瑕积分一致收敛性的判定却是教材中的盲点，国内外的学术性报告和文献也是比较稀缺的。
2006年，伊磊，粱君于伊犁师范学院学报发表了题为《关于含参量瑕积分一致收敛判别法的探讨》 的论文，文中很系统的探讨了含参量瑕积分的一致收敛。
2008年，宋泽成于唐山师范学院学报发表了题为《含参量瑕积分一致收敛性的判定》 的论文，论文在含参量无穷限积分的基础上，通过比较两者之间的相同与不同之处带我们深入了解了含参量瑕积分。
2009年，王斌，项立群于池州学院学报发表了论文，题为《一致极限在含参量瑕积分中的应用》 ，论文中首先给我们说明了二元函数的一致极限，紧接着给我们诠释了含参量瑕积分的性质。
其他关于数学分析解题方法的研究见参考文献 。
本文主要通过自己的理解结合前人研究整合分析来得到含参量瑕积分一致收敛性的判定定理。
对于含参量瑕积分的研究目前来说还是不完善的，我相信在以后的研究中，人们将给出更为系统规范的研究成果，并将这些研究成果应用到课本上，方便以后的学生去学习和思考。
2.含参量瑕积分一致收敛的基本概念及其结论
在本节中，我们将要用到如下的数学知识 。
2.1 含参量瑕积分概念
（1）瑕积分的定义
定义1 设函数 定义在 上，而在 的任一左邻域内 无界, 为 的瑕点，如果 在任意的 上可积，则 在 上的瑕积分为 。
（2）含参量瑕积分的定义
定义2 设 在区域 上有定义。如果对 的某些值， 为函数 的瑕点，则含参量 的瑕积分为 。
（3）含参量瑕积分一致收敛的定义
定义3 对 （ ），总 （ ），使得当 时，对 ，总能得到 ，则称含参量瑕积分 在 上一致收敛。
2.2 一致收敛
设函数项级数为：
（1）
设含参量非正常积分为：
, （2）
我们取函数项级数（1）中的一部分进行求和：
,
定义4 设 是定义于区间 的，如果对 及自然数 ，存在有限个开区间 覆盖了 ，存在一组自然数 ， > 。
当 ， , 有：
则称级数（1）在 上一致收敛。
定义5 设含参量非正常积分（2）定义于 ，如果对 及 ，存在有限个开区间 覆盖了 ，存在一组数 ， > 。
当 ， 有：
则称含参量非正常积分（2）在上 一致收敛。
2.3 收敛与一致收敛
收敛数列：令 为一个数列，且 为一个固定的实数，如果对于任意给出的 ，存在一个正整数 ，使得对于任意 ，有 恒成立，就称数列 收敛于 ，即数列 为收敛数列。
收敛函数：（柯西收敛准则）关于函数 在点 处的收敛定义：对于任意实数 ，存在 ，对任意 满足 ， ，有 。
通过两者的定义我们知道：一致收敛必收敛，收敛不一定一致收敛。
3．含参量瑕积分一致收敛的判别法
本节主要介绍了具体的判别方法。
3.1柯西一致收敛准则
定理：瑕积分 在区间 上一致收敛的充分必要条件：对于 ， ，使得对于 : 及 ，有 。
证：必要性：通过一致收敛的定义，对于 ， ，使得对于 : 及 ，有：
从而对于 : 有：
,
同时成立，所以有：
= + <
充分性：对于 ， ，使得对于 : 及 ，有：
令 ，有：
即瑕积分 在区间 上一致收敛。
3.2优函数判别法
定理：若对于 ，有 ，且瑕积分 在区间上收敛，则瑕积分 在区间 上一致收敛。
证：已知瑕积分 收敛，则对于 ， ，对于 : 及 ，分别有：
,
同时成立。
于是有：
= + <
故瑕积分 在区间 上一致收敛。
3.3狄利克雷判别法
定理：若 ，积分 在区间 上一致有界，对于 ，函数 关于 是单调的，且 时，对参量 ，函数 一致收敛于0,则瑕积分 在 上一致收敛。
证：已知函数 当 时一致收敛于0，即对于 ， ，对于 : 及 ，均有：
又已知对于 : ， 在 上一致有界，即 ，对于 : ，对于 ， ，从而对于 : ，有：
及 。
再由积分中值定理，分别有：
,
故 ，由定理3.1知积分 在区间 上一致收敛。
3.4阿贝尔判别法
定理：若瑕积分 在区间 上一致收敛，对于 ，函数 关于 是单调的，且在区间 上一致有界，则积分 在区间 上一致收敛。
证：由定理知 在区间 上一致收敛，所以 ， ，对于 : 及 ，有：
又由于函数 关于 是单调的，且在区间 上一致有界，即 ，对于 及 有:
由积分中值定理，对于 ，有：
，所以积分 在区间 上一致收敛。
3.5 Heine归结原则
定理：含参量瑕积分 在 上一致收敛的充分必要条件：对任意递增数列 ， 时，它所对应函数项级数 在 上一致收敛。
证：必要性：
因为 在 上一致收敛，所以根据柯西收敛准则我们可以知道， ，一定 ，当 时，对一切 ，总有 成立。
令 ，由 且 递增，则 且递减。由数列极限定义，对上述 ，存在正整数 ，只要 时，就有 ，于是：
=
=
=
根据柯西一致收敛准 在 上一致收敛。
充分性：(反证法)
假设 在 上并不是一致收敛的，则 ，使得对于 ， 和 有
现取 ，则存在 及 ，使得
一般的取 ，则有 及 ，使得
令 ，则 是递增数列，且有 。
对于级数
由 知 ，对 （ 为正整数），只要 就存在 ，使：
这与函数项级数 在 上一致收敛相矛盾，所以 在 上一致收敛。
4．典型例题
例题1 证明含参量瑕积分 （ ）在（0,1）上一致收敛。
证明：因为 可以写为 = + ，
又因为
，
故含参量瑕积分 对于任给的 ，我们可以取 ，当 时，即有:
。
因此，对于 它是一致收敛的。
同理，积分 对于任给的 ，我们可以取 ，当 时，即有:
因此，对于 它是一致收敛的。
则含参量瑕积分 在 上一致收敛。
例题2 证明含参量瑕积分 在 上一致收敛。
证明：
因为 一致收敛，所以通过优函数判别法知 在 上一致收敛。
例题3 证明含参量瑕积分 在 上一致收敛。
证明：因为 是收敛的。又因为函数 在任意 上单调，且对 ，都有 ，所以通过阿贝尔判别法我们可以知道 在 上一致收敛。
参考文献
[1] 伊磊，粱君.关于含参量瑕积分一致收敛判别法的探讨[J].伊犁师范学院学报，2006，卷号（3）：13-15.
[2] 宋泽成.含参量瑕积分一致收敛性的判定[J].唐山师范学院学报，2008，卷号（30）：12-15.
[3] 王斌，项立群.一致极限在含参量瑕积分中的应用[J].池州学院学报，2009，卷号（23）：7-9.
[4] 高慧.含参量非正常积分一致收敛性的几个判别方法[J].延安职业技术学院学报，2011，卷号（25）：99-102.
[5] 谢胜利.含参量广义积分与瑕积分一致收敛的一个判别法[J].荆州师专学报，1982，卷号（9）：74-78.
[6] 李经文.数学分析的结构、特征和位置[J].吉首大学学报，1995，卷号（16）：38-40.
[7] 张玲.数学分析中常见的解题方法[J].唐山师专学报，2000，卷号（22）：53-56.
[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第四版.北京：高等教育出版社，1993,652-665.
[9] 华东师范大学数学系.数学分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010,28-208.
[10] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，1999,359-371.
致谢
历时将近两个多月的时间，通过老师和同学的帮助终于完成了这篇论文。在这里我要对我的导师凡震彬老师表达感谢之情，他从论文的选题开始就对我们进行耐心的分析，论文进展过程中更是对我们不断的指导,在他的帮助下我的论文才能如计划般进展的非常顺利。
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