古塔变形的数学模型
古塔变形的数学模型[20191209140626]
摘要
根据附录表给出的观测数据，拟合出古塔各层所在的平面，建立起一个空间立体模型，再利用中心点到各个观测点的平方和为最小的原理给出求解中心点坐标的数学公式，借助MATLAB软件计算出中心点位置. 其次对古塔的变形情况进行合理的数学描述（主要考虑倾斜、弯曲和扭曲等因素），给出通用的计算方法，得到量化指标. 根据所求值刻画图像，更方便直观的评估古塔的变形趋势. 考虑到计算的精度，需要补全附录表中的缺失数据，以增强本模型的通用性和可推广性.
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关键字:古塔变形拟合MATLAB；
目 录
1 前言 1
1.1课题研究的背景知识 1
1.2 要解决的问题 1
2 模型假设及符号说明 2
2.1模型假设 2
2.2符号说明 2
3 问题的分析 3
3.1问题一的分析 3
3.2问题二的分析 3
3.3问题三的分析 3
4 模型的建立与求解 4
4.1问题一的模型建立与求解..............................................................................................................4
4.2问题二的模型建立与求解 9
4.3问题三的模型建立与求解 12
5 模型的评价与推广 14
参考文献 15
致谢 16
附录...................................................................................................................................................................17
1 前言
1.1课题研究的背景知识
由于一些极具价值的古建筑往往都年代久远，在岁月的磨蚀下饱经沧桑，再加上人为的有意或者无意的损坏，这些古建筑大多都会发生倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，其中尤以古塔为甚！许多古塔都岌岌可危，若不及时拿出一套科学而又合理的整治方案并付诸实施，结局不堪设想。 不仅仅有可能会倒塌造成人民的生命财产损失，也会是古代珍贵艺术的损失，更是中华文明的损失，所以对古塔变形问题的研究是势在必行。为了弘扬中华文化，展现中华民族上下五千年的文明和光辉岁月，保存和完善修复古塔具有极其重大的现实意义。如果缺乏相应的科学的数学模型做支撑，那么对古塔问题的研究将会缺乏适用性，相关部门的治理和保护的难度也会大幅度增加，甚至会由于计算的不精确造成负面破坏，所以研究的重点必须放在数学模型的研究上，从而研究出一套可行的方案。
1.2 要解决的问题
问题一：首先需要拟合出每层观测点所在平面，建立数学模型（可参考文献[1],[12]，[13]）。将规则的多边形拟合成一个圆，根据附录表中给出的不同年份的观测数据，确定古塔的中心位置的通用方法，通过计算得到各层的中心点的坐标。
问题二：岁月的洗涤和历史变迁，古塔会出现不同程度的变形情况。通过进行指标定义和量化[2]，在指标的研究基础上分析变形情况。
问题三：依据前面两个问题的研究，对古塔变形情况做出科学合理的分析，并分析古塔的变形趋势，对古塔倾斜、弯曲、扭曲情况给出评价和预测。
2 模型假设及符号说明
2.1模型假设
1、假设附录表中给出的观测数据全部正确，不需要单独剔除异常值.
2、假设各层的观测点坐标处于同一平面上，由于塔的变形而出现的高度差，简单的考虑选择坐标的z轴值的平均值作为各层的水平高度.
3、假设同一层的各个相邻观测点坐标之间为直线，即古塔各层为多边形.
4、由于附录表中塔顶数据变化不太明显，故不额外考虑塔顶变化因素.
2.2符号说明
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔所在的层数
倾斜角度
弯曲程度
扭曲程度
表2.2.1 符号说明
3 问题的分析
3.1问题一的分析
对于问题一，我们通过最小二乘法拟合出观测点所在平面（可参考文献[3]，[14]）（由于同一层观测数据的高度值变化不大，所以平面高度可以简单地选取为同一层观测点坐标的z轴值的平均值）。 再建立优化模型，在拟合平面上寻找到各观测点距离的平方和最小的点作为古塔该层的中心点。利用MATLAB编程（可参考文献[4]，[15]）求解，得到了每次观测古塔各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
3.2问题二的分析
将古塔的倾斜、弯曲，扭曲[2]等感性上的变形情况转化为刻画量的量化指标，用一系列的公式以及数据带入进行计算，以此研究古塔的倾斜、弯曲，扭曲等变形情况；为了研究古塔的变形情况（主要考虑倾斜、弯曲，扭曲三大因素），首先需要给出科学合理的数学描述。对于倾斜角的求解，我们通过古塔各相邻层中心点的倾斜角 的累加求平均来给出(可参考文献[5][6])；对于弯曲程度 ，我们通过古塔各相邻中心点距离的代数和与塔顶端到塔底部中心点的距离的比值，即 来给出(可参考文献[5])；对于扭曲指标，我们通过利用各层的中心点到同一方向某观测点坐标的连线的变化角度来给出(可参考文献[6]).
注：我们容易发现，1986年和1996年这两年的第13层的中心点数据异常，所以需要剔除这两个异常点后再进行拟合。
3.3问题三的分析
我们主要基于问题一和问题二的研究成果，通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度这三大因素来综合分析古塔的变形情况，并作出科学合理的变形趋势的评估，给予古塔保护和修复工作强大的理论支持和有力的现实指导。
4 模型的建立与求解
4.1问题一的模型建立与求解
4.1.1.古塔各层平面建模：
古塔第 层的各观测点坐标为 ，古塔第 层的中心点坐标为 . 由于同一层观测数据的 变化不大，所以平面高度简单的选取为 ，再根据假设2，一个古塔各层平面的模型建立完毕.
根据附录表中数据绘制的图形如图4.1-1所示：
图4.1-1
4.1.2.缺失数据的预处理：
在1986和1996年这两次观测钟，缺失了第13层的第5点，不可避免的会导致第13层的中心点的计算结果产生较大误差，继而影响线性拟合[7]以及变形情况的分析. 所以我们需要对缺失数据进行预处理. 通过绘制散点图发现，古塔的相邻两层之间具有差值大致相等的关系，所以在此不妨通过如下方法进行赋值：对于1986年，简单计算可得到第12层第5点比第11层第5点坐标增大了 ，所以第13层第5点坐标不妨设为第12层坐标加上 ，即 . 同理，1996年的缺失数据赋值为 . 整理成如下表4.1-2所示：
缺失数据 1986年 1996年
第13层第五点坐标 (567.984,519.588,52.984) (567.99,519.5816,52.983)
表4.1-2
特别说明：根据假设4，塔顶残缺数据不考虑.
4.1.3.缺失数据预处理的改进方法：
①、1986年13层的第5个观测点的原始数据如表1所示：
坐标轴 塔层
第一层第五点 567.941 517.407 1.772
第二层第五点 567.995 517.563 7.306
第三层第五点 568.048 517.716 12.741
第四层第五点 568.091 517.838 17.064
第五层第五点 568.136 517.969 21.705
第六层第五点 568.18 518.095 26.189
第七层第五点 568.172 518.346 29.791
第八层第五点 568.164 518.59 33.305
第九层第五点 568.156 518.834 36.809
第十层第五点 568.148 519.068 40.171
第十一层第五点 568.094 519.242 44.442
第十二层第五点 568.039 519.415 48.713
第十三层第五点
表1:1986年数据表
②、1996年13层的第5个观测点的原始数据如表2所示：
坐标轴 塔层
第一层第五点 567.9412 517.4067 1.765
第二层第五点 567.9959 517.562 7.299
第三层第五点 568.0496 517.7144 12.739
第四层第五点 568.0932 517.8358 17.057
第五层第五点 568.1388 517.9662 21.703
第六层第五点 568.1834 518.0916 26.182
第七层第五点 568.1758 518.3422 29.785
第八层第五点 568.1683 518.5857 33.302
第九层第五点 568.161 518.829 36.801
第十层第五点 568.1531 519.0628 40.169
第十一层第五点 568.1 519.236 44.439
第十二层第五点 568.045 519.4088 48.711
第十三层第五点
表2:1996年数据表
根据上表1和表2数据做出的散点图容易发现坐标具有线性趋势，规律性较为明显. 所以不妨用线性回归方法[8]对缺失数据给出合理的赋值.
根据上面表1和表2绘制的坐标散点图和回归直线图如下图4.1-2所示：
表4.1-2
注：同理可以求出1996年坐标差值，图略.
4.1.4.古塔各层的中心点的确定
原理：中心点即为到该层各观测点距离平方和最小的那个点（可参考文献[9]）.
目标函数：所求点到该层各观测点距离的平方和最小，即
.
上述公式等价于
.
根据高等数学]知识可知，该问题其实是无条件求极值问题[9]，即求
的最小值.
若要求出 的最小值，根据高等数学知识[9]知：即为求满足 ， 条件的点， 即求 ，等价于分别求各观测点数据的 轴和 轴的平均值.
通过软件计算可得各中心点坐标如表4.1-4-1所示(结果已保留三位小数)：
1986年 1996年
层 中心点坐标 层 中心点坐标
x/m y/m z/m x/m y/m z/m
1 566.665 522.711 1.787 1 566.665 522.710 1.783
2 566.720 522.668 7.320 2 566.721 522.667 7.315
3 566.774 522.627 12.755 3 566.775 522.626 12.751
4 566.816 522.594 17.078 4 566.818 522.592 17.075
5 566.862 522.559 21.721 5 566.865 522.556 21.716
6 566.908 522.524 26.235 6 566.912 522.521 26.230
7 566.947 522.508 29.837 7 566.951 522.504 29.832
摘要
根据附录表给出的观测数据，拟合出古塔各层所在的平面，建立起一个空间立体模型，再利用中心点到各个观测点的平方和为最小的原理给出求解中心点坐标的数学公式，借助MATLAB软件计算出中心点位置. 其次对古塔的变形情况进行合理的数学描述（主要考虑倾斜、弯曲和扭曲等因素），给出通用的计算方法，得到量化指标. 根据所求值刻画图像，更方便直观的评估古塔的变形趋势. 考虑到计算的精度，需要补全附录表中的缺失数据，以增强本模型的通用性和可推广性.
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:古塔变形拟合MATLAB；
目 录
1 前言 1
1.1课题研究的背景知识 1
1.2 要解决的问题 1
2 模型假设及符号说明 2
2.1模型假设 2
2.2符号说明 2
3 问题的分析 3
3.1问题一的分析 3
3.2问题二的分析 3
3.3问题三的分析 3
4 模型的建立与求解 4
4.1问题一的模型建立与求解..............................................................................................................4
4.2问题二的模型建立与求解 9
4.3问题三的模型建立与求解 12
5 模型的评价与推广 14
参考文献 15
致谢 16
附录...................................................................................................................................................................17
1 前言
1.1课题研究的背景知识
由于一些极具价值的古建筑往往都年代久远，在岁月的磨蚀下饱经沧桑，再加上人为的有意或者无意的损坏，这些古建筑大多都会发生倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，其中尤以古塔为甚！许多古塔都岌岌可危，若不及时拿出一套科学而又合理的整治方案并付诸实施，结局不堪设想。 不仅仅有可能会倒塌造成人民的生命财产损失，也会是古代珍贵艺术的损失，更是中华文明的损失，所以对古塔变形问题的研究是势在必行。为了弘扬中华文化，展现中华民族上下五千年的文明和光辉岁月，保存和完善修复古塔具有极其重大的现实意义。如果缺乏相应的科学的数学模型做支撑，那么对古塔问题的研究将会缺乏适用性，相关部门的治理和保护的难度也会大幅度增加，甚至会由于计算的不精确造成负面破坏，所以研究的重点必须放在数学模型的研究上，从而研究出一套可行的方案。
1.2 要解决的问题
问题一：首先需要拟合出每层观测点所在平面，建立数学模型（可参考文献[1],[12]，[13]）。将规则的多边形拟合成一个圆，根据附录表中给出的不同年份的观测数据，确定古塔的中心位置的通用方法，通过计算得到各层的中心点的坐标。
问题二：岁月的洗涤和历史变迁，古塔会出现不同程度的变形情况。通过进行指标定义和量化[2]，在指标的研究基础上分析变形情况。
问题三：依据前面两个问题的研究，对古塔变形情况做出科学合理的分析，并分析古塔的变形趋势，对古塔倾斜、弯曲、扭曲情况给出评价和预测。
2 模型假设及符号说明
2.1模型假设
1、假设附录表中给出的观测数据全部正确，不需要单独剔除异常值.
2、假设各层的观测点坐标处于同一平面上，由于塔的变形而出现的高度差，简单的考虑选择坐标的z轴值的平均值作为各层的水平高度.
3、假设同一层的各个相邻观测点坐标之间为直线，即古塔各层为多边形.
4、由于附录表中塔顶数据变化不太明显，故不额外考虑塔顶变化因素.
2.2符号说明
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔第 层的第 个观测点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔各层的中心点 轴坐标
古塔所在的层数
倾斜角度
弯曲程度
扭曲程度
表2.2.1 符号说明
3 问题的分析
3.1问题一的分析
对于问题一，我们通过最小二乘法拟合出观测点所在平面（可参考文献[3]，[14]）（由于同一层观测数据的高度值变化不大，所以平面高度可以简单地选取为同一层观测点坐标的z轴值的平均值）。 再建立优化模型，在拟合平面上寻找到各观测点距离的平方和最小的点作为古塔该层的中心点。利用MATLAB编程（可参考文献[4]，[15]）求解，得到了每次观测古塔各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。
3.2问题二的分析
将古塔的倾斜、弯曲，扭曲[2]等感性上的变形情况转化为刻画量的量化指标，用一系列的公式以及数据带入进行计算，以此研究古塔的倾斜、弯曲，扭曲等变形情况；为了研究古塔的变形情况（主要考虑倾斜、弯曲，扭曲三大因素），首先需要给出科学合理的数学描述。对于倾斜角的求解，我们通过古塔各相邻层中心点的倾斜角 的累加求平均来给出(可参考文献[5][6])；对于弯曲程度 ，我们通过古塔各相邻中心点距离的代数和与塔顶端到塔底部中心点的距离的比值，即 来给出(可参考文献[5])；对于扭曲指标，我们通过利用各层的中心点到同一方向某观测点坐标的连线的变化角度来给出(可参考文献[6]).
注：我们容易发现，1986年和1996年这两年的第13层的中心点数据异常，所以需要剔除这两个异常点后再进行拟合。
3.3问题三的分析
我们主要基于问题一和问题二的研究成果，通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度这三大因素来综合分析古塔的变形情况，并作出科学合理的变形趋势的评估，给予古塔保护和修复工作强大的理论支持和有力的现实指导。
4 模型的建立与求解
4.1问题一的模型建立与求解
4.1.1.古塔各层平面建模：
古塔第 层的各观测点坐标为 ，古塔第 层的中心点坐标为 . 由于同一层观测数据的 变化不大，所以平面高度简单的选取为 ，再根据假设2，一个古塔各层平面的模型建立完毕.
根据附录表中数据绘制的图形如图4.1-1所示：
图4.1-1
4.1.2.缺失数据的预处理：
在1986和1996年这两次观测钟，缺失了第13层的第5点，不可避免的会导致第13层的中心点的计算结果产生较大误差，继而影响线性拟合[7]以及变形情况的分析. 所以我们需要对缺失数据进行预处理. 通过绘制散点图发现，古塔的相邻两层之间具有差值大致相等的关系，所以在此不妨通过如下方法进行赋值：对于1986年，简单计算可得到第12层第5点比第11层第5点坐标增大了 ，所以第13层第5点坐标不妨设为第12层坐标加上 ，即 . 同理，1996年的缺失数据赋值为 . 整理成如下表4.1-2所示：
缺失数据 1986年 1996年
第13层第五点坐标 (567.984,519.588,52.984) (567.99,519.5816,52.983)
表4.1-2
特别说明：根据假设4，塔顶残缺数据不考虑.
4.1.3.缺失数据预处理的改进方法：
①、1986年13层的第5个观测点的原始数据如表1所示：
坐标轴 塔层
第一层第五点 567.941 517.407 1.772
第二层第五点 567.995 517.563 7.306
第三层第五点 568.048 517.716 12.741
第四层第五点 568.091 517.838 17.064
第五层第五点 568.136 517.969 21.705
第六层第五点 568.18 518.095 26.189
第七层第五点 568.172 518.346 29.791
第八层第五点 568.164 518.59 33.305
第九层第五点 568.156 518.834 36.809
第十层第五点 568.148 519.068 40.171
第十一层第五点 568.094 519.242 44.442
第十二层第五点 568.039 519.415 48.713
第十三层第五点
表1:1986年数据表
②、1996年13层的第5个观测点的原始数据如表2所示：
坐标轴 塔层
第一层第五点 567.9412 517.4067 1.765
第二层第五点 567.9959 517.562 7.299
第三层第五点 568.0496 517.7144 12.739
第四层第五点 568.0932 517.8358 17.057
第五层第五点 568.1388 517.9662 21.703
第六层第五点 568.1834 518.0916 26.182
第七层第五点 568.1758 518.3422 29.785
第八层第五点 568.1683 518.5857 33.302
第九层第五点 568.161 518.829 36.801
第十层第五点 568.1531 519.0628 40.169
第十一层第五点 568.1 519.236 44.439
第十二层第五点 568.045 519.4088 48.711
第十三层第五点
表2:1996年数据表
根据上表1和表2数据做出的散点图容易发现坐标具有线性趋势，规律性较为明显. 所以不妨用线性回归方法[8]对缺失数据给出合理的赋值.
根据上面表1和表2绘制的坐标散点图和回归直线图如下图4.1-2所示：
表4.1-2
注：同理可以求出1996年坐标差值，图略.
4.1.4.古塔各层的中心点的确定
原理：中心点即为到该层各观测点距离平方和最小的那个点（可参考文献[9]）.
目标函数：所求点到该层各观测点距离的平方和最小，即
.
上述公式等价于
.
根据高等数学]知识可知，该问题其实是无条件求极值问题[9]，即求
的最小值.
若要求出 的最小值，根据高等数学知识[9]知：即为求满足 ， 条件的点， 即求 ，等价于分别求各观测点数据的 轴和 轴的平均值.
通过软件计算可得各中心点坐标如表4.1-4-1所示(结果已保留三位小数)：
1986年 1996年
层 中心点坐标 层 中心点坐标
x/m y/m z/m x/m y/m z/m
1 566.665 522.711 1.787 1 566.665 522.710 1.783
2 566.720 522.668 7.320 2 566.721 522.667 7.315
3 566.774 522.627 12.755 3 566.775 522.626 12.751
4 566.816 522.594 17.078 4 566.818 522.592 17.075
5 566.862 522.559 21.721 5 566.865 522.556 21.716
6 566.908 522.524 26.235 6 566.912 522.521 26.230
7 566.947 522.508 29.837 7 566.951 522.504 29.832
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