加权再生核空间及其运用
加权再生核空间及其运用学院数学与统计学院[20191209140658]
摘 要
关于核函数的概念开始于积分算子理论。再生核理论是泛函分析中最早成熟的部分，该理论不仅在算子理论、解析函数等数学领域意义重大，而且在信号分析、概率论的随机过程和图像还原等实际应用中起着同样重要的作用。本论文主要讨论再生核空间的基本概念和主要性质，给出两类加权再生核的构造方法，在此基础上，进一步将该空间应用于奇异积分方程和摄动问题的数值处理。以下是本篇论文的主要研究内容：开始，我们将介绍再生核空间理论的背景与发展前景，接下来，给出再生核空间的定义，以及如何判别一个再生核，给出其一些重要性质。在以上的理论基础上给出两类加权再生核空间的构造方法，最后将其运用于求解奇异积分方程和摄动问题。
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关键字:再生核加权再生核空间内积
目 录
第1章 绪论········································1
1.1背景介绍·······································1
1.2发展前景·······································1
第2章 再生核空间的基本理论与构造·············2
2.1再生核空间的基本理论······························2
2.2再生核空间的基本性质······························2
2.3加权再生核空间的构造方法···························6
第3章 再生核空间的应用·····························13
3.1 第一类加权再生核空间的应用············13
3.2 第二类加权再生核空间的应用············14
总结············································15
参考文献·········································16
第1章 绪论
本小节将叙述再生核理论的发展历史及其在国内的研究现状，并对其发展前景做相关的介绍，为后续章节介绍再生核的基本理论与性质做基础铺垫。
1.1背景介绍
Hilbert核空间理论起始于1921和1922年贝格曼发表的的论文。贝格曼首次将核与函数空间相关联，描述了核的再生性。后来，Aronszajn发表了相关论文，论文名为TheorYofreprvducingkernels，为再生核理论框架形成奠定了基础。随后，核理论在奇摄动问题、积分方程、偏微分方程、奇异积分 等方面得到重要应用。1964 年，Schwartz 在其论文中，进一步丰富了再生核的相关理论。发展至此，再生核理论慢慢走向成熟。核空间理论涉及的领域甚广，不仅与很多数学理论相关联，而且在信息科学等很多其它很多实际运用领域都展现其强劲的优势。
1.2发展前景
再生核理论从诞生到今天，广泛运用于数学研究的很多相关领域。再生核理论的建立，为相关科学研究提供了一个强有力的重要工具，对其灵活的使用，能够使很多问题简单化。随着再生核理论的不断创新与发展，其理论在信息科学、物理学、概率论随机事件和数理统计等众多领域的应用，激发了很多研究人员的兴趣。不仅如此，再生核空间理论还为信号分析、小波分析、无网格数值方法的相关领域增加了新的课题研究，在将来的某一天，再生核理论可能会为这些课题研究带来意想不到的效果。由上所述，我们了解再生核空间理论自身具有很大的优越性，对其理论与实际运用方面的研究依然还有很长的路要走，需要广大学者与研究人员的共同努力，进一步推动再生核理论的发展，完善再生核理论，深化其的运用领域，为理论的发展不断注入新的活力。
第2章 Hilbert空间的基本理论及其构造方法
2.1 再生核空间基本理论
本小节我们首先介绍内积空间与Hilbert空间的相关定义，继而介绍如何判别一个Hilbert核空间，给出相关引理，通过本小节，为下面章节构造再生核打下理论基础.
定义 1 设 是数域 上线性空间。映射 若符合如下三个性质，则称 为 上的一个内积，称 或者 为内积空间：
1) , , （正定性）
2) , （共轭对称性）
3） ， ， (对第一变元线性)
根据习惯，通常把 记作 .
定义 2 设 为定义在集合 （非空）上的复值函数构成的一个 空间，其内积定义为 ，K: 称为 的再生核的充要条件为
称上述2）叫做再生性。若一个Hilbert空间具有再生核，则称其为再生核空间（再生核Hilbert空间）。
2.2再生核的基本性质
2.2.1再生核空间中收敛性质
定理1 若 是 上的再生核空间， 为其再生核，有一线性子空间由
, 生成，则该子空间在 中稠密.
证明: 对于 ，易知 与 （ ）生成的子空间正交的充要条件为 ，从而 即 =0.由此知，定理成立.
定理2 若 为 上的再生核空间，记其再生核为 ，函数列
(i)如果 弱收敛至 ，则 逐点收敛到 ；
(ii)如果 强收敛至 ，且 在某一子集 有界，那么 一定在 上收敛（一致收敛）到 .
证明: (i)因为 弱收敛到 ，则 ，即
（ii）因为 强收敛到 ，即 ，由
=
即知结论成立.
2.2.2再生核存在性
定义3 设H为某集B上的内积空间，若对 存在一常数 使得，对 ，有 ，则称 是 上的赋值型内积函数空间.简记赋值型内积空间.
定理3 （i）若 上内积空间 存在再生核，则H必是赋值型内积空间;
(ii)若 是 上赋值型Hilbert空间，则H必然是再生核Hilbert空间.
证明见《再生核的理论与应用》 ，张新建著.
定理4 设 为定义在 上的函数构成的非完备的再生核内积空间，其内积为 ，相应的范数为 ，再生核为 ,则 也是 的完备化空间 的再生核.
证明: 根据完备化概念知，对 ，存在 ，使得 ，且 ，于是，对任意 ，有
即 是H的再生核.
上述定理说明，满足什么条件的时候，内积空间一定存在再生核.
2.2.3再生核的正定性
现在再来考察一个定义在某集合 上的函数 需满足什么样条件才能成为某个空间再生核.为此，先介绍正定函数的有关概念.
定义4 若 为一集合， 是定义在 上，满足 = 的复值函数.对于 中任意有限个点 ，矩阵 是非负定的，即对 复数 有
则称 是正定的，记为 0.若当 互异，且 不全为0时，上式严格不等号总成立，则称 是严格正定的.
引理1 若 为 上的正定函数，则对于 ，有
.
证明 因 为正定函数，据定义4知，矩阵
是非负定的，即它的行列式非负，则 .又 = ,引理得证.
定理5 设 上内积空间 具有再生核 ，那么 是 上的正定函数.若 中任意的有限个互异点 所对应的赋值泛函 在 上是线性无关的，则 严格正定.
证明 对于 和 ，根据再生核的性质，有
. (**)
这说明矩阵 是正定的.定理的第一个结论得证.
下面我们证明第二个结论.在所给条件中，假设 不是严格正定的，则在 中存在互异的有限个点 和不全为零的复数 使得
.
再由（**）知 （H的零元素），于是，对于任意的 ，有
因为 不全为零，故 是线性相关的，矛盾.
下面我们简单介绍由正定函数生成再生核空间
定理6 设 为 上的正定函数，则 必定是B上某个内积空间的再生核.(证明详见再生核的理论与应用 张新建著.)
2.3加权再生核空间的构造方法
2.3.1 给出求解W1[0,1]再生核的求解方法
1. 记 = 为绝对连续的实值函数，
，
其内积和范数分别定义为
, , （*）
‖ ‖ =
下面介绍 的再生核求解方法：
利用分部积分对（*）进行整理，有
若
可得
由 的光滑性，显然， 等价于下列微分方程定解问题的解
上述方程组的特征方程为
解得 , , , 0，
即为W [0,1]的再生核。
2.3.2加权再生核空间
通过以上基本理论的学习，我们下面开始给出两个具体的再生核求解方法，求出其再生核.
1.第一类加权再生空间的再生核计算方法
记 ={ | , , }
其内积定义为
+ +
记其再生核为 ,下面介绍其求解方法
证：
(1.1)
由已知 (1.2)
若 , ,
(1.3)
进一步，若 (1.4)
则
根据（1.4）知 ,i=0,1,2,3,4 (1.5)
从 到 对(1.4)进行积分，并令 0，得
故 (1.6)
显然 是满足(1.2)(1.3)(1.5)(1.6)的定解问题(1.4)的解
(1.4)的特征方程为
即
得 （3重根） （3重根）
故可设
因为 在 点处连续
故 等号在上、下均可
从(1.2)、(1.3)、(1.5)、(1.6) 等 12个定解条件可以确定待定系数
c 与d
2.第二类加权再生核空间的再生核计算方法
记 ={ | 绝对连续， }
其内积定义为
其再生核为
解：对 ，由分部积分
+
为了使
要求 (2.1)
且 (2.2)
根据(1)
因此
2.1对于第二类加权再生核空间的拓展,给出第二类一般形式的求解方法.
绝对连续，
其内积定义为
证明 对于任意 ，又分部积分得
为了使
要求 (2.1.1)
且 (2.1.2)
显然
因此 ，
进一步
对(1)从 到 积分，并令 得
即 (2.1.3)
根据 的光滑性知
(2.1.4)
摘 要
关于核函数的概念开始于积分算子理论。再生核理论是泛函分析中最早成熟的部分，该理论不仅在算子理论、解析函数等数学领域意义重大，而且在信号分析、概率论的随机过程和图像还原等实际应用中起着同样重要的作用。本论文主要讨论再生核空间的基本概念和主要性质，给出两类加权再生核的构造方法，在此基础上，进一步将该空间应用于奇异积分方程和摄动问题的数值处理。以下是本篇论文的主要研究内容：开始，我们将介绍再生核空间理论的背景与发展前景，接下来，给出再生核空间的定义，以及如何判别一个再生核，给出其一些重要性质。在以上的理论基础上给出两类加权再生核空间的构造方法，最后将其运用于求解奇异积分方程和摄动问题。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:再生核加权再生核空间内积
目 录
第1章 绪论········································1
1.1背景介绍·······································1
1.2发展前景·······································1
第2章 再生核空间的基本理论与构造·············2
2.1再生核空间的基本理论······························2
2.2再生核空间的基本性质······························2
2.3加权再生核空间的构造方法···························6
第3章 再生核空间的应用·····························13
3.1 第一类加权再生核空间的应用············13
3.2 第二类加权再生核空间的应用············14
总结············································15
参考文献·········································16
第1章 绪论
本小节将叙述再生核理论的发展历史及其在国内的研究现状，并对其发展前景做相关的介绍，为后续章节介绍再生核的基本理论与性质做基础铺垫。
1.1背景介绍
Hilbert核空间理论起始于1921和1922年贝格曼发表的的论文。贝格曼首次将核与函数空间相关联，描述了核的再生性。后来，Aronszajn发表了相关论文，论文名为TheorYofreprvducingkernels，为再生核理论框架形成奠定了基础。随后，核理论在奇摄动问题、积分方程、偏微分方程
1.2发展前景
再生核理论从诞生到今天，广泛运用于数学研究的很多相关领域。再生核理论的建立，为相关科学研究提供了一个强有力的重要工具，对其灵活的使用，能够使很多问题简单化。随着再生核理论的不断创新与发展，其理论在信息科学、物理学、概率论随机事件和数理统计等众多领域的应用，激发了很多研究人员的兴趣。不仅如此，再生核空间理论还为信号分析、小波分析、无网格数值方法的相关领域增加了新的课题研究，在将来的某一天，再生核理论可能会为这些课题研究带来意想不到的效果。由上所述，我们了解再生核空间理论自身具有很大的优越性，对其理论与实际运用方面的研究依然还有很长的路要走，需要广大学者与研究人员的共同努力，进一步推动再生核理论的发展，完善再生核理论，深化其的运用领域，为理论的发展不断注入新的活力。
第2章 Hilbert空间的基本理论及其构造方法
2.1 再生核空间基本理论
本小节我们首先介绍内积空间与Hilbert空间的相关定义，继而介绍如何判别一个Hilbert核空间，给出相关引理，通过本小节，为下面章节构造再生核打下理论基础.
定义 1 设 是数域 上线性空间。映射 若符合如下三个性质，则称 为 上的一个内积，称 或者 为内积空间：
1) , , （正定性）
2) , （共轭对称性）
3） ， ， (对第一变元线性)
根据习惯，通常把 记作 .
定义 2 设 为定义在集合 （非空）上的复值函数构成的一个 空间，其内积定义为 ，K: 称为 的再生核的充要条件为
称上述2）叫做再生性。若一个Hilbert空间具有再生核，则称其为再生核空间（再生核Hilbert空间）。
2.2再生核的基本性质
2.2.1再生核空间中收敛性质
定理1 若 是 上的再生核空间， 为其再生核，有一线性子空间由
, 生成，则该子空间在 中稠密.
证明: 对于 ，易知 与 （ ）生成的子空间正交的充要条件为 ，从而 即 =0.由此知，定理成立.
定理2 若 为 上的再生核空间，记其再生核为 ，函数列
(i)如果 弱收敛至 ，则 逐点收敛到 ；
(ii)如果 强收敛至 ，且 在某一子集 有界，那么 一定在 上收敛（一致收敛）到 .
证明: (i)因为 弱收敛到 ，则 ，即
（ii）因为 强收敛到 ，即 ，由
=
即知结论成立.
2.2.2再生核存在性
定义3 设H为某集B上的内积空间，若对 存在一常数 使得，对 ，有 ，则称 是 上的赋值型内积函数空间.简记赋值型内积空间.
定理3 （i）若 上内积空间 存在再生核，则H必是赋值型内积空间;
(ii)若 是 上赋值型Hilbert空间，则H必然是再生核Hilbert空间.
证明见《再生核的理论与应用》 ，张新建著.
定理4 设 为定义在 上的函数构成的非完备的再生核内积空间，其内积为 ，相应的范数为 ，再生核为 ,则 也是 的完备化空间 的再生核.
证明: 根据完备化概念知，对 ，存在 ，使得 ，且 ，于是，对任意 ，有
即 是H的再生核.
上述定理说明，满足什么条件的时候，内积空间一定存在再生核.
2.2.3再生核的正定性
现在再来考察一个定义在某集合 上的函数 需满足什么样条件才能成为某个空间再生核.为此，先介绍正定函数的有关概念.
定义4 若 为一集合， 是定义在 上，满足 = 的复值函数.对于 中任意有限个点 ，矩阵 是非负定的，即对 复数 有
则称 是正定的，记为 0.若当 互异，且 不全为0时，上式严格不等号总成立，则称 是严格正定的.
引理1 若 为 上的正定函数，则对于 ，有
.
证明 因 为正定函数，据定义4知，矩阵
是非负定的，即它的行列式非负，则 .又 = ,引理得证.
定理5 设 上内积空间 具有再生核 ，那么 是 上的正定函数.若 中任意的有限个互异点 所对应的赋值泛函 在 上是线性无关的，则 严格正定.
证明 对于 和 ，根据再生核的性质，有
. (**)
这说明矩阵 是正定的.定理的第一个结论得证.
下面我们证明第二个结论.在所给条件中，假设 不是严格正定的，则在 中存在互异的有限个点 和不全为零的复数 使得
.
再由（**）知 （H的零元素），于是，对于任意的 ，有
因为 不全为零，故 是线性相关的，矛盾.
下面我们简单介绍由正定函数生成再生核空间
定理6 设 为 上的正定函数，则 必定是B上某个内积空间的再生核.(证明详见再生核的理论与应用 张新建著.)
2.3加权再生核空间的构造方法
2.3.1 给出求解W1[0,1]再生核的求解方法
1. 记 = 为绝对连续的实值函数，
，
其内积和范数分别定义为
, , （*）
‖ ‖ =
下面介绍 的再生核求解方法：
利用分部积分对（*）进行整理，有
若
可得
由 的光滑性，显然， 等价于下列微分方程定解问题的解
上述方程组的特征方程为
解得 , , , 0，
即为W [0,1]的再生核。
2.3.2加权再生核空间
通过以上基本理论的学习，我们下面开始给出两个具体的再生核求解方法，求出其再生核.
1.第一类加权再生空间的再生核计算方法
记 ={ | , , }
其内积定义为
+ +
记其再生核为 ,下面介绍其求解方法
证：
(1.1)
由已知 (1.2)
若 , ,
(1.3)
进一步，若 (1.4)
则
根据（1.4）知 ,i=0,1,2,3,4 (1.5)
从 到 对(1.4)进行积分，并令 0，得
故 (1.6)
显然 是满足(1.2)(1.3)(1.5)(1.6)的定解问题(1.4)的解
(1.4)的特征方程为
即
得 （3重根） （3重根）
故可设
因为 在 点处连续
故 等号在上、下均可
从(1.2)、(1.3)、(1.5)、(1.6) 等 12个定解条件可以确定待定系数
c 与d
2.第二类加权再生核空间的再生核计算方法
记 ={ | 绝对连续， }
其内积定义为
其再生核为
解：对 ，由分部积分
+
为了使
要求 (2.1)
且 (2.2)
根据(1)
因此
2.1对于第二类加权再生核空间的拓展,给出第二类一般形式的求解方法.
绝对连续，
其内积定义为
证明 对于任意 ，又分部积分得
为了使
要求 (2.1.1)
且 (2.1.2)
显然
因此 ，
进一步
对(1)从 到 积分，并令 得
即 (2.1.3)
根据 的光滑性知
(2.1.4)
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