非局部边值问题的数值方法
非局部边值问题的数值方法学院数学与统计学院[20191209140704]
摘 要
非局部边值问题主要应用于化学工程、机械物理、分子生物和项目计算等众多领域，是研究微分方程的一个重要分支。非局部边值问题还可通过泛函微分方程有效模拟一些生物系统、化学系统、物理系统以及经济系统等复杂现象，因此，这类问题引起众多研究人员的兴趣。借助再生核构造方法，讨论一种求解非局部边值问题的常微分方程的计算方法，最后通过数值算例来验证所讨论方法的有效性和精度。
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关键字:非局部边值再生核数值算例
Keywords: Nonlocal boundary value；Reproducing kernel；Numerical example目 录
第1章 绪论1
1.1背景介绍1
1.2研究现状1
1.3研究理论2
1.4研究目的和意义2
第2章 非局部边值问题的再生核构造方法3
2.1满足线性三点非局部边值条件的再生核构造方法3
2.2满足线性四点非局部边值条件的再生核构造方法4
2.3满足一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法6
第3章 一种非局部边值问题新的数值计算方法9
总结12
参考文献13
致谢14
第1章 绪论
1.1 背景介绍
微分方程在实际应用中具有广泛的适用背景，在各个领域都有所涉及，例如化学工程、物理工程、生物工程和金融工程等。求解非局部边值问题的微分方程具有重大地位，是属于研究求解复杂微分方程的重要领域之一。其中涉及到非局部边界条件的讨论，边界条件不仅取决于区间端点处的取值信息，而且还依赖于区间内部的取值信息。其中还涉及到再生核的一些知识，本论文将给出这些知识的重要内容，并对这些内容进行深刻掌握。
非局部边值问题的常微分方程源于应用数学，物理工程等领域，例如桥梁设计、农作物害虫防治等问题都需要我们用常微分方程去分析解决。本课题介绍线性三阶三点边值问题的再生核构造方法、线性四阶四点边值问题的再生核构造方法以及一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法。最后，作者再给出一种关于非局部边值问题微分方程的新的求解方法。然而，关于非局部边值问题的研究成果较少，原因是方法非常复杂，计算量非常大。因此，对非局部边值问题的研究，可以解决实际项目中遇到的问题。
综上，鉴于非局部边值的实际应用和科研背景，本论文对非局部边值问题数值方法的研究非常有必要，对我们进行科学研究也有着非常重要的意义。
1.2 研究现状
本课题的研究起步很早，其基本理论基于微分方程，在十五世纪末，著名瑞士数学家伯努利建立了微分方程两点边值问题模型，开创了常微分方程问题的研究，后来慢慢得到国内外数学家的扩展。经过几个世纪的研究和发展，微分方程两点边值问题得到快速的进展，在各个研究领域都取得了丰硕的研究成果，微分方程两点边值问题依然是当前的研究热点。
基于微分方程边值问题的科学进展，其中微分方程非局部边值问题也得到了越来越多的人去研究。在1987 年和1996 年，国外学者Hoog , Mattheij[1] 和Gupta[2]研究了非局部边值问题存在性，以及对这类问题进行分析建模，开始了对关于这类微分方程问题的研究。非局部边值问题引起大量国内外学者和专家的关注，并对其进行研究，此后，发展情况相对迅速。
1.3 研究理论
本课题的研究涉及最基础的常微分方程[3]、数值分析[4,5]、泛函分析[6,7]以及一些基本的再生核理论知识。西北工业大学马如云教授[8]在常微分方程研究领域方面取得了大量的研究成果，其在多点边值问题以及一些常微分方程泛函边值问题解的基本属性方面有重大贡献。他在常微分方程非局部边值问题方面著作的《非线性常微分方程非局部问题》教材中，给予了作者研究本课题很大的帮助。
1.4 研究的目的和意义
非局部边值问题的数值方法是一种计算设计及分析的方式，利用此方法可以处理许多领域的问题，并针对这些问题得到近似乃至精确的结果。例如保险公司会利用数值软件进行精算分析,天气预报中会涉及到一些复杂的数值分析方法，建筑工程的外观设计,地理信息数据的处理等等, 总之，在汽车制造、航天航空、桥梁设计、地质勘探的科学研究和工程技术中都要用到各种数值计算方法。
在研究领域的一个重要分支与非局部边界值微分方程，它被定义为非局部边界条件的问题被称为非局部问题的微分方程。（参考文献[9][10]）。非局部边值微分方程从其它学科的科学研究中产生并在生活中进行发展，是一种分析和解决科学与工程问题的有利工具，其研究和应用领域不断扩大。在理论研究和实际应用中，本课题通过对非局部边值问题的数值方法的研究有着重要意义。
第2章 非局部边值问题的再生核构造方法
2.1 满足线性三点非局部边值条件的再生核构造方法
首先通过线性三阶三点边值问题给出线性非局部常微分方程的求解方法。考虑如下的线性三阶三点边值的微分方程：
(2.1.1)
其中 ， ， ， ， 。目前我们只考虑齐次边界条件 ， ， ，这里由于 ， ， 这些非齐次边界条件可以通过变量变换化为 ， ， 。
为了求解关于线性三阶三点边值问题的微分方程，首先需要构造满足方程（2.1.1）再生核方法,（参考文献[11][12]）。本节给出其再生核的构造方法。
定义 2.1 空间 是绝对连续实值函数， ， ，其内积和范数分别定义为
（2.1.2）
下面，我们给出一些再生核定理：
定理 2.1 空间 是再生核空间，且其再生核为
（2.1.3）
其中
定理 2.2 空间 是 的闭子空间。
定理 2.3 空间 是再生核空间。
定理 2.4 空间 的再生核 为
（2.1.4）
我们给出定理2.4的证明如下：
证明：很显然，空间 存在函数 ，且满足 。故
由方程（2.1.4），得出
即得
对 ，显然， 。通过已知再得出
总之， 具有再生性。由此，空间 的再生核为 。
我们通过本节熟悉了一些关于再生核的基本理论，并且构造了满足线性三阶三点边值问题的再生核方法。最后我们可以利用崔明根等[13]提出的再生核方法求解方程（2.1.1）。
2.2 满足线性四点非局部边值条件的再生核构造方法
本节我们将通过线性四阶四点边值问题的研究找出其再生核构造方法。考虑如下的线性四阶四点边值的微分方程：
（2.2.1）
其中 ， 。首先我们考虑逐次逼近法，我们同上节一样只考虑齐次边界条件 ， ， ， 。将其转化为齐次边界条件很容易通过变量变换。
为了求解四阶四点边值问题的微分方程的求解方法，我们提出了逐次逼近法，首先需要构造满足方程（2.2.1）再生核空间的再生核，本节给出四点边界条件的再生核构造方法。
定义 2.2 空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
（2.2.2）
下面我们通过逐次逼近法提出一些定理，如下：
定理 2.5 空间 是再生核空间，且其再生核为
（2.2.3）
其中
定义 2.3 空间 。
我们可以根据上面的定理，可得下面的定理：
定理 2.6 空间 是 的闭子空间。
定理 2.7 空间 是再生核空间。
定理 2.8 空间 的再生核 为
（2.2.4）
下面我们给出定理2.8的证明
证明： 由于 ， ，且 ，即
其中 ，即可化为 。
由上面的方程（2.2.4），可以得到：
即
对 ，显然
从而
也即， 具有再生性。
因此，空间 的再生核是 。
通过本节我们熟悉了一些满足线性四阶四点边值问题再生核基本的定义和定理，并且构造了其再生核方法。
2.3 满足一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法
通过前两节的讨论，我们构造出线性三阶三点边值问题和线性四阶四点边值问题的再生核方法，接下来，本节将对一般的常微分方程非局部问题的线性非局部条件进行讨论，并构造其再生核方法。考虑如下的非局部问题方程
（2.3.1）
其中 ， 是一般的线性非局部条件，如下：
或则为
类似前两节，在总结线性三阶三点边值问题和线性四阶四点边值问题的再生核构造方法的前提上，给出满足一般的常微分方程非局部问题的线性非局部条件的再生核构造方法。下面给出一些定义和定理。
定义 2.4 空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
（2.3.2）
定理 2.9 空间 是再生核空间，则其再生核为
（2.3.3）
其中：
定义 2.5 空间 ，即，空间 是 的闭子空间。
可得如下定理：
定理 2.10 空间 是再生核空间。
定理 2.11 空间 的再生核为
（2.3.4）
其中关于算子 的脚标 表示算子 作用于 的函数。
此定理证明如下：
证明： 存在 ，且 ，故有 。
且
=0
很容易看出， 。
且对任意的 ，有
从而有
即， 具有再生性，因此，空间 的再生核为 。
接下来对于方程（2.3.1），我们构造满足微分方程的两个线性非局部边界条件的再生核。其再生核空间以及再生核定义如下：
定义 2.6 空间 ，即，空间 是 的闭子空间。
且有如下定理：
定理 2.12 空间 是再生核空间。
定理 2.13 空间 的再生核为
（2.3.5）
其中关于算子 的脚标x表示算子 作用于x的函数。
通过本节所介绍关于一般的常微分方程非局部问题的再生核方法的定义和定理，我们可以很容易将其再生核构造出来。
第3章 一种非局部边值问题新的数值计算方法
通过上一章讨论的内容，我们已经了解了常微分方程非局部边值问题的再生核构造方法。（可参考文献[14]）。本章在上一章研究的基础上，提出一种关于非局部边值问题新的再生核构造和数值计算方法，以及提供了有效的数值算例。
在本章中，我们考虑如下所示的两阶两点边值问题的非局部微分方程的误差估计方法：
（3.1）
其中 , 是连续的，并且 在（1,1）处满足存在性和唯一性。
注意： 和 包含几种类型的边界条件：两点条件、多点条件、以及积分条件。
接下来介绍微分方程（3.1）的数值求法以及一些基本理论。
定义 3.1 是一个绝对连续实值函数， 。在空间 中，其内积和范数分别定义为：
（3.2）
定理 3.1 满足 和微分边值方程（3.1），即
是微分方程（3.1）的一个近似解决方案。
定理 3.2 空间 ，如果 是微分方程（3.1）的一个近似解决方案并且 ，则
其中 ， 是一个常数， 。
摘 要
非局部边值问题主要应用于化学工程、机械物理、分子生物和项目计算等众多领域，是研究微分方程的一个重要分支。非局部边值问题还可通过泛函微分方程有效模拟一些生物系统、化学系统、物理系统以及经济系统等复杂现象，因此，这类问题引起众多研究人员的兴趣。借助再生核构造方法，讨论一种求解非局部边值问题的常微分方程的计算方法，最后通过数值算例来验证所讨论方法的有效性和精度。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:非局部边值再生核数值算例
Keywords: Nonlocal boundary value；Reproducing kernel；Numerical example目 录
第1章 绪论1
1.1背景介绍1
1.2研究现状1
1.3研究理论2
1.4研究目的和意义2
第2章 非局部边值问题的再生核构造方法3
2.1满足线性三点非局部边值条件的再生核构造方法3
2.2满足线性四点非局部边值条件的再生核构造方法4
2.3满足一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法6
第3章 一种非局部边值问题新的数值计算方法9
总结12
参考文献13
致谢14
第1章 绪论
1.1 背景介绍
微分方程在实际应用中具有广泛的适用背景，在各个领域都有所涉及，例如化学工程、物理工程、生物工程和金融工程等。求解非局部边值问题的微分方程具有重大地位，是属于研究求解复杂微分方程的重要领域之一。其中涉及到非局部边界条件的讨论，边界条件不仅取决于区间端点处的取值信息，而且还依赖于区间内部的取值信息。其中还涉及到再生核的一些知识，本论文将给出这些知识的重要内容，并对这些内容进行深刻掌握。
非局部边值问题的常微分方程源于应用数学，物理工程等领域，例如桥梁设计、农作物害虫防治等问题都需要我们用常微分方程去分析解决。本课题介绍线性三阶三点边值问题的再生核构造方法、线性四阶四点边值问题的再生核构造方法以及一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法。最后，作者再给出一种关于非局部边值问题微分方程的新的求解方法。然而，关于非局部边值问题的研究成果较少，原因是方法非常复杂，计算量非常大。因此，对非局部边值问题的研究，可以解决实际项目中遇到的问题。
综上，鉴于非局部边值的实际应用和科研背景，本论文对非局部边值问题数值方法的研究非常有必要，对我们进行科学研究也有着非常重要的意义。
1.2 研究现状
本课题的研究起步很早，其基本理论基于微分方程，在十五世纪末，著名瑞士数学家伯努利建立了微分方程两点边值问题模型，开创了常微分方程问题的研究，后来慢慢得到国内外数学家的扩展。经过几个世纪的研究和发展，微分方程两点边值问题得到快速的进展，在各个研究领域都取得了丰硕的研究成果，微分方程两点边值问题依然是当前的研究热点。
基于微分方程边值问题的科学进展，其中微分方程非局部边值问题也得到了越来越多的人去研究。在1987 年和1996 年，国外学者Hoog , Mattheij[1] 和Gupta[2]研究了非局部边值问题存在性，以及对这类问题进行分析建模，开始了对关于这类微分方程问题的研究。非局部边值问题引起大量国内外学者和专家的关注，并对其进行研究，此后，发展情况相对迅速。
1.3 研究理论
本课题的研究涉及最基础的常微分方程[3]、数值分析[4,5]、泛函分析[6,7]以及一些基本的再生核理论知识。西北工业大学马如云教授[8]在常微分方程研究领域方面取得了大量的研究成果，其在多点边值问题以及一些常微分方程泛函边值问题解的基本属性方面有重大贡献。他在常微分方程非局部边值问题方面著作的《非线性常微分方程非局部问题》教材中，给予了作者研究本课题很大的帮助。
1.4 研究的目的和意义
非局部边值问题的数值方法是一种计算设计及分析的方式，利用此方法可以处理许多领域的问题，并针对这些问题得到近似乃至精确的结果。例如保险公司会利用数值软件进行精算分析,天气预报中会涉及到一些复杂的数值分析方法，建筑工程的外观设计,地理信息数据的处理等等, 总之，在汽车制造、航天航空、桥梁设计、地质勘探的科学研究和工程技术中都要用到各种数值计算方法。
在研究领域的一个重要分支与非局部边界值微分方程，它被定义为非局部边界条件的问题被称为非局部问题的微分方程。（参考文献[9][10]）。非局部边值微分方程从其它学科的科学研究中产生并在生活中进行发展，是一种分析和解决科学与工程问题的有利工具，其研究和应用领域不断扩大。在理论研究和实际应用中，本课题通过对非局部边值问题的数值方法的研究有着重要意义。
第2章 非局部边值问题的再生核构造方法
2.1 满足线性三点非局部边值条件的再生核构造方法
首先通过线性三阶三点边值问题给出线性非局部常微分方程的求解方法。考虑如下的线性三阶三点边值的微分方程：
(2.1.1)
其中 ， ， ， ， 。目前我们只考虑齐次边界条件 ， ， ，这里由于 ， ， 这些非齐次边界条件可以通过变量变换化为 ， ， 。
为了求解关于线性三阶三点边值问题的微分方程，首先需要构造满足方程（2.1.1）再生核方法,（参考文献[11][12]）。本节给出其再生核的构造方法。
定义 2.1 空间 是绝对连续实值函数， ， ，其内积和范数分别定义为
（2.1.2）
下面，我们给出一些再生核定理：
定理 2.1 空间 是再生核空间，且其再生核为
（2.1.3）
其中
定理 2.2 空间 是 的闭子空间。
定理 2.3 空间 是再生核空间。
定理 2.4 空间 的再生核 为
（2.1.4）
我们给出定理2.4的证明如下：
证明：很显然，空间 存在函数 ，且满足 。故
由方程（2.1.4），得出
即得
对 ，显然， 。通过已知再得出
总之， 具有再生性。由此，空间 的再生核为 。
我们通过本节熟悉了一些关于再生核的基本理论，并且构造了满足线性三阶三点边值问题的再生核方法。最后我们可以利用崔明根等[13]提出的再生核方法求解方程（2.1.1）。
2.2 满足线性四点非局部边值条件的再生核构造方法
本节我们将通过线性四阶四点边值问题的研究找出其再生核构造方法。考虑如下的线性四阶四点边值的微分方程：
（2.2.1）
其中 ， 。首先我们考虑逐次逼近法，我们同上节一样只考虑齐次边界条件 ， ， ， 。将其转化为齐次边界条件很容易通过变量变换。
为了求解四阶四点边值问题的微分方程的求解方法，我们提出了逐次逼近法，首先需要构造满足方程（2.2.1）再生核空间的再生核，本节给出四点边界条件的再生核构造方法。
定义 2.2 空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
（2.2.2）
下面我们通过逐次逼近法提出一些定理，如下：
定理 2.5 空间 是再生核空间，且其再生核为
（2.2.3）
其中
定义 2.3 空间 。
我们可以根据上面的定理，可得下面的定理：
定理 2.6 空间 是 的闭子空间。
定理 2.7 空间 是再生核空间。
定理 2.8 空间 的再生核 为
（2.2.4）
下面我们给出定理2.8的证明
证明： 由于 ， ，且 ，即
其中 ，即可化为 。
由上面的方程（2.2.4），可以得到：
即
对 ，显然
从而
也即， 具有再生性。
因此，空间 的再生核是 。
通过本节我们熟悉了一些满足线性四阶四点边值问题再生核基本的定义和定理，并且构造了其再生核方法。
2.3 满足一般的常微分方程非局部问题的再生核构造方法
通过前两节的讨论，我们构造出线性三阶三点边值问题和线性四阶四点边值问题的再生核方法，接下来，本节将对一般的常微分方程非局部问题的线性非局部条件进行讨论，并构造其再生核方法。考虑如下的非局部问题方程
（2.3.1）
其中 ， 是一般的线性非局部条件，如下：
或则为
类似前两节，在总结线性三阶三点边值问题和线性四阶四点边值问题的再生核构造方法的前提上，给出满足一般的常微分方程非局部问题的线性非局部条件的再生核构造方法。下面给出一些定义和定理。
定义 2.4 空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
（2.3.2）
定理 2.9 空间 是再生核空间，则其再生核为
（2.3.3）
其中：
定义 2.5 空间 ，即，空间 是 的闭子空间。
可得如下定理：
定理 2.10 空间 是再生核空间。
定理 2.11 空间 的再生核为
（2.3.4）
其中关于算子 的脚标 表示算子 作用于 的函数。
此定理证明如下：
证明： 存在 ，且 ，故有 。
且
=0
很容易看出， 。
且对任意的 ，有
从而有
即， 具有再生性，因此，空间 的再生核为 。
接下来对于方程（2.3.1），我们构造满足微分方程的两个线性非局部边界条件的再生核。其再生核空间以及再生核定义如下：
定义 2.6 空间 ，即，空间 是 的闭子空间。
且有如下定理：
定理 2.12 空间 是再生核空间。
定理 2.13 空间 的再生核为
（2.3.5）
其中关于算子 的脚标x表示算子 作用于x的函数。
通过本节所介绍关于一般的常微分方程非局部问题的再生核方法的定义和定理，我们可以很容易将其再生核构造出来。
第3章 一种非局部边值问题新的数值计算方法
通过上一章讨论的内容，我们已经了解了常微分方程非局部边值问题的再生核构造方法。（可参考文献[14]）。本章在上一章研究的基础上，提出一种关于非局部边值问题新的再生核构造和数值计算方法，以及提供了有效的数值算例。
在本章中，我们考虑如下所示的两阶两点边值问题的非局部微分方程的误差估计方法：
（3.1）
其中 , 是连续的，并且 在（1,1）处满足存在性和唯一性。
注意： 和 包含几种类型的边界条件：两点条件、多点条件、以及积分条件。
接下来介绍微分方程（3.1）的数值求法以及一些基本理论。
定义 3.1 是一个绝对连续实值函数， 。在空间 中，其内积和范数分别定义为：
（3.2）
定理 3.1 满足 和微分边值方程（3.1），即
是微分方程（3.1）的一个近似解决方案。
定理 3.2 空间 ，如果 是微分方程（3.1）的一个近似解决方案并且 ，则
其中 ， 是一个常数， 。
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