反常积分的研究(附件)【字数：5410】
摘 要摘 要反常积分在大学数学中关注的并不太多。但是在现实生活中，越来越多的问题需要用到反常积分，比如第二宇宙速度，在计算储蓄的年金方面。随着反常积分应用的广泛化，我们需要对它有更多的关注。深入研究反常积分有助于我们理解数学分析原理和解决相关的问题。反常积分包括两大类无穷积分和瑕积分,他们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。反常积分的敛散性判别和计算是反常积分的基础。无穷积分和瑕积分本质上都是运算，只不过是对两种不同的变量求解，但同时都是一个极限过程。因此我们以反常积分相关背景作为切入点，阐述反常积分的定义，性质以及研究其敛散性的判别方法。此外，还对反常二重积分的相关问题，反常积分在生活中的简单应用进行探讨。最后，还简要的探究了无穷积分与无穷级数之间的联系与区别。关键词反常积分；数学分析；反常二重积分；无穷级数
目 录
第一章 绪论 1
第二章 无穷区间的反常积分的性质及其敛散性判别 2
2.1 无穷积分的定义 2
2.2 无穷积分性质 3
2.3 无穷积分的敛散性判别 3
第三章 瑕积分的定义与性质讨论 8
3.1 瑕积分的定义 8
3.2 瑕积分的性质 9
第四章 反常二重积分的讨论 10
4.1 反常二重积分的定义 10
4.2 反常二重积分的性质 11
第五章 反常积分的计算和收敛性判别的举例 13
5.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例 13
5.1.1 反常积分的计算举例 13
5.2 反常积分的收敛性判别举例 15
第六章 无穷积分与无穷级数的联系与区别 17
6.1 无穷级数的简单介绍 17
6.2 无穷积分与无穷级数的联系 19
6.3 无穷积分和无穷级数之间的区别 21
结语 23
致谢 24
参考文献 25
第一章 绪论
积分学是微积分理论中的一个重要组成部分，Riemann 积分就是我们所说的正常积分、定积分。Riemann 积分首先必须满足：（1）积分 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
区间有限；（2）被积函数在区间上有界。然而在现实的生活中一些积分无法满足这两个条件，但是需要求解积分。所以，我们必须要突破Riemann积分的限制条件，考虑积分区间无穷或被积函数无界的积分问题，从而出现“反常积分”。
反常积分是数学分析中一个重要的概念，是数学分析中更为一般的积分，因而在实际生活中反常积分的应用更为普遍，所以很有必要研究反常积分的敛散性和计算方法。其实定积分中的分部积分法，换元积分法等计算方法也可以用到反常积分的计算中。当然反常积分还有很多其他计算方法：如留数定理，二重积分理论等。反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制，但是无穷积分主要讨论无穷区间上的“积分”问题，而瑕积分则是无界函数的积分问题。他们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉的定积分问题进行研究。正确地使用这些方法，反常积分的计算也就迎刃而解了，并且解答过程简洁明了。通过研究可以知道无穷区间积分与瑕积分是可以相互转化的，而且反常积分与数值级数之间有着深刻的类比，根据反常积分的一些定理和性质，在传统的判别方法基础上可以发现一些新的判别方法。
如果积分区间连续且有界，被积函数在该区间上积分后得出确定的值，即有界。但是在真正的应用（特别是物理应用）中，这种情况无法满足需求，因此我们需要其他形式的积分。所以，积分的概念要延伸和推广，从而允许我们可以讨论区间无限，无界函数等类似的积分问题。
第二章 无穷区间的反常积分的性质及其敛散性判别
2.1 无穷积分的定义
定义2.1.1[1] 设函数若存在，则称此极限为函在上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
，
这时称反常积分收敛；如果极限上述积分不存在，则称 发散。
类似的，如果，那么定义
.
如果，那么定义
,
(c是就称任意确定的常数)，只要有一个极限不存在，就称 发散。
定理2.1.2[1] 无穷积分 收敛的充要条件是：任给,存在 只要,便有
.
2.2 无穷积分性质
下面我们介绍一下无穷反常积分的性质。
性质2.2.1[1] （线性性质）若均是收敛的，是任意的常数，那么也收敛。
性质2.2.2[1]若在任何有限区间 上可积， ,则与同时收敛或者同时发散，且有
.
注：收敛的另一个充要条件：任意给存在，当时，总会有
.
事实上，收敛
当时，
当时，
当时，.
性质2.2.3[1] 若在任何有限区间上可积，且有收敛，则也必定收敛，并有
.
2.3 无穷积分的敛散性判别
对反常积分，若对任意的，存在，称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值，即。故可以看出，反常积分由定义计算可分两步：
第一步：求定积分：.
第二步：取极限：.
例2.3.1 计算反常积分
解 第一步: ；
第二步：当趋于时，.
所以=0.
定理2.3.1[1](比较判别法)
设在区间上，有其中T是正数，并且对任何, 函数和在区间上均可积，所以如果收敛时，那么也收敛；若发散时，那么也发散。
目 录
第一章 绪论 1
第二章 无穷区间的反常积分的性质及其敛散性判别 2
2.1 无穷积分的定义 2
2.2 无穷积分性质 3
2.3 无穷积分的敛散性判别 3
第三章 瑕积分的定义与性质讨论 8
3.1 瑕积分的定义 8
3.2 瑕积分的性质 9
第四章 反常二重积分的讨论 10
4.1 反常二重积分的定义 10
4.2 反常二重积分的性质 11
第五章 反常积分的计算和收敛性判别的举例 13
5.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例 13
5.1.1 反常积分的计算举例 13
5.2 反常积分的收敛性判别举例 15
第六章 无穷积分与无穷级数的联系与区别 17
6.1 无穷级数的简单介绍 17
6.2 无穷积分与无穷级数的联系 19
6.3 无穷积分和无穷级数之间的区别 21
结语 23
致谢 24
参考文献 25
第一章 绪论
积分学是微积分理论中的一个重要组成部分，Riemann 积分就是我们所说的正常积分、定积分。Riemann 积分首先必须满足：（1）积分 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
区间有限；（2）被积函数在区间上有界。然而在现实的生活中一些积分无法满足这两个条件，但是需要求解积分。所以，我们必须要突破Riemann积分的限制条件，考虑积分区间无穷或被积函数无界的积分问题，从而出现“反常积分”。
反常积分是数学分析中一个重要的概念，是数学分析中更为一般的积分，因而在实际生活中反常积分的应用更为普遍，所以很有必要研究反常积分的敛散性和计算方法。其实定积分中的分部积分法，换元积分法等计算方法也可以用到反常积分的计算中。当然反常积分还有很多其他计算方法：如留数定理，二重积分理论等。反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制，但是无穷积分主要讨论无穷区间上的“积分”问题，而瑕积分则是无界函数的积分问题。他们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉的定积分问题进行研究。正确地使用这些方法，反常积分的计算也就迎刃而解了，并且解答过程简洁明了。通过研究可以知道无穷区间积分与瑕积分是可以相互转化的，而且反常积分与数值级数之间有着深刻的类比，根据反常积分的一些定理和性质，在传统的判别方法基础上可以发现一些新的判别方法。
如果积分区间连续且有界，被积函数在该区间上积分后得出确定的值，即有界。但是在真正的应用（特别是物理应用）中，这种情况无法满足需求，因此我们需要其他形式的积分。所以，积分的概念要延伸和推广，从而允许我们可以讨论区间无限，无界函数等类似的积分问题。
第二章 无穷区间的反常积分的性质及其敛散性判别
2.1 无穷积分的定义
定义2.1.1[1] 设函数若存在，则称此极限为函在上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
，
这时称反常积分收敛；如果极限上述积分不存在，则称 发散。
类似的，如果，那么定义
.
如果，那么定义
,
(c是就称任意确定的常数)，只要有一个极限不存在，就称 发散。
定理2.1.2[1] 无穷积分 收敛的充要条件是：任给,存在 只要,便有
.
2.2 无穷积分性质
下面我们介绍一下无穷反常积分的性质。
性质2.2.1[1] （线性性质）若均是收敛的，是任意的常数，那么也收敛。
性质2.2.2[1]若在任何有限区间 上可积， ,则与同时收敛或者同时发散，且有
.
注：收敛的另一个充要条件：任意给存在，当时，总会有
.
事实上，收敛
当时，
当时，
当时，.
性质2.2.3[1] 若在任何有限区间上可积，且有收敛，则也必定收敛，并有
.
2.3 无穷积分的敛散性判别
对反常积分，若对任意的，存在，称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值，即。故可以看出，反常积分由定义计算可分两步：
第一步：求定积分：.
第二步：取极限：.
例2.3.1 计算反常积分
解 第一步: ；
第二步：当趋于时，.
所以=0.
定理2.3.1[1](比较判别法)
设在区间上，有其中T是正数，并且对任何, 函数和在区间上均可积，所以如果收敛时，那么也收敛；若发散时，那么也发散。
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