数学分析中极限计算的若干方法(附件)【字数：5380】
摘 要摘 要极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要研究工具来研究函数的一门学科。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。数学分析中的很多重要概念，如函数的连续性、函数的导数、函数的定积分以及级数的收敛性等等都是借助于极限来定义的。可见，在数学分析课程的学习中，熟练掌握极限的计算方法是非常必要的。本文首先对极限的概念进行阐述；其次，介绍一些常用的求极限的方法包含四则运算法则，迫敛定理，无穷小量，重要极限公式，洛必达法则等等；最后，每种方法都予以实例说明。关键字数列极限；函数极限；迫敛定理
目 录
第一章 绪论 1
1.1 求极限方法的意义....1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 极限的定义 1
1.3.1 数列极限的定义 1
1.3.2 函数极限的定义 2
1.4 主要研究内容.............................................................................................................3
第二章 极限运算的多种求法 4
2.1 根据函数极限的性质求函数极限 4
2.1.1 根据左右极限定理求极限 4
2.1.2 根据极限的四则运算法则求极限 5
2.1.3 利用迫敛性求极限 5
2.1.4 两个重要的极限 6
2.1.5 用函数的连续性求极限 7
2.2 用变换法求函数极限 7
2.2.1 用初等变换求函数极限 7
2.2.2 用变量替换求函数极限 9
2.3 用等价无穷小求极限 10
2.4 根据洛必达法则求极限 11
2.5 幂指数函数求极限 14
2.6 利用泰勒展开式求极限 15
2.7 根据拉格朗日定理求极限 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
16
第三章 数列极限的求法 17
3.1 根据数列极限的性质求极限 17
3.2 根据海涅定理求极限 17
3.3 用定积分的定义求极限 18
结 论 20
致 谢 21
参考文献 22
第一章 绪论
1.1 选题的意义
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，极限的计算方法在数学分析中占有重要的位置，极限方法是微积分的基本方法，在数学分析中占有很重要的基础位置，极限的思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。熟练的计算能力是数学专业的基本功夫，本文对数学分析中常用的极限计算方法做了详细的说明。
1.2 国内外研究现状
作为研究的而基本方法极限思想，早在古代就有比较清楚的的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”是用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数的推广和深化。19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限的方法。近年来许多专家学者对函数的计算方法作了研究，并取得了一定的突破，房俊民[1]研究了用中值定理求函数极限的方法，曹学锋，孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。常见的求极限的方法包含无穷小量，重要极限的公式，洛必达法则等等。淮乃存[2]讨论了用定积分的定义求数列极限。而在实际的应用中并不是依靠唯一的方法，而是对多种方法的综合运用。本文通过一些典型的例题来讨论求极限的解法并加以综合运用。
1.3 极限的定义
1.3.1 数列极限
定义1.1[3] 设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于,定数称为的极限，记作
例1.1证明,这里。
证： 若,则结果是显然的，现设记,则
我们有
(11)
并由得到
对任给的,只要取 ,则当时，由（11）式得,这就证明
了。
1.3.2函数极限的定义
定义1.2[3] ① 设为定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数,使得当时有则称函数当趋于时以为极限
记作
数列极限是函数极限的特殊情况，在用定义求数列极限时解法类似。
② 趋于时的函数极限定义：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数使得当时有
则称函数当趋于时以为极限；记作
例1.2 证明 ()。
证：由于，，因此
于是，对任给的（不妨设）,取，则当时就有
③ 函数左右极限:设函数在(或)上有定义，为定数。若对任意的，存在正数()，使得当(或)时有,则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作
1.4主要研究内容
极限的类型很多，每种类型都有不同的方法，而且计算灵活多变，根据极限的类型不同，探究不同的方法解决问题，力求用最简单的方法解决问题。本文列举了大量的求极限的方法，系统的给出了求函数极限和数列极限的方法。并且本文用定理说明和例题解说的方式，理论和例子相结合，使得问题变得更加的简洁，高效简单的方法可以避免在考试中出现错误。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 求极限方法的意义....1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 极限的定义 1
1.3.1 数列极限的定义 1
1.3.2 函数极限的定义 2
1.4 主要研究内容.............................................................................................................3
第二章 极限运算的多种求法 4
2.1 根据函数极限的性质求函数极限 4
2.1.1 根据左右极限定理求极限 4
2.1.2 根据极限的四则运算法则求极限 5
2.1.3 利用迫敛性求极限 5
2.1.4 两个重要的极限 6
2.1.5 用函数的连续性求极限 7
2.2 用变换法求函数极限 7
2.2.1 用初等变换求函数极限 7
2.2.2 用变量替换求函数极限 9
2.3 用等价无穷小求极限 10
2.4 根据洛必达法则求极限 11
2.5 幂指数函数求极限 14
2.6 利用泰勒展开式求极限 15
2.7 根据拉格朗日定理求极限 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
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第三章 数列极限的求法 17
3.1 根据数列极限的性质求极限 17
3.2 根据海涅定理求极限 17
3.3 用定积分的定义求极限 18
结 论 20
致 谢 21
参考文献 22
第一章 绪论
1.1 选题的意义
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，极限的计算方法在数学分析中占有重要的位置，极限方法是微积分的基本方法，在数学分析中占有很重要的基础位置，极限的思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重要。熟练的计算能力是数学专业的基本功夫，本文对数学分析中常用的极限计算方法做了详细的说明。
1.2 国内外研究现状
作为研究的而基本方法极限思想，早在古代就有比较清楚的的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”是用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数的推广和深化。19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限的方法。近年来许多专家学者对函数的计算方法作了研究，并取得了一定的突破，房俊民[1]研究了用中值定理求函数极限的方法，曹学锋，孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。常见的求极限的方法包含无穷小量，重要极限的公式，洛必达法则等等。淮乃存[2]讨论了用定积分的定义求数列极限。而在实际的应用中并不是依靠唯一的方法，而是对多种方法的综合运用。本文通过一些典型的例题来讨论求极限的解法并加以综合运用。
1.3 极限的定义
1.3.1 数列极限
定义1.1[3] 设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于,定数称为的极限，记作
例1.1证明,这里。
证： 若,则结果是显然的，现设记,则
我们有
(11)
并由得到
对任给的,只要取 ,则当时，由（11）式得,这就证明
了。
1.3.2函数极限的定义
定义1.2[3] ① 设为定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数,使得当时有则称函数当趋于时以为极限
记作
数列极限是函数极限的特殊情况，在用定义求数列极限时解法类似。
② 趋于时的函数极限定义：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给的，存在正数使得当时有
则称函数当趋于时以为极限；记作
例1.2 证明 ()。
证：由于，，因此
于是，对任给的（不妨设）,取，则当时就有
③ 函数左右极限:设函数在(或)上有定义，为定数。若对任意的，存在正数()，使得当(或)时有,则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作
1.4主要研究内容
极限的类型很多，每种类型都有不同的方法，而且计算灵活多变，根据极限的类型不同，探究不同的方法解决问题，力求用最简单的方法解决问题。本文列举了大量的求极限的方法，系统的给出了求函数极限和数列极限的方法。并且本文用定理说明和例题解说的方式，理论和例子相结合，使得问题变得更加的简洁，高效简单的方法可以避免在考试中出现错误。
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