混沌系统的量子关联性质研究【字数：8392】
摘 要本文研究了一个3量子比特的量子受击陀螺的量子关联性质，并基于量子失协找到了经典混沌系统和量子系统的对应。在经典条件下，混沌这一现象在许多方面都是存在的，混沌系统具有初值敏感性。量子体系由于具有线性叠加原理的约束，所以混沌的基本性质被抑制。经典和量子世界是如何过渡或对应的，这是一个长时间热门的话题。30多年来，能谱分析、态密度函数分布、随机矩阵等方法都用来研究这个课题。最近的研究表明，经典混沌系统的性质和量子纠缠有重要的联系。我们通过研究发现，不仅有量子纠缠，量子体系间也还存在其他形式的联系，运用量子失协的计算可以量化量子关联。在不同初值下，周期受击陀螺空间分布演化同量子失协有明显的关联。我们发现，在经典的靠近周期轨道的区域，量子失协的值比较小，而在混沌区域中，量子失协的值就会较大。经典相空间中混沌区域随着打击强度增大而扩散，量子领域量子失协数值上也会随着打击强度增大而增大。
目录
第一章 绪论 1
1.1 混沌理论 1
1.1.1引言 1
1.1.2 混沌理论简介 2
第二章 量子关联和量子失协 4
2.1 量子关联的基础理论 4
2.1.1 量子测量 4
2.1.2可分态和纠缠态 4
2.2 量子失协 5
2.2.1 经典互信息熵 5
2.2.2 量子关联和量子失协 6
第三章 周期受击陀螺的量子失协与经典混沌的比较 9
3.1 周期受击陀螺模型 9
3.2 数据与结果 9
3.3 总结与展望 15
参考文献 17
致 谢 18
绪论
混沌理论
1.1.1引言
在经典条件下，混沌这一现象在许多方面都是存在的。关于混沌的研究也很普遍和深入。经典混沌现象最重要的表现之一，是其对系统初始状态的极度敏感，也就是我们常说的蝴蝶效应。对于混沌系统，当系统随着时间演化的时候，相邻的两条轨道会呈现指数式离散，意即，对于一个混沌系统，即使在两个相似度非常高，仅有轻微差别的初值下，在随时间的演化中也会变得非常不同。
混沌理论在宏观领域获得的非常可观的成绩，例 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
如在气象、航空及航天等领域作用巨大。但是在量子力学所涉及的微观尺度上不再适用：因为根据量子力学的基本原理，首先我们必须抛弃轨道的概念，也就是说我们不能再用一组微分方程来描述粒子的位置，粒子总是以波函数的形式存在，只有在测量过程中才会坍缩到某个特定的位置，而且根据海森堡不确定原理，两个物理量所对应的算符如果不能对易，这两个物理量就不能同时完全确定。这完全断绝了类似经典条件下微分方程数值解的可能性。在经典条件下，即时没有解析解，使用计算机数值计算的方法，我们依然可以在一定的精度限制下，在计算机数值计算的辅助下对系统进行研究，这在量子条件下一般是行不通的。其次，量子系统满足线性叠加原理，所以混沌这种非线性现象在量子力学领域是必然被抑制的。
即使如此，并不能说在量子条件下不存在混沌。即使是被抑制，我们坚信在一些条件下，混沌系统仍然存在经典量子的对应关系。同时，如果量子体系下缺少混沌表现，我们则必须找出从量子到经典的过渡过程，这也是研究量子力学的其中一个重要方面。
所以说混沌在量子力学下的表现是一个非常值得研究的课题[1]。研究者在对混沌系统的量子化表现进行研究时采用了许多的角度。包括：混沌系统的能谱统计，定态系统的在空间中的态密度分布，开放量子系统的测量和退相干动力学，以及系统对扰动的敏感度研究等。
根据量子态是否可分，可将其分为可分态和纠缠态。最近，量子纠缠和经典动力学混沌之间的关系引起了人们的注意。因为量子纠缠是在量子通信或者量子计算的核心资源之一，所以混沌和量子纠缠之间的关系就变得尤其重要。量子纠缠的度量包括纠缠熵等。在之前的研究中，我们发现量子系统的纠缠熵存在明显的经典量子对应关系。
近来一些人发现，量子体系之间的关联不仅仅是量子纠缠，量子纠缠只是量子关联的一种特例。研究还发现，即使是没有纠缠的系统，也有可能会存在着量子关联，而且量子关联同样也可以作为量子通信和量子计算的资源。量子关联的度量有很多种，例如量子失协、几何失协等。所以混沌与量子关联之间联系的研究也逐渐开始被研究者所重视。本文的主要目标，即研究经典混沌和量子失协的关联性质。
1.1.2 混沌理论简介
“混沌”[2，45]这一词汇的最早是出现在神话故事中，表示实物的混乱程度。约公元前560年左右的中国，以思想家老子为代表的道家就已经在其哲学思想中提出了宇宙是起源于混沌的这一学说，并且提出了“道可道非常道”[3]的说法。这一说法具有一定的朴素唯物主义思想。然而并不准确，根据热力学的说法，熵（Entropy）这个物理量是表示系统混乱程度的主要指标。热力学第二定律告诉我们，整个宇宙是熵增的，所以宇宙整体总是从有序走向无序。所以宇宙并非起源于混沌，而是从有序逐渐走向混沌。
早在1963年，物理学家Lorenz在对气象学进行研究的时候，发现当他进行数值计算时，通过长时间的计算，同样的数据条件下，计算机会给出非常不同的结果。这样的现象使Lorenz非常困扰。经过检查，计算机系统和软件并没有任何BUG。经过长时间的思考和尝试，最终Lorenz发现，因为在计算过程中，有些中间数据进行二次输入时，因为精度原因会对某些数据有效数字进行略微的调整减少，即使是很小的调整，对初值仅仅是十万分之一的影响，就有可能对最终的结果产生巨大的改变。后来Lorenz就在《大气科学》这一杂志上发表了“决定性的非周期流”[6]一文，他在文中认为气候不能够被人们确切从头演算和持久气候预报者不可预测天气这两者之间必定有着某种关系。即使在进行了多次技术革命，计算机能力以指数式增长的，几十年后的今天，我们的天气预报依然不能非常准确的预知一周以后的天气。混沌的普遍性，意味着这些点有可能存在于各个地方。上面的这些探究，同时描写了混沌的一种基本性质“对初始条件的敏感性”，而这就是著名的蝴蝶效应[7]，欧洲的一只蝴蝶拍下翅膀，可能会引发南美洲的一场飓风。可以说正是因为人们对于天气预报这一孜孜不倦的研究，才让我们得以一探混沌的一角。
1977年，一个历史性的时刻来临了，混沌科学也就是在此诞生，第一次的国际混沌会议在意大利隆重召开。《统计物理学杂志》在1978年刊登了一篇文章，文章中关于“一类非线性变换的定量的普适性”[8]的理念，让整个物理学界为之震动。混沌的研究也不仅仅局限于气象和大气物理。经济学家用混沌理论解释经济周期，社会学家用混沌理论分析人口扩张和迁徙，动物学家用混沌理论研究不同物种之间的相互依存和影响。
目录
第一章 绪论 1
1.1 混沌理论 1
1.1.1引言 1
1.1.2 混沌理论简介 2
第二章 量子关联和量子失协 4
2.1 量子关联的基础理论 4
2.1.1 量子测量 4
2.1.2可分态和纠缠态 4
2.2 量子失协 5
2.2.1 经典互信息熵 5
2.2.2 量子关联和量子失协 6
第三章 周期受击陀螺的量子失协与经典混沌的比较 9
3.1 周期受击陀螺模型 9
3.2 数据与结果 9
3.3 总结与展望 15
参考文献 17
致 谢 18
绪论
混沌理论
1.1.1引言
在经典条件下，混沌这一现象在许多方面都是存在的。关于混沌的研究也很普遍和深入。经典混沌现象最重要的表现之一，是其对系统初始状态的极度敏感，也就是我们常说的蝴蝶效应。对于混沌系统，当系统随着时间演化的时候，相邻的两条轨道会呈现指数式离散，意即，对于一个混沌系统，即使在两个相似度非常高，仅有轻微差别的初值下，在随时间的演化中也会变得非常不同。
混沌理论在宏观领域获得的非常可观的成绩，例 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
如在气象、航空及航天等领域作用巨大。但是在量子力学所涉及的微观尺度上不再适用：因为根据量子力学的基本原理，首先我们必须抛弃轨道的概念，也就是说我们不能再用一组微分方程来描述粒子的位置，粒子总是以波函数的形式存在，只有在测量过程中才会坍缩到某个特定的位置，而且根据海森堡不确定原理，两个物理量所对应的算符如果不能对易，这两个物理量就不能同时完全确定。这完全断绝了类似经典条件下微分方程数值解的可能性。在经典条件下，即时没有解析解，使用计算机数值计算的方法，我们依然可以在一定的精度限制下，在计算机数值计算的辅助下对系统进行研究，这在量子条件下一般是行不通的。其次，量子系统满足线性叠加原理，所以混沌这种非线性现象在量子力学领域是必然被抑制的。
即使如此，并不能说在量子条件下不存在混沌。即使是被抑制，我们坚信在一些条件下，混沌系统仍然存在经典量子的对应关系。同时，如果量子体系下缺少混沌表现，我们则必须找出从量子到经典的过渡过程，这也是研究量子力学的其中一个重要方面。
所以说混沌在量子力学下的表现是一个非常值得研究的课题[1]。研究者在对混沌系统的量子化表现进行研究时采用了许多的角度。包括：混沌系统的能谱统计，定态系统的在空间中的态密度分布，开放量子系统的测量和退相干动力学，以及系统对扰动的敏感度研究等。
根据量子态是否可分，可将其分为可分态和纠缠态。最近，量子纠缠和经典动力学混沌之间的关系引起了人们的注意。因为量子纠缠是在量子通信或者量子计算的核心资源之一，所以混沌和量子纠缠之间的关系就变得尤其重要。量子纠缠的度量包括纠缠熵等。在之前的研究中，我们发现量子系统的纠缠熵存在明显的经典量子对应关系。
近来一些人发现，量子体系之间的关联不仅仅是量子纠缠，量子纠缠只是量子关联的一种特例。研究还发现，即使是没有纠缠的系统，也有可能会存在着量子关联，而且量子关联同样也可以作为量子通信和量子计算的资源。量子关联的度量有很多种，例如量子失协、几何失协等。所以混沌与量子关联之间联系的研究也逐渐开始被研究者所重视。本文的主要目标，即研究经典混沌和量子失协的关联性质。
1.1.2 混沌理论简介
“混沌”[2，45]这一词汇的最早是出现在神话故事中，表示实物的混乱程度。约公元前560年左右的中国，以思想家老子为代表的道家就已经在其哲学思想中提出了宇宙是起源于混沌的这一学说，并且提出了“道可道非常道”[3]的说法。这一说法具有一定的朴素唯物主义思想。然而并不准确，根据热力学的说法，熵（Entropy）这个物理量是表示系统混乱程度的主要指标。热力学第二定律告诉我们，整个宇宙是熵增的，所以宇宙整体总是从有序走向无序。所以宇宙并非起源于混沌，而是从有序逐渐走向混沌。
早在1963年，物理学家Lorenz在对气象学进行研究的时候，发现当他进行数值计算时，通过长时间的计算，同样的数据条件下，计算机会给出非常不同的结果。这样的现象使Lorenz非常困扰。经过检查，计算机系统和软件并没有任何BUG。经过长时间的思考和尝试，最终Lorenz发现，因为在计算过程中，有些中间数据进行二次输入时，因为精度原因会对某些数据有效数字进行略微的调整减少，即使是很小的调整，对初值仅仅是十万分之一的影响，就有可能对最终的结果产生巨大的改变。后来Lorenz就在《大气科学》这一杂志上发表了“决定性的非周期流”[6]一文，他在文中认为气候不能够被人们确切从头演算和持久气候预报者不可预测天气这两者之间必定有着某种关系。即使在进行了多次技术革命，计算机能力以指数式增长的，几十年后的今天，我们的天气预报依然不能非常准确的预知一周以后的天气。混沌的普遍性，意味着这些点有可能存在于各个地方。上面的这些探究，同时描写了混沌的一种基本性质“对初始条件的敏感性”，而这就是著名的蝴蝶效应[7]，欧洲的一只蝴蝶拍下翅膀，可能会引发南美洲的一场飓风。可以说正是因为人们对于天气预报这一孜孜不倦的研究，才让我们得以一探混沌的一角。
1977年，一个历史性的时刻来临了，混沌科学也就是在此诞生，第一次的国际混沌会议在意大利隆重召开。《统计物理学杂志》在1978年刊登了一篇文章，文章中关于“一类非线性变换的定量的普适性”[8]的理念，让整个物理学界为之震动。混沌的研究也不仅仅局限于气象和大气物理。经济学家用混沌理论解释经济周期，社会学家用混沌理论分析人口扩张和迁徙，动物学家用混沌理论研究不同物种之间的相互依存和影响。
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