傅里叶变换在衍射中的应用研究(附件)【字数：5992】
摘 要阐述光的衍射是从空间域到频率域的傅里叶变换，透镜就是一个傅里叶变换工具，并用傅里叶变换的一些性质来解释光的衍射中的一些现象。本文介绍了傅里叶级数和变换的简介和性质，相关光学实验，光学现象的数学描述和讨论，用Matlab实现卷积和傅里叶变换等。通过Matlab编程实现了线性卷积，循环卷积，DFT，FFT的波形图。根据通信原理的理论来分析，可以将物平面上的光强分布或者是复振幅分布当成输入信息，物平面称为输入平面，同理可得将像平面上的光强分布或者是复振幅分布当成输出信息，像平面称为输出平面。进而可知光学系统将输入信息转换成输出信息，但是与通信系统所传递和处理的信号所不同的是，光学系统传递，处理的信号是随空间变化的函数。两者看似不一样，但从数学的角度看，它们的本质是一样的，差别影响不大。因此，将傅里叶变换用于处理光学信息的时候，是将空间变换到空间的频率上，即空域对应于空间频域（波矢空间）。最后对讨论傅里叶变换用于光学成像是一种近似以及近似的条件。
目 录
第一章 傅里叶级数和变换的简介及性质 1
1.1傅立叶级数 1
1.2傅里叶变换 1
1.3 冲激函数的性质 3
第二章 相关光学实验 5
2.1杨氏双缝干涉实验 5
2.2单缝衍射（缝宽为） 6
2.3双缝衍射 7
2.4透射光栅衍射 8
2.5阿贝波特实验 9
第三章 光学现象的数学描述和讨论 11
3.1杨氏双缝干涉 11
3.2单缝衍射 11
3.3双缝实验 12
3.4光栅衍射 12
第四章 用matlab实现卷积和傅里叶变换 13
4.1卷积的常规运算方法 13
4.2离散傅里叶变换 15
4.3快速傅里叶变换 17
第五章 讨论 19
5.1平面波简介 19
5.2平行光汇聚实验 19
5.3傅里叶变换用于光学成像的近似条件 20
5.4阿贝二次成像理论 20
结束语 21
致谢 22
参考文献 23 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
附录 24
附录A 24
附录B 25
第一章 傅里叶级数和变换的简介及性质
1.1傅立叶级数
傅立叶级数是特殊的三角函数，根据欧拉公式，三角函数又可以化成指数形式，也称傅里叶级数为指数级数。任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示[1]。
1.1.1傅里叶级数的三角形式
一个以为周期的函数，且满足狄里赫利条件：在一个周期內只有有限个极值点和第一类不连续点，则就可以展成傅里叶级数，在连续点处，是傅里叶级数，是傅里叶级数的三角形式。其中
式（11）
1.1.2傅里叶级数的复指数形式
式（12）
其中
1.2傅里叶变换
傅里叶变换是一种特殊的积分变换，能将特殊的函数表示成正弦基函数的线性组合。在不一样的研究领域里，傅里叶变换就有不一样的变体形式，例如连续傅里叶变换、离散傅里叶变换。
若非周期函数在上满足狄里赫利条件，且存在，则有：，其中。这一定理称为傅里叶积分定理，而积分叫做傅里叶积分[23]。
由傅里叶积分定理给出的函数变换，称为的傅里叶变换，而称为的傅里叶逆变换。
一维连续函数的傅里叶变换及反变换算法公式分别为：
式（13）
式（14）
其中，，称为时域变量，为频率变量。
二维连续函数傅里叶变换及反变换算法公式分别为：
式（15） 式（16）
其中，为时域变量，为频域变量。
1.2.1傅里叶变换性质
（1）线性
若 则
时移性
若 则
频移性
若 则
时域微分特性
若 则
时域积分特性
当，，则与的卷积的频谱：
利用时移特性可知，将其代入上式，得
即为时域卷积定理，即时域中两个信号的卷积等于在频域中的频谱相乘。 则
频域微分特性
若 则 一般实用形式为
对偶性
若 则 或
时域卷积定理
若 则
频域卷积定理
若 则
1.3 冲激函数的性质
乘积性质
若函数在处连续，由于只在处存在，故有
若函数在处连续，则有
采样性质
冲激函数的乘积性质，有上式表明，与相乘后，在内积分，最终得到，即抽选出，这个极为重要的结论称为采样性质，也称为筛选性质。与此类似，若与一延时的冲激函数相乘，在内积分，最终得到，即
这个性质也可作为冲激函数的严格数学定义。
缩放性质
由，考虑积分，令，则有
式（17）
式（18）
综合上述两种情况，有
由此得到，这个式子表明时间缩放会改变冲激函数的面积，由于的面积为1，所以时间放大a时冲激函数的面积为。由于时间移位并不影响面积的大小，一般的结论：这里a和为常数，且。这个结论应用到采样性质，有
奇偶性质
由缩放性质，即，令，可得，表明单位冲激函数为偶函数[4]。
第二章 相关光学实验
2.1杨氏双缝干涉实验
S是光源，G是一个遮光屏，其上有两条与S平行的狭缝S1、S2，且与S等距离，因此S1、S2是相干光源，且相位相同；S1、S2之间的距离是d，到屏的距离是D；r1、r2分别为孔S1、S2到点P的距离。
目 录
第一章 傅里叶级数和变换的简介及性质 1
1.1傅立叶级数 1
1.2傅里叶变换 1
1.3 冲激函数的性质 3
第二章 相关光学实验 5
2.1杨氏双缝干涉实验 5
2.2单缝衍射（缝宽为） 6
2.3双缝衍射 7
2.4透射光栅衍射 8
2.5阿贝波特实验 9
第三章 光学现象的数学描述和讨论 11
3.1杨氏双缝干涉 11
3.2单缝衍射 11
3.3双缝实验 12
3.4光栅衍射 12
第四章 用matlab实现卷积和傅里叶变换 13
4.1卷积的常规运算方法 13
4.2离散傅里叶变换 15
4.3快速傅里叶变换 17
第五章 讨论 19
5.1平面波简介 19
5.2平行光汇聚实验 19
5.3傅里叶变换用于光学成像的近似条件 20
5.4阿贝二次成像理论 20
结束语 21
致谢 22
参考文献 23 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
附录 24
附录A 24
附录B 25
第一章 傅里叶级数和变换的简介及性质
1.1傅立叶级数
傅立叶级数是特殊的三角函数，根据欧拉公式，三角函数又可以化成指数形式，也称傅里叶级数为指数级数。任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示[1]。
1.1.1傅里叶级数的三角形式
一个以为周期的函数，且满足狄里赫利条件：在一个周期內只有有限个极值点和第一类不连续点，则就可以展成傅里叶级数，在连续点处，是傅里叶级数，是傅里叶级数的三角形式。其中
式（11）
1.1.2傅里叶级数的复指数形式
式（12）
其中
1.2傅里叶变换
傅里叶变换是一种特殊的积分变换，能将特殊的函数表示成正弦基函数的线性组合。在不一样的研究领域里，傅里叶变换就有不一样的变体形式，例如连续傅里叶变换、离散傅里叶变换。
若非周期函数在上满足狄里赫利条件，且存在，则有：，其中。这一定理称为傅里叶积分定理，而积分叫做傅里叶积分[23]。
由傅里叶积分定理给出的函数变换，称为的傅里叶变换，而称为的傅里叶逆变换。
一维连续函数的傅里叶变换及反变换算法公式分别为：
式（13）
式（14）
其中，，称为时域变量，为频率变量。
二维连续函数傅里叶变换及反变换算法公式分别为：
式（15） 式（16）
其中，为时域变量，为频域变量。
1.2.1傅里叶变换性质
（1）线性
若 则
时移性
若 则
频移性
若 则
时域微分特性
若 则
时域积分特性
当，，则与的卷积的频谱：
利用时移特性可知，将其代入上式，得
即为时域卷积定理，即时域中两个信号的卷积等于在频域中的频谱相乘。 则
频域微分特性
若 则 一般实用形式为
对偶性
若 则 或
时域卷积定理
若 则
频域卷积定理
若 则
1.3 冲激函数的性质
乘积性质
若函数在处连续，由于只在处存在，故有
若函数在处连续，则有
采样性质
冲激函数的乘积性质，有上式表明，与相乘后，在内积分，最终得到，即抽选出，这个极为重要的结论称为采样性质，也称为筛选性质。与此类似，若与一延时的冲激函数相乘，在内积分，最终得到，即
这个性质也可作为冲激函数的严格数学定义。
缩放性质
由，考虑积分，令，则有
式（17）
式（18）
综合上述两种情况，有
由此得到，这个式子表明时间缩放会改变冲激函数的面积，由于的面积为1，所以时间放大a时冲激函数的面积为。由于时间移位并不影响面积的大小，一般的结论：这里a和为常数，且。这个结论应用到采样性质，有
奇偶性质
由缩放性质，即，令，可得，表明单位冲激函数为偶函数[4]。
第二章 相关光学实验
2.1杨氏双缝干涉实验
S是光源，G是一个遮光屏，其上有两条与S平行的狭缝S1、S2，且与S等距离，因此S1、S2是相干光源，且相位相同；S1、S2之间的距离是d，到屏的距离是D；r1、r2分别为孔S1、S2到点P的距离。
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