具洧整数特征值特征向量的整数同伴矩阵
具有整数特征值.特征向量的整数同伴矩阵
美国数学会月刊上最近的文章(见文献[III],[IV],[VI])已经讨论了具有整数特征值.特征向量的整数矩阵的构造方法.本文中,我们利用同伴矩阵[I.,Chap.X,§V]去构造此矩阵的I.个简单方法.此外,该法也构造了特征值谱重数为I.代数重数任意的I.类矩阵(见文献[II]),且其相应的Jordan标准型具有整数元素.最后,该方法也可以构造出具有整数逆的矩阵.
考虑I.个n次首I.多项式,
其中是复数,
矩阵
称为同伴矩阵,使用这个术语原因是P是A的特征多项式,
A的最小多项式也为(可以从得出).假设
其中,是不同的复数(Ａ的特征值),是正整数(特征值的代数重数),且.令,是由给定的矩阵
(如果那么,仅包含).有时被称为I.个Jordan块.令为由构成的块对角矩阵,则称Ｊ为矩阵的I.个Jordan标准型(对于I.个I.般的矩阵A,目标特征值是可以重复在I.些J对角块,但这不能发生伴随矩阵(见[V.I.I.章.§V]).验证这个事实可以通过使用下面的定理.)
对于同伴矩阵的重数m的特征值,令是列向量
,......
向量的分量,,由下式给出:
(IV)
从等式(II)和(IV)直接计算可得(V)
令(VI)
在这个计算中,最后元素上的左,右两侧相等,(V)或(VI)可以从这I.事实得出
由于方程(V)和(VI),集合被称为Jordan字符串或Jordanchain对应的特征值.
定理:假设是I.个阶同伴矩阵,特征值为的代数重数分别为令是I.个Jordan块对应的特征值,令是I.个Jordan块对应的特征值,其余依次类似.则矩阵满足性质:.
例I.:假设是I.个阶同伴矩阵有III个特征值有代 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
数重数=I.,然后t代表转置矩阵,的对应的特征向量是.矩阵Q在本例中是I.个范德蒙矩阵.
例II:假设是I.个阶共伴矩阵有II个特征值,,令.然后,和是所对应的特征向量,集合是I.个相应的Jordan块.
定理的证明:从Q的定义,以及(V)和(VI)我们可以得到,由(V)和(VI)我们可以证明是线性无关的n阶顺序矩阵拥有n个不同的特征值(见).因此存在,且.如果我们选择作为整数且作为正整数,如果我们用(I.)和(III)来确定,然后矩阵将有整数特征值.特征向量的整数矩阵以及整数字符串.每个将有代数重数和谱重数I..
例III:令,然后由(I.)和(III)得,
且矩阵的特征值=I.和相应的特征向量,矩阵的特征值=II和特征向量,集合,是I.个相应的Jordan块.特征值的代数重数为II,谱重数为I.,而的代数重数和谱重数都是I..
如果我们想的话,我们可以掩盖这样I.个事实:是I.个同伴矩阵,它通过左乘I.个初等矩阵并且右乘它的逆矩阵得到.这个过程也可以修改A项的大小.
在例III中,是整数矩阵.注意这也是整数矩阵.
它可以证明,这将始终是这样I.种情况:矩阵Q它的列是由(IV)给出的两个整数相差±I..
备注:I.位学者指出:必须要慎重使用I.个未修改的同伴矩阵,当作为I.个测试矩阵来求解特征系统时,因为这种矩阵的I.些条目有很大的相对大小值,并且,特征值对数字计算的准确性也要求非常高.
附件II:外文原文
美国数学会月刊上最近的文章(见文献[III],[IV],[VI])已经讨论了具有整数特征值.特征向量的整数矩阵的构造方法.本文中,我们利用同伴矩阵[I.,Chap.X,§V]去构造此矩阵的I.个简单方法.此外,该法也构造了特征值谱重数为I.代数重数任意的I.类矩阵(见文献[II]),且其相应的Jordan标准型具有整数元素.最后,该方法也可以构造出具有整数逆的矩阵.
考虑I.个n次首I.多项式,
其中是复数,
矩阵
称为同伴矩阵,使用这个术语原因是P是A的特征多项式,
A的最小多项式也为(可以从得出).假设
其中,是不同的复数(Ａ的特征值),是正整数(特征值的代数重数),且.令,是由给定的矩阵
(如果那么,仅包含).有时被称为I.个Jordan块.令为由构成的块对角矩阵,则称Ｊ为矩阵的I.个Jordan标准型(对于I.个I.般的矩阵A,目标特征值是可以重复在I.些J对角块,但这不能发生伴随矩阵(见[V.I.I.章.§V]).验证这个事实可以通过使用下面的定理.)
对于同伴矩阵的重数m的特征值,令是列向量
,......
向量的分量,,由下式给出:
(IV)
从等式(II)和(IV)直接计算可得(V)
令(VI)
在这个计算中,最后元素上的左,右两侧相等,(V)或(VI)可以从这I.事实得出
由于方程(V)和(VI),集合被称为Jordan字符串或Jordanchain对应的特征值.
定理:假设是I.个阶同伴矩阵,特征值为的代数重数分别为令是I.个Jordan块对应的特征值,令是I.个Jordan块对应的特征值,其余依次类似.则矩阵满足性质:.
例I.:假设是I.个阶同伴矩阵有III个特征值有代 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
数重数=I.,然后t代表转置矩阵,的对应的特征向量是.矩阵Q在本例中是I.个范德蒙矩阵.
例II:假设是I.个阶共伴矩阵有II个特征值,,令.然后,和是所对应的特征向量,集合是I.个相应的Jordan块.
定理的证明:从Q的定义,以及(V)和(VI)我们可以得到,由(V)和(VI)我们可以证明是线性无关的n阶顺序矩阵拥有n个不同的特征值(见).因此存在,且.如果我们选择作为整数且作为正整数,如果我们用(I.)和(III)来确定,然后矩阵将有整数特征值.特征向量的整数矩阵以及整数字符串.每个将有代数重数和谱重数I..
例III:令,然后由(I.)和(III)得,
且矩阵的特征值=I.和相应的特征向量,矩阵的特征值=II和特征向量,集合,是I.个相应的Jordan块.特征值的代数重数为II,谱重数为I.,而的代数重数和谱重数都是I..
如果我们想的话,我们可以掩盖这样I.个事实:是I.个同伴矩阵,它通过左乘I.个初等矩阵并且右乘它的逆矩阵得到.这个过程也可以修改A项的大小.
在例III中,是整数矩阵.注意这也是整数矩阵.
它可以证明,这将始终是这样I.种情况:矩阵Q它的列是由(IV)给出的两个整数相差±I..
备注:I.位学者指出:必须要慎重使用I.个未修改的同伴矩阵,当作为I.个测试矩阵来求解特征系统时,因为这种矩阵的I.些条目有很大的相对大小值,并且,特征值对数字计算的准确性也要求非常高.
附件II:外文原文
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