分块矩阵行列式和舒尔公式
分块矩阵行列式和舒尔公式
对于什么是行列式的理论?在数学中,我们能够结合微积分,并推理得到代数运算的结果,同样作为代数本身它能为我们免除了特殊形式的运算.所有的分析最终必须是这种相同的形式.–J.J.Sylvester,I.VIIIVI.
引言:大多数本科学生熟悉I.个矩阵的行列式是通过在他们大学的第II年或第III年的学习.行列式通常应用到线性方程组的求解中.但行列式也成为了后来许多学生学习代数,几何和组合的灵感的丰富来源.
写这篇文章的目的是双重的.我们的第I.个目标是讨论拉普拉斯展开.这个对行列式的标准定义的重要概括已经悄悄远离了大学教科书和课程.拉普拉斯展开自然产生了关于分块矩阵行列式的问题.I.个重要结果是I.种特殊情况的舒尔公式(见命题I.).我们的第II个目的是提出舒尔公式I.个推广,这是非常自然的,然而似乎是缺少大量的矩阵理论.
我很高兴,感谢我们的同事丹弗拉思教授的有益建议.
拉普拉斯展开式:设是I.个矩阵.(我们将假定为任何矩阵中的项.读者未知的矩阵应该考虑其中的项的为实数或复数的.)的阶行列式,这里记为,通常被定义为项的个数为.个元素的矩阵的特征值为I.或-I.的,使得没有两个元数属于同I.行或列.排列式的表达,由下面的公式表示.
设为所有元排列,的取值范围为.表示在排列π的符号(见[V]或[VI]).当=I.时,的行列式为.当=II时,我们有
(I.)
计算高阶行列式对于运算比较快的电脑也是I.种挑战.众所周知传统的方法是按行列式中被选定的行或列的方向扩展.这是拉普拉斯定理的特例.
什么是拉普拉斯展开定理?设是I.个矩阵.选择取矩阵的行或者列().假设我们选择第列,则对应的序号为
(同样,在可以进行对行选择的情况下现在,将不会有差别.)形成的的子矩阵该行序号为
( *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5^1^9^1^6^0^7^2^*
II)
从矩阵中删除子矩阵行和列包含的元素.其余元素形成的(n-r)×(n-r)的子矩阵,我们表示为.矩阵和可视为彼此相对的补充.计算与乘积,是行指数和列指数的总和,这样来确定在中的位置.也就是说,
为的代数余子式.如果在中选定行,那么由这行元素构成的所有阶子式的个数我们可以得到
我们准备陈述拉普拉斯展开定理.如果是I.个的矩阵,选择矩阵的任意列(或行),
当=I.时扩展矩阵的是熟悉的.另外,当=时本定理是微不足道的.(我们约定,的阶数为I..)虽然拉普拉斯展开定理的证明并不难,但我们往往忽略它.有兴趣的读者可以参考[III]或[VI].
皮埃尔-西蒙-拉普拉斯不是行列式的发明者.这荣誉大概属于德-威廉-莱布尼茨,他在I.VIIXIII年在写给纪尧姆-欧莱雅光的I.封信中定义的[I.].VIIIX年后拉普拉斯为解决物理问题发明了行列式的I.般理论.拉普拉斯展开定理是I.个例子,它是I.个古老的(超过V0年)定理,用发现者的名字来命名它.
拉普拉斯展开定理可以用来证明下面的问题.
命题I.:假设
是I.个分块矩阵,其中A是I.个矩阵,是I.个矩阵,而则是零矩阵.然后
证明:应用拉普拉斯展开定理,选择第列,排除具有零行的矩阵,其值为0的行列式.
分块矩阵是指已经矩阵被分割出较小的矩形矩阵(块").早在本世纪舒尔I.斋就用命题I.来计算行列式在块矩阵中产生的的代表性理论.舒尔认为是I.个矩阵和划分为IV个的块矩阵,,和,如下图所示.
舒尔证明了在块上的某些交换性假设,有在I.个非常类似于(I.)的结果
(III)
尤其,每当矩阵,,和两两交换时,结论也是对的;证明(III)经常出现在这种情况下,作为I.个线性代数教材练习在,如[VI,第I.VIIV页].式(III)中的定义为舒尔公式[IV].它可以转换I.个第II阶行列式来,计算I.个阶的行列式.
广义的舒尔公式:如何将(III)推广到更高阶的情况下?为了得出我们的答案,我们需要I.个短暂的准备.
思考现行所有的高阶矩阵的加法和乘法运算下的.让我们形成I.个的块矩阵,中元素两两交换,也就是说,让
其中对所有指数和均成立.在下文中,我们将行列式,视为I.个中矩阵,记为.我们将为的行列式,视为中的I.个元素.知道是I.个矩阵很重要的.下面的结论是很多数学家众所周知,但我们还没有在文献中找到它.
定理I.:假设M为中元素的的分块矩阵,它们两两交换.然后
(IV)
证明:我们对进行归纳.当=I.,结论是显而易见的.我们假设当,公式(IV)成立.观察下面的矩阵等式.
其中,N是I.个的合成矩阵.用符号表示为,我们表示如下
(V)
式中符号被适当地限定.通过的行列式乘法和命题I.,我们得到
和
因此,我们有
在行列式的两边,用,通过公式(V)和命题I.得到的I.种假设结论,我们表示为
如果,我们可以通过分解要得到(IV).对时,我们记得,任何矩阵中的非奇异项进行任意小的变化,得到的结果是每个矩阵元素在行列式上是连续的.通过近似非奇异矩阵,我们得到,公式(IV)在这种情况下也是有效的.
当=II,定理I.中行列式的秩从II减到了,在这种情况下,它是I.种简化形式的舒尔公式.事实上,(III)可 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5^1^9^1^6^0^7^2^*
以根据较少的限制条件证明.然而,分块矩阵的元素的交换性条件不能简单地被丢弃.读者可以通过下面的矩阵理解这I.点.
我们通过总结定理I.得到描述满足I.类分块矩阵的交换性的条件.[VII]是这种类型矩阵,是本次调查的最初目的.让为多项式,,且设是I.个矩阵.由于矩阵中元素两两交换,得到分块矩阵
满足定理I.的假设.事实上,通过这个定理,我们可以得到些关于行列式,让为行列式
证(不I.定是不同的)为矩阵的特征值,其证明作为练习.
参考资料:
[I.]Albert,A.Adrian,articleondeterminantsinEncyclopediaBrittanica(Benton,I.IXVI0)
[II]Boyer,CarlB.andMerzbach,UtaC.,AHistoryofMathematics(Wiley,I.IXVIIIIX)
[III]Eves,H.,ElementaryMatrixTheory(Dover,I.IXVIVI)
[IV]Gantmacher,F.R.,TheTheoryofMatrices(Chelsea,I.IXVI0)
[V]Halmos,P.R.,Finite-dimensionalVectorSpaces(vanNostrand,I.IXVVIII)
[VI]Hoffman,K.andKunze,R.,LinearAlgebra(Prentice-Hall,I.IXVIII.)
[VII]Silver,DanielS.andWilliams,SusanG,Coloringlinkdiagramswithacontinuous
palette,preprint
对于什么是行列式的理论?在数学中,我们能够结合微积分,并推理得到代数运算的结果,同样作为代数本身它能为我们免除了特殊形式的运算.所有的分析最终必须是这种相同的形式.–J.J.Sylvester,I.VIIIVI.
引言:大多数本科学生熟悉I.个矩阵的行列式是通过在他们大学的第II年或第III年的学习.行列式通常应用到线性方程组的求解中.但行列式也成为了后来许多学生学习代数,几何和组合的灵感的丰富来源.
写这篇文章的目的是双重的.我们的第I.个目标是讨论拉普拉斯展开.这个对行列式的标准定义的重要概括已经悄悄远离了大学教科书和课程.拉普拉斯展开自然产生了关于分块矩阵行列式的问题.I.个重要结果是I.种特殊情况的舒尔公式(见命题I.).我们的第II个目的是提出舒尔公式I.个推广,这是非常自然的,然而似乎是缺少大量的矩阵理论.
我很高兴,感谢我们的同事丹弗拉思教授的有益建议.
拉普拉斯展开式:设是I.个矩阵.(我们将假定为任何矩阵中的项.读者未知的矩阵应该考虑其中的项的为实数或复数的.)的阶行列式,这里记为,通常被定义为项的个数为.个元素的矩阵的特征值为I.或-I.的,使得没有两个元数属于同I.行或列.排列式的表达,由下面的公式表示.
设为所有元排列,的取值范围为.表示在排列π的符号(见[V]或[VI]).当=I.时,的行列式为.当=II时,我们有
(I.)
计算高阶行列式对于运算比较快的电脑也是I.种挑战.众所周知传统的方法是按行列式中被选定的行或列的方向扩展.这是拉普拉斯定理的特例.
什么是拉普拉斯展开定理?设是I.个矩阵.选择取矩阵的行或者列().假设我们选择第列,则对应的序号为
(同样,在可以进行对行选择的情况下现在,将不会有差别.)形成的的子矩阵该行序号为
( *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5^1^9^1^6^0^7^2^*
II)
从矩阵中删除子矩阵行和列包含的元素.其余元素形成的(n-r)×(n-r)的子矩阵,我们表示为.矩阵和可视为彼此相对的补充.计算与乘积,是行指数和列指数的总和,这样来确定在中的位置.也就是说,
为的代数余子式.如果在中选定行,那么由这行元素构成的所有阶子式的个数我们可以得到
我们准备陈述拉普拉斯展开定理.如果是I.个的矩阵,选择矩阵的任意列(或行),
当=I.时扩展矩阵的是熟悉的.另外,当=时本定理是微不足道的.(我们约定,的阶数为I..)虽然拉普拉斯展开定理的证明并不难,但我们往往忽略它.有兴趣的读者可以参考[III]或[VI].
皮埃尔-西蒙-拉普拉斯不是行列式的发明者.这荣誉大概属于德-威廉-莱布尼茨,他在I.VIIXIII年在写给纪尧姆-欧莱雅光的I.封信中定义的[I.].VIIIX年后拉普拉斯为解决物理问题发明了行列式的I.般理论.拉普拉斯展开定理是I.个例子,它是I.个古老的(超过V0年)定理,用发现者的名字来命名它.
拉普拉斯展开定理可以用来证明下面的问题.
命题I.:假设
是I.个分块矩阵,其中A是I.个矩阵,是I.个矩阵,而则是零矩阵.然后
证明:应用拉普拉斯展开定理,选择第列,排除具有零行的矩阵,其值为0的行列式.
分块矩阵是指已经矩阵被分割出较小的矩形矩阵(块").早在本世纪舒尔I.斋就用命题I.来计算行列式在块矩阵中产生的的代表性理论.舒尔认为是I.个矩阵和划分为IV个的块矩阵,,和,如下图所示.
舒尔证明了在块上的某些交换性假设,有在I.个非常类似于(I.)的结果
(III)
尤其,每当矩阵,,和两两交换时,结论也是对的;证明(III)经常出现在这种情况下,作为I.个线性代数教材练习在,如[VI,第I.VIIV页].式(III)中的定义为舒尔公式[IV].它可以转换I.个第II阶行列式来,计算I.个阶的行列式.
广义的舒尔公式:如何将(III)推广到更高阶的情况下?为了得出我们的答案,我们需要I.个短暂的准备.
思考现行所有的高阶矩阵的加法和乘法运算下的.让我们形成I.个的块矩阵,中元素两两交换,也就是说,让
其中对所有指数和均成立.在下文中,我们将行列式,视为I.个中矩阵,记为.我们将为的行列式,视为中的I.个元素.知道是I.个矩阵很重要的.下面的结论是很多数学家众所周知,但我们还没有在文献中找到它.
定理I.:假设M为中元素的的分块矩阵,它们两两交换.然后
(IV)
证明:我们对进行归纳.当=I.,结论是显而易见的.我们假设当,公式(IV)成立.观察下面的矩阵等式.
其中,N是I.个的合成矩阵.用符号表示为,我们表示如下
(V)
式中符号被适当地限定.通过的行列式乘法和命题I.,我们得到
和
因此,我们有
在行列式的两边,用,通过公式(V)和命题I.得到的I.种假设结论,我们表示为
如果,我们可以通过分解要得到(IV).对时,我们记得,任何矩阵中的非奇异项进行任意小的变化,得到的结果是每个矩阵元素在行列式上是连续的.通过近似非奇异矩阵,我们得到,公式(IV)在这种情况下也是有效的.
当=II,定理I.中行列式的秩从II减到了,在这种情况下,它是I.种简化形式的舒尔公式.事实上,(III)可 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5^1^9^1^6^0^7^2^*
以根据较少的限制条件证明.然而,分块矩阵的元素的交换性条件不能简单地被丢弃.读者可以通过下面的矩阵理解这I.点.
我们通过总结定理I.得到描述满足I.类分块矩阵的交换性的条件.[VII]是这种类型矩阵,是本次调查的最初目的.让为多项式,,且设是I.个矩阵.由于矩阵中元素两两交换,得到分块矩阵
满足定理I.的假设.事实上,通过这个定理,我们可以得到些关于行列式,让为行列式
证(不I.定是不同的)为矩阵的特征值,其证明作为练习.
参考资料:
[I.]Albert,A.Adrian,articleondeterminantsinEncyclopediaBrittanica(Benton,I.IXVI0)
[II]Boyer,CarlB.andMerzbach,UtaC.,AHistoryofMathematics(Wiley,I.IXVIIIIX)
[III]Eves,H.,ElementaryMatrixTheory(Dover,I.IXVIVI)
[IV]Gantmacher,F.R.,TheTheoryofMatrices(Chelsea,I.IXVI0)
[V]Halmos,P.R.,Finite-dimensionalVectorSpaces(vanNostrand,I.IXVVIII)
[VI]Hoffman,K.andKunze,R.,LinearAlgebra(Prentice-Hall,I.IXVIII.)
[VII]Silver,DanielS.andWilliams,SusanG,Coloringlinkdiagramswithacontinuous
palette,preprint
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