不确定随机跳变系统的滤波器设计
不确定随机跳变系统的滤波器设计[20191213112222]
摘 要
由于系统的不确定性和时滞特性的客观存在，近年来不确定时滞系统的鲁棒控制器和滤波器的分析和设计引起了许多学者的关注。
本文的鲁棒H∞滤波问题为有马尔可夫跳变参数的不确定的随机时滞系统。
目的是设计一个线性滤波器使滤波误差系统是指数均方稳定的, 并满足给定的H∞ 性能指标。不论是系统的动力还是测试都是通过Wiener流程来实现。时间延迟的变化间隔,取决于操作模式。一个马尔可夫跳变线性滤波器是为了即满足鲁棒指数均方稳定并且满足规定的扰动衰减程度的滤波误差系统。指数衰减率可以直接使用估计矩阵的李雅普诺夫泛函及其衍生物。一个延迟范围依赖条件可以通过LMIs得到H∞滤波问题的可行解,所需的滤波器可以通过LMIs描述。并用一个说明性的数值例子说明所给方法的有效性。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:H∞滤波；随机系统；指数均方稳定；不确定系统；马尔可夫跳变参数；模式依赖；
目 录
摘 要 I
Abstract II
第1章 绪论 1
1.1 马尔科夫跳变简介 1
1.2 滤波简介 2
1.3 时滞系统简介 4
第2章 基本预备知识 5
2.1 范数及H∞ 标准 5
2.2 线性矩阵不等式LMI基础 6
2.2.1 线性矩阵不等式LMI一般形式 7
2.2.2 标准的LMI求解问题 8
第3章 不确定随机跳变系统的滤波器 10
3.1 问题描述 10
3.2 滤波器设计 12
3.3 仿真算例与分析 20
3.3.1 仿真算例 20
3.3.2 仿真结果和分析 21
第4章 总结与展望 27
参考文献 28
致 谢 31
附录1 外文原文 32
附录2 外文翻译 39
第1章 绪论
1.1 马尔科夫跳变简介
马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫(A.A.Markov,1856－1922)得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的[5,7]。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链[2,11,15]，简记为Xn = X(n),n = 1,2,3,4····。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”[14,17]，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程[13]：
1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；
2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S,P,Q)，其中各元的含义如下：
1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集[18]。本文中假定S是可数集（即有限或可列）。用小写字母i,j（或Si,Sj)等来表示状态。
2)P是系统的状态转移概率矩阵，其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在下一时刻t+l处于状态i的概率,N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s,有。
3)Q是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。
随机过程
系统的特征可以用一组随时间变化的变量来加以描述。
如果系统在任何时点上的特性或状态是随机性的，则系统的变化过程就对应一组随机变量构成的过程来描述，这个系统随机变化的过程的描述，就是随机过程[24]。
随机过程可以描述为： ；
其中 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。
若 为可数参数集，如 ，则该过程为离散参数的随机过程。
若 为不可数参数集，如 ，则该过程为连续参数的随机过程。
状态与状态转移
状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就说系统处于一个状态。
状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
设系统的离散状态为 设 表示第 次转移到状态 ， 表示系统转移前处于 状态。
则称 为系统在第 次转移到 状态的转移概率。
其中：
称 为n时刻马尔可夫链的绝对概率[34]；
称 为n时刻的绝对概率向量[27]。
1.2 滤波简介
1、维纳滤波
历史上最先考虑的是宽平稳过程[35]的线性预测和滤波问题，它的一般模型[18]是Yt=Xt+Nt，其中(X，N)为二维宽平稳过程或序列，其谱分布函数已知,其均值为零。设从0到时刻t为止的全部Y的值都已被观测到，求X的τ步线性预测及其均方误差。如果限于考虑N=0、τ>0的情形，则变成在无误差观测条件下X本身的线性预测问题；如果N≠0、τ≤0，则变成从受到噪声N干扰的接收信号Y中提取有用信号X的滤波问题。1939～1941年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫利用平稳序列的沃尔德分解[5,43]，给出了线性预测的一般理论与处理办法，随即被推广到连续时间的平稳过程[27,34]。N.维纳则在1942年对于平稳序列与过程的谱密度存在且满足某种正则条件的情形，利用谱分解导出了线性最优预测[17]和滤波的明显表达式，即维纳滤波公式，并在防空火力控制、电子工程等部门获得了应用。上述模型在50年代被推广到仅在有限时间区间内进行观测的平稳过程以及某些特殊的非平稳过程，其应用范围也扩充到更多的领域[11,17]。至今它仍是处理各种动态数据（如气象 、水文、地震勘探等）及预测未来的有力工具之一。
维纳滤波公式[40]是通过平稳过程的谱分解导出的，难以推广到较一般的非平稳过程和多维情形，因而应用范围受到限制[42]。另一方面，在不断增加观测结果时，不易从已算出的滤波值及新的观测值较简单地求出新的滤波值，特别是不能满足在电子计算机上快速处理大量数据的需要。
2、卡尔曼滤波
由于高速电子计算机的发展以及测定人造卫星轨道和导航等技术问题的需要，R.E.卡尔曼与R.S.布西于20世纪60年代初期提出了一类新的线性滤波的模型与方法，通称为卡尔曼滤波[33,38]。其基本假设是，被估计过程X为随机噪声影响下的有限阶多维线性动态系统 的输出，而被观测的Yt则是Xt的部分分量或其线性函数与量测噪声的叠加，这里并不要求 平稳性[15]，但要求不同时刻的噪声值是不相关的。此外，观测只需从某一确定时刻开始，而不必是无穷长的观测区间。更重要的是，适应电子计算机的特点，卡尔曼滤波公式不是将估计值表成观测值的明显的函数形式，而是给出它的一种递推算法(即实时算法)[34]。具体地说，对于离散时间滤波[18,37]，只要适当增大X的维数，就可以将t时刻的滤波值表成为前一时刻的滤波值与本时刻的观测值Yt的某种线性组合。对于连续时间滤波,则可以给出与Yt所应满足的线性随机微分方程。在需要不断增加观测结果和输出滤波值的情形，这样的算法加快了处理数据的速度，而且减少了数据存贮量。卡尔曼还证明,如果所考虑的线性系统 满足某种“可控性”[2]和“可观测性”[11]（这是现代控制理论中由卡尔曼提出的两个重要概念），那么最优滤波一定是“渐近稳定”的。大致说来，就是由初始误差、舍入误差及其他的不准确性所引起的效应，将随着滤波时间的延长而逐渐消失或趋于稳定， 不致形成误差的积累[22,39]。这在实际应用上是很重要的。
卡尔曼滤波也有多种形式的推广，例如放宽对噪声不相关性的限制，用线性系统逼近非线性系统，以及所谓“自适应滤波”[15]等等，并获得了日益广泛的应用。
3、非线性滤波
前已说明，一般的非线性最优滤波[16]可归结为求条件期望[13]的问题。对于有限多个观测值的情形，条件期望原则上可以用贝叶斯公式来计算。但即使在比较简单的场合，这样得出的结果也是相当繁杂的，无论对实际应用或理论研究都很不方便。与卡尔曼滤波类似，人们也希望能给出非线性滤波的某种递推算法或它所满足的随机微分方程[17]。但一般它们并不存在，因此必须对所讨论的过程X与Y加以适当的限制。非线性滤波的研究工作相当活跃，它涉及随机过程论的许多近代成果，如随机过程一般理论、随机微分方程、点过程等。其中一个十分重要的问题，是研究在什么条件下，存在一个M，使得在任何时刻,M和Y都包含同样的信息；这样的M称为Y的新息过程。目前对于一类所谓“条件正态过程[36]，已经给出了非线性最优滤波的可严格实现的递推算式。在实际应用上，对非线性滤波问题往往采用各种线性近似的方法[24]。
1.3 时滞系统简介
在一些物理系统和生物系统中，当前状态的变化依赖于一些过去的状态。系统的这种特性称为时滞[2]，具有时滞特性的系统称为时滞系统[1,7,10]。人们很早就注意到了生物系统的时滞现象。后来发现许多工程系统，如液体的传输系统，轧钢系统，机械传动系统等都有时滞现象。由于时滞系统具有广泛的实际背景，因此对它的研究受到广大学者的关注。
五、六十年代建立的时滞系统的基本理论，包括运动方程解[8]的存在性、唯一性、零解的稳定性理论等，为后来时滞系统的分析与设计奠定了基础。
八十年代中期出现了时滞系统滤波[27]研究。最初的研究在频域上进行，方法是算子理论。九十年代后，状态空间方法成为了主要研究方法，目前对时滞系统的滤波设计，主要集中在对线性时滞系统的讨论。在状态空间表示下，线性时滞系统的滤波器设计方法则主要集中于用Riccati矩阵方程或不等式。和线性矩阵不等式。LMI因其具有优于Riccati方法[21,17]的众多优点而越来越受到人们的关注 ，特别是matlab仿真软件中出现方便的LMI工具箱后更是如此。
第2章 基本预备知识
2.1 范数及H∞ 标准
范数是定义在空间的一种范数。所谓空间就是指在s闭有半平面内解析并且满足以下复变函数阵的集合。
,
它实际上是 时的Hardy赋范空间。H∞范数一般定义为， ,
由复变函数的最大模原理，上式等价于
，
H∞的标准问题的结构如图2.1所示
图2.1 H∞的标准问题
H∞的标准问题的系统结构描述如下
，
从w到z的传递函数矩阵 为
,
z、y、w和u分别是控制输出、测量输出、干扰输入以及控制输入。控制输出向量z通常包括误差信号和加权控制输出，干扰输入向量w通常包括干扰、噪声和指令，测量输出向量y通常包括可测的并且可用于反馈的所有信号，控信输入向量u通常指可以改变系统行为的所有信号。
H∞滤波的标准框架或标准问题是：求一真的实有理的K，使G稳定，并使得传递函数矩阵 的H∞范数极小，即
或者表述为：求所有真的实有理的K，使G稳定，并使得
前者称为H∞最优滤波问题，后者称为H∞次优滤波问题。
2.2 线性矩阵不等式LMI基础
近年来，线性矩阵不等式[7]广泛应用于解决系统控制中的一系列问题。随着LMI内点法的提出以及Matlab中LMI 控制工具箱的推广，LMI 这一工具已经受到重视。LMI 控制工具箱已经成为了从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一个强大的设计工具。由于许多控制问题都可以转化为一个LMI 系统的可行性问题，或者是一个具有LMI约束的最优化问题，应用LMI来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研究热点。
摘 要
由于系统的不确定性和时滞特性的客观存在，近年来不确定时滞系统的鲁棒控制器和滤波器的分析和设计引起了许多学者的关注。
本文的鲁棒H∞滤波问题为有马尔可夫跳变参数的不确定的随机时滞系统。
目的是设计一个线性滤波器使滤波误差系统是指数均方稳定的, 并满足给定的H∞ 性能指标。不论是系统的动力还是测试都是通过Wiener流程来实现。时间延迟的变化间隔,取决于操作模式。一个马尔可夫跳变线性滤波器是为了即满足鲁棒指数均方稳定并且满足规定的扰动衰减程度的滤波误差系统。指数衰减率可以直接使用估计矩阵的李雅普诺夫泛函及其衍生物。一个延迟范围依赖条件可以通过LMIs得到H∞滤波问题的可行解,所需的滤波器可以通过LMIs描述。并用一个说明性的数值例子说明所给方法的有效性。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:H∞滤波；随机系统；指数均方稳定；不确定系统；马尔可夫跳变参数；模式依赖；
目 录
摘 要 I
Abstract II
第1章 绪论 1
1.1 马尔科夫跳变简介 1
1.2 滤波简介 2
1.3 时滞系统简介 4
第2章 基本预备知识 5
2.1 范数及H∞ 标准 5
2.2 线性矩阵不等式LMI基础 6
2.2.1 线性矩阵不等式LMI一般形式 7
2.2.2 标准的LMI求解问题 8
第3章 不确定随机跳变系统的滤波器 10
3.1 问题描述 10
3.2 滤波器设计 12
3.3 仿真算例与分析 20
3.3.1 仿真算例 20
3.3.2 仿真结果和分析 21
第4章 总结与展望 27
参考文献 28
致 谢 31
附录1 外文原文 32
附录2 外文翻译 39
第1章 绪论
1.1 马尔科夫跳变简介
马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫(A.A.Markov,1856－1922)得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的[5,7]。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链[2,11,15]，简记为Xn = X(n),n = 1,2,3,4····。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”[14,17]，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程[13]：
1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；
2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S,P,Q)，其中各元的含义如下：
1)S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集[18]。本文中假定S是可数集（即有限或可列）。用小写字母i,j（或Si,Sj)等来表示状态。
2)P是系统的状态转移概率矩阵，其中Pij表示系统在时刻t处于状态i,在下一时刻t+l处于状态i的概率,N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s,有。
3)Q是系统的初始概率分布,qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。
随机过程
系统的特征可以用一组随时间变化的变量来加以描述。
如果系统在任何时点上的特性或状态是随机性的，则系统的变化过程就对应一组随机变量构成的过程来描述，这个系统随机变化的过程的描述，就是随机过程[24]。
随机过程可以描述为： ；
其中 为在同一状态空间中取值的随机变量， 为参数集。
若 为可数参数集，如 ，则该过程为离散参数的随机过程。
若 为不可数参数集，如 ，则该过程为连续参数的随机过程。
状态与状态转移
状态：当系统由一组确定的变量值来描述的时候，就说系统处于一个状态。
状态转移：当系统的变量从一个特定值变化到另一个特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态。
设系统的离散状态为 设 表示第 次转移到状态 ， 表示系统转移前处于 状态。
则称 为系统在第 次转移到 状态的转移概率。
其中：
称 为n时刻马尔可夫链的绝对概率[34]；
称 为n时刻的绝对概率向量[27]。
1.2 滤波简介
1、维纳滤波
历史上最先考虑的是宽平稳过程[35]的线性预测和滤波问题，它的一般模型[18]是Yt=Xt+Nt，其中(X，N)为二维宽平稳过程或序列，其谱分布函数已知,其均值为零。设从0到时刻t为止的全部Y的值都已被观测到，求X的τ步线性预测及其均方误差。如果限于考虑N=0、τ>0的情形，则变成在无误差观测条件下X本身的线性预测问题；如果N≠0、τ≤0，则变成从受到噪声N干扰的接收信号Y中提取有用信号X的滤波问题。1939～1941年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫利用平稳序列的沃尔德
维纳滤波公式[40]是通过平稳过程的谱分解导出的，难以推广到较一般的非平稳过程和多维情形，因而应用范围受到限制[42]。另一方面，在不断增加观测结果时，不易从已算出的滤波值及新的观测值较简单地求出新的滤波值，特别是不能满足在电子计算机上快速处理大量数据的需要。
2、卡尔曼滤波
由于高速电子计算机的发展以及测定人造卫星轨道
卡尔曼滤波也有多种形式的推广，例如放宽对噪声不相关性的限制，用线性系统逼近非线性系统
3、非线性滤波
前已说明，一般的非线性最优滤波[16]可归结为求条件期望[13]的问题。对于有限多个观测值的情形，条件期望原则上可以用贝叶斯公式
1.3 时滞系统简介
在一些物理系统和生物系统中，当前状态的变化依赖于一些过去的状态。系统的这种特性称为时滞[2]，具有时滞特性的系统称为时滞系统[1,7,10]。人们很早就注意到了生物系统的时滞现象。后来发现许多工程系统，如液体的传输系统，轧钢系统，机械传动系统等都有时滞现象。由于时滞系统具有广泛的实际背景，因此对它的研究受到广大学者的关注。
五、六十年代建立的时滞系统的基本理论，包括运动方程解[8]的存在性、唯一性、零解的稳定性理论等，为后来时滞系统的分析与设计奠定了基础。
八十年代中期出现了时滞系统滤波[27]研究。最初的研究在频域上进行，方法是算子理论。九十年代后，状态空间方法成为了主要研究方法，目前对时滞系统的滤波设计，主要集中在对线性时滞系统的讨论。在状态空间表示下，线性时滞系统的滤波器设计方法则主要集中于用Riccati矩阵方程或不等式。和线性矩阵不等式。LMI因其具有优于Riccati方法[21,17]的众多优点而越来越受到人们的关注 ，特别是matlab仿真软件中出现方便的LMI工具箱后更是如此。
第2章 基本预备知识
2.1 范数及H∞ 标准
范数是定义在空间的一种范数。所谓空间就是指在s闭有半平面内解析并且满足以下复变函数阵的集合。
,
它实际上是 时的Hardy赋范空间。H∞范数一般定义为， ,
由复变函数的最大模原理，上式等价于
，
H∞的标准问题的结构如图2.1所示
图2.1 H∞的标准问题
H∞的标准问题的系统结构描述如下
，
从w到z的传递函数矩阵 为
,
z、y、w和u分别是控制输出、测量输出、干扰输入以及控制输入。控制输出向量z通常包括误差信号和加权控制输出，干扰输入向量w通常包括干扰、噪声和指令，测量输出向量y通常包括可测的并且可用于反馈的所有信号，控信输入向量u通常指可以改变系统行为的所有信号。
H∞滤波的标准框架或标准问题是：求一真的实有理的K，使G稳定，并使得传递函数矩阵 的H∞范数极小，即
或者表述为：求所有真的实有理的K，使G稳定，并使得
前者称为H∞最优滤波问题，后者称为H∞次优滤波问题。
2.2 线性矩阵不等式LMI基础
近年来，线性矩阵不等式[7]广泛应用于解决系统控制中的一系列问题。随着LMI内点法的提出以及Matlab中LMI 控制工具箱的推广，LMI 这一工具已经受到重视。LMI 控制工具箱已经成为了从控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一个强大的设计工具。由于许多控制问题都可以转化为一个LMI 系统的可行性问题，或者是一个具有LMI约束的最优化问题，应用LMI来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研究热点。
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