二叉树模型在期权定价中的应用
二叉树模型分为单期二叉树模型和多期二叉树模型，其中单期模型简单而多期模型更为实用，在期权定价中，二叉树模型经常被使用。而期权则有欧式期权与美式期权之分。对于欧式期权定价，二叉树模型显得尤为重要，它精确地给出了欧式期权的定价公式。当然美式期权亦可使用二叉树模型，只需选定节点即可。但它也有一个必要条件市场必须是无套路市场。本文首先给出应用实例，再引入数学符号并计算期权定价的一般数学公式。
目录
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备 注
1
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1
2
毕业论文(设计)开题报告
1
3
毕业论文(设计)中期检查表
1
4
毕业论文(设计)正本
1
5
1
6
1
7
毕业论文(设计)答辩记录和综合评定成绩表
1
8
其它
2018年 6月6日
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言 3
1 单期二叉树模型3
1.1 引例 3
1.2 一般化 5
2 多期二叉树模型6
2.1 欧式期权6
2.2.1 欧式看涨期权6
2.2.2 欧式看跌期权8
2.2 美式期权9
3 二叉树模型在现实中的应用补充10
4 总结11
致谢11参考文献12
二叉树模型在期权定价中的应用
信息与计算科学 张恒健
引言
在现代金融市场中，金融衍生品占比很大，其中期权尤为重要，期权分为看涨期权和看跌期权。看涨期权又称为“多头期权”，它使期权买方在规定的期限内享有向期权卖方购入某种商品或期货的权利，但仅为权利，买方并不承担购买义务；而看跌期权则又称为“空头期权”，使得期权卖方在规定的时间内 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
享有向买方卖出某种商品或合约的权利，同样卖方不必负担必须卖出的义务[1]。由此看出，看涨期权一般是买方认为该标的商品价格会上涨因此在未来时间内可以以一个约定好的较低的价格购入，以此获利，而看跌期权则相反，卖方认为标的商品价格会下跌，因此未来可以一个较高的价格卖出。
1 单期二叉树模型
1.1.引例
首先考虑一个简例，一只股票现价20元，已知它在3个月后的价格将变为18或22元，在购买这只股票的同时买入一只欧式看涨期权，期权内容为买方可以在3个月后以21元的价格购入这只股票。显然，此投资组合在三个月后有两种可能：
股票价格变为22元，此时我们可以21元的价格购入，则期权价值为1元；
股票价格变为18元，我们不会行权，故此时期权价值0元。则结果如下图所示：
股价=22元
期权价值=1元
股价=20元
股价=18元
期权价值=0元
该例可引出一个相关的期权定价的问题：在无套利市场[2]中如何制定这个期权的价格才能使买方的利润不变？我们建立一个关于该股票以及根据此股票制定的期权的投资组合，由上例可知，该投资组合是确定的且其收益恒大于等于0（即无风险的），所以它所得到的回报必须等于无风险利率。这使我们得以计算出期权的价格。
因为这里仅有两种产品（股票和证券）且所得收益是确定的，所以很容易建立一个无风险投资组合：考虑持有X股股票以及一只看涨期权的投资组合。我们可以计算出使得投资组合无风险的期权价格。
如果股价由20元涨到22元，那么此X股的价值为22X元，期权的价值为1元，所以该投资组合的价值为22X1。
如果股票价格由20元跌至18元，则X股的价值为18X，期权的价值为0，所以该投资组合的价格即为18X。
如果两种结果相等则该投资组合无风险。即
.
.
因此，一个无风险的投资组合为持有0.25股股票以及一只看涨期权。
可以检验，如果该股票上升至22元，该投资组合3月后获得的收益为
.
如果该股票下降至18元，该投资组合3月后获得的收益为
.
由此可知，无论该股票价格上升或下降，当期权结束时，该投资组合所获收益均为4.5元。
无风险投资组合必须存在于无套利市场中，赚取无风险利率。在这个例子中，可设其无风险收益率为每年12%，因此该投资组合在三个月后价值必须为4.5元或现值为
.
股票现在的价格为20元，设期权的价格为f，则现在投资组合的价格为：
.
所以期权的价应为
.
这表示在公平市场中，期权的价格为0.633元。当然，购买0.25股是不现实的，但将比例放大，如卖出400份期权，购买100股，结论仍然不变。
1.2.一般化
考虑一个股票期权价格为f，而卖出此期权方为控制风险，必须购买一定份额的股票，若定为，就是对冲。
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关键词3
Abstract3
Key words3
引言 3
1 单期二叉树模型3
1.1 引例 3
1.2 一般化 5
2 多期二叉树模型6
2.1 欧式期权6
2.2.1 欧式看涨期权6
2.2.2 欧式看跌期权8
2.2 美式期权9
3 二叉树模型在现实中的应用补充10
4 总结11
致谢11参考文献12
二叉树模型在期权定价中的应用
信息与计算科学 张恒健
引言
在现代金融市场中，金融衍生品占比很大，其中期权尤为重要，期权分为看涨期权和看跌期权。看涨期权又称为“多头期权”，它使期权买方在规定的期限内享有向期权卖方购入某种商品或期货的权利，但仅为权利，买方并不承担购买义务；而看跌期权则又称为“空头期权”，使得期权卖方在规定的时间内 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
享有向买方卖出某种商品或合约的权利，同样卖方不必负担必须卖出的义务[1]。由此看出，看涨期权一般是买方认为该标的商品价格会上涨因此在未来时间内可以以一个约定好的较低的价格购入，以此获利，而看跌期权则相反，卖方认为标的商品价格会下跌，因此未来可以一个较高的价格卖出。
1 单期二叉树模型
1.1.引例
首先考虑一个简例，一只股票现价20元，已知它在3个月后的价格将变为18或22元，在购买这只股票的同时买入一只欧式看涨期权，期权内容为买方可以在3个月后以21元的价格购入这只股票。显然，此投资组合在三个月后有两种可能：
股票价格变为22元，此时我们可以21元的价格购入，则期权价值为1元；
股票价格变为18元，我们不会行权，故此时期权价值0元。则结果如下图所示：
股价=22元
期权价值=1元
股价=20元
股价=18元
期权价值=0元
该例可引出一个相关的期权定价的问题：在无套利市场[2]中如何制定这个期权的价格才能使买方的利润不变？我们建立一个关于该股票以及根据此股票制定的期权的投资组合，由上例可知，该投资组合是确定的且其收益恒大于等于0（即无风险的），所以它所得到的回报必须等于无风险利率。这使我们得以计算出期权的价格。
因为这里仅有两种产品（股票和证券）且所得收益是确定的，所以很容易建立一个无风险投资组合：考虑持有X股股票以及一只看涨期权的投资组合。我们可以计算出使得投资组合无风险的期权价格。
如果股价由20元涨到22元，那么此X股的价值为22X元，期权的价值为1元，所以该投资组合的价值为22X1。
如果股票价格由20元跌至18元，则X股的价值为18X，期权的价值为0，所以该投资组合的价格即为18X。
如果两种结果相等则该投资组合无风险。即
.
.
因此，一个无风险的投资组合为持有0.25股股票以及一只看涨期权。
可以检验，如果该股票上升至22元，该投资组合3月后获得的收益为
.
如果该股票下降至18元，该投资组合3月后获得的收益为
.
由此可知，无论该股票价格上升或下降，当期权结束时，该投资组合所获收益均为4.5元。
无风险投资组合必须存在于无套利市场中，赚取无风险利率。在这个例子中，可设其无风险收益率为每年12%，因此该投资组合在三个月后价值必须为4.5元或现值为
.
股票现在的价格为20元，设期权的价格为f，则现在投资组合的价格为：
.
所以期权的价应为
.
这表示在公平市场中，期权的价格为0.633元。当然，购买0.25股是不现实的，但将比例放大，如卖出400份期权，购买100股，结论仍然不变。
1.2.一般化
考虑一个股票期权价格为f，而卖出此期权方为控制风险，必须购买一定份额的股票，若定为，就是对冲。
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