数形结合分析方法在大学数学中的应用研究
数学思想与数学方法两者紧密相连，思想里包含了对方法的指导，方法中又体现了思想的内涵。数学思想是从数学理论和本质中提炼出来的，而数学方法是对数学思想的践行与表现，所以数学思想方法是数学的灵魂，是数学学习的指导思想，理解并掌握好数学思想方法对于我们来说至关重要。数学从内容本质上来说，研究的是数量关系和空间形式，将这两部分结合起来一起研究，就有了数形结合，数字结合思想方法便是重要的数学思想方法之一。从数的形成与发展，到往后产生的解析几何、微积分及与数学相关的各分支学科，都有数与形完美结合的身影，数形结合是数学教学与学习中促进对知识的理解与应用的重要方法，是化难为易，化繁为简，化抽象为具体最便捷的手段之一。基于许多有关数形结合的文献资料和前人对于数形结合的研究成果，本人将结合自己在大学中学习数学的感受，对数形结合思想在大学数学中的应用进行简要的总结与分类。从大学中三门主干课程《数学分析》、《高等代数与解析几何》以及《概率论与数理统计教程》的典型内容中，以详实的典型例题对数形结合思想方法的应用进行研究。本文主要从以下几个方面阐述（1）数形结合思想方法的概述；（2）数形结合思想方法在大学数学中的应用；（3）数形结合思想方法的优越性与局限性关键词 数学思想，数学方法，数形结合，大学数学
目 录
1 数形结合思想方法概述 1
1.1 数形结合思想方法的历史演进 1
1.2 数形结合思想方法的内涵 2
1.3 数形结合思想方法的类型 2
2 数形结合思想方法的应用 2
2.1 由形解数 3
2.2 由数解形 18
3 数形结合思想方法的优越性与局限性 21
3.1 优越性 21
3.2 局限性 22
结 论 24
致 谢 25
参 考 文 献 26
1 数形结合思想方法概述
1.1 数形结合思想方法的历史演进
数学思想是处理数学问题的基本观点，是对数学内容本质的概括，它是从数学方法中提炼出来的，是解决数学问题的指导方针。而数学方法是采用各种方式手段、技巧途径来解决问题，它是处理、探索、解决问题的工具，是解决各类数学问题的方法。由此可见，数学思想 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
与数学方法关系紧密，思想是方法的灵魂，方法是思想的载体，二者互为表里，密切相关，很多时候很难区分，因此，人们常常不加区分，把它们统称为数学思想方法。
北京师范大学钱佩玲教授曾说过：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识。”“是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂”[1]。数形结合思想方法是数学思想方法中基础但重要的典型代表，是数学教学与学习中促进对知识的理解与应用的重要思想方法，可以起到化难为易，化繁为简，化抽象为具体的作用。
我们知道，数的产生来源于计数，而用来表示计数的工具却是一系列的图形，古时就有多种多样的计数方法，大都是以具体的图形来表示抽象的数。比如中国的算盘就是一个沿用至今的计数工具，是数形结合的典范。数的产生来源于对图形的计算，图形又帮助数能够进行记录和使用。比如在古希腊时期的毕达哥拉斯学派在研究数时，他们就会将数和砂砾或平面上的点联系起来，通过它们的形状将数进行分类，结合图形的性质来推出数与数之间的相互表达。
紧接着古希腊亚历山大时期的欧几里得写了流芳百世的著作《几何原本》，这时期的数学发展以几何学为显著特征。主要是通过几何的研究方法去验证代数问题的结果，或者是用代数的方法去进行几何的证明。比如一元二次方程解的个数，二项方程的几何解法，代数恒等式的证明等等，在这个时期数形结合的思想方法促进了代数学的发展。
然后法国数学家笛卡尔以数轴坐标为桥梁，建立起了点与数、曲线与方程之间的对应关系。将数轴（一维）上的点与实数、平面直角坐标系（二维）与有序数对一一对应起来，这样就可以用几何来进行代数研究，或者用代数来研究几何特性，从而拓宽了研究领域并且推动了数学发展。
进一步继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合，代数和几何的结合产生了代数几何，分析和几何的结合产生了微分几何，而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析（以及其他学科）提供几何背景[2]。比如导数表示切线的斜率，积分表示曲边梯形的面积，矩阵的特征向量表示坐标轴变换后的主方向等等。可见，数形结合思想方法贯穿于数学发展的整个过程，是发展的必然趋势，为数学在实践中的深入发展提供有利条件。
1.2 数形结合思想方法的内涵
华罗庚先生对数形结合问题曾作过一个精辟的阐述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离[3]！”几句话便深入浅出地说明了数与形之间紧密的联系。数形结合思想，其本质上即是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，关键就在于代数问题与几何图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化[4]。用形研究数，是为了发挥形的生动直观性；用数研究形，是为了发挥数的规范严密性。两者扬长避短，使问题变得直观简洁，突出展示了数学思维的特殊美。可见，运用数形结合思想方法研究某些问题时，人们能够同时分析其几何意义和代数意义，两者相互结合，优势互补，发挥各自的长处。
1.3 数形结合思想方法的类型
从方法的应用上来说，数形结合思想方法有两种应用类型：一种是“以形助数”，借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，以数为目的；另一种则是“以数辅形”，即借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些特征，即以数为手段，以形为目的[1]。数形结合思想方法将几何方法的形象直观，代数方法的严瑾详实等优点集于一身，充分发挥了几何图形和代数计算两者各自的优势。在解题中，如果能从形的直观性以及数的严谨性两个层次来思考问题的求解策略，那么，就能够起到拓宽解题思路，优化解题过程的作用，让我们数学的学习达到事半功倍的效果。
2 数形结合思想方法的应用
数形结合思想方法被运用在了许多领域，前人对它也做了充分的研究与总结，主要的应用大致体现在教学与解题上。在数学教学中，数形结合思想方法有助于学生形成和谐、完整的数学概念，有助于学生拓宽解决问题的途径，有助于学生数学能力的培养，有助于唤起学生对数学美的追求。在数学解题中，数形结合思想方法有助于在思维受阻时找到突破口，有助于让我们在解题中尝到成功的喜悦，有助于我们坚定学好数学的信心，有助于我们在数学的解题中做到融会贯通、相得益彰。
可见，数形结合思想方法的应用在教学与解题中有很多的益处，在此，我会主要介绍数形结合思想方法在大学数学解题中的应用，并把它们分为两种情况：一是由形解数，二是由数解形。
2.1 由形解数
2.1.1 有助于概念的理解
概念是逻辑的起点，是认知的基础，是思维的核心。数学教材中的概念也是如此，它既是数学基本理论的奠基石，也是人们从感性认识上升到理性认识的产物，并且是思维进行了多级抽象的结果。它最终的结论以文字的形式表现出来，省略了数学概念原有的逻辑加工过程，也正是这种高度的抽象过程，数学给人的感觉常常是单调枯燥、乏味晦涩。事实上数学中的大部分概念都有其原始直观的模型，都可以通过模型来了解它的来龙去脉，可以清晰完整地理解概念、记忆概念并运用概念。利用数形结合，对概念进行数与形的两种表示，从而揭示知识的实质，沟通知识之间的内在联系，真正理解概念的本质属性。
目 录
1 数形结合思想方法概述 1
1.1 数形结合思想方法的历史演进 1
1.2 数形结合思想方法的内涵 2
1.3 数形结合思想方法的类型 2
2 数形结合思想方法的应用 2
2.1 由形解数 3
2.2 由数解形 18
3 数形结合思想方法的优越性与局限性 21
3.1 优越性 21
3.2 局限性 22
结 论 24
致 谢 25
参 考 文 献 26
1 数形结合思想方法概述
1.1 数形结合思想方法的历史演进
数学思想是处理数学问题的基本观点，是对数学内容本质的概括，它是从数学方法中提炼出来的，是解决数学问题的指导方针。而数学方法是采用各种方式手段、技巧途径来解决问题，它是处理、探索、解决问题的工具，是解决各类数学问题的方法。由此可见，数学思想 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072$
与数学方法关系紧密，思想是方法的灵魂，方法是思想的载体，二者互为表里，密切相关，很多时候很难区分，因此，人们常常不加区分，把它们统称为数学思想方法。
北京师范大学钱佩玲教授曾说过：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识。”“是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂”[1]。数形结合思想方法是数学思想方法中基础但重要的典型代表，是数学教学与学习中促进对知识的理解与应用的重要思想方法，可以起到化难为易，化繁为简，化抽象为具体的作用。
我们知道，数的产生来源于计数，而用来表示计数的工具却是一系列的图形，古时就有多种多样的计数方法，大都是以具体的图形来表示抽象的数。比如中国的算盘就是一个沿用至今的计数工具，是数形结合的典范。数的产生来源于对图形的计算，图形又帮助数能够进行记录和使用。比如在古希腊时期的毕达哥拉斯学派在研究数时，他们就会将数和砂砾或平面上的点联系起来，通过它们的形状将数进行分类，结合图形的性质来推出数与数之间的相互表达。
紧接着古希腊亚历山大时期的欧几里得写了流芳百世的著作《几何原本》，这时期的数学发展以几何学为显著特征。主要是通过几何的研究方法去验证代数问题的结果，或者是用代数的方法去进行几何的证明。比如一元二次方程解的个数，二项方程的几何解法，代数恒等式的证明等等，在这个时期数形结合的思想方法促进了代数学的发展。
然后法国数学家笛卡尔以数轴坐标为桥梁，建立起了点与数、曲线与方程之间的对应关系。将数轴（一维）上的点与实数、平面直角坐标系（二维）与有序数对一一对应起来，这样就可以用几何来进行代数研究，或者用代数来研究几何特性，从而拓宽了研究领域并且推动了数学发展。
进一步继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合，代数和几何的结合产生了代数几何，分析和几何的结合产生了微分几何，而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析（以及其他学科）提供几何背景[2]。比如导数表示切线的斜率，积分表示曲边梯形的面积，矩阵的特征向量表示坐标轴变换后的主方向等等。可见，数形结合思想方法贯穿于数学发展的整个过程，是发展的必然趋势，为数学在实践中的深入发展提供有利条件。
1.2 数形结合思想方法的内涵
华罗庚先生对数形结合问题曾作过一个精辟的阐述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离[3]！”几句话便深入浅出地说明了数与形之间紧密的联系。数形结合思想，其本质上即是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，关键就在于代数问题与几何图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化[4]。用形研究数，是为了发挥形的生动直观性；用数研究形，是为了发挥数的规范严密性。两者扬长避短，使问题变得直观简洁，突出展示了数学思维的特殊美。可见，运用数形结合思想方法研究某些问题时，人们能够同时分析其几何意义和代数意义，两者相互结合，优势互补，发挥各自的长处。
1.3 数形结合思想方法的类型
从方法的应用上来说，数形结合思想方法有两种应用类型：一种是“以形助数”，借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，以数为目的；另一种则是“以数辅形”，即借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些特征，即以数为手段，以形为目的[1]。数形结合思想方法将几何方法的形象直观，代数方法的严瑾详实等优点集于一身，充分发挥了几何图形和代数计算两者各自的优势。在解题中，如果能从形的直观性以及数的严谨性两个层次来思考问题的求解策略，那么，就能够起到拓宽解题思路，优化解题过程的作用，让我们数学的学习达到事半功倍的效果。
2 数形结合思想方法的应用
数形结合思想方法被运用在了许多领域，前人对它也做了充分的研究与总结，主要的应用大致体现在教学与解题上。在数学教学中，数形结合思想方法有助于学生形成和谐、完整的数学概念，有助于学生拓宽解决问题的途径，有助于学生数学能力的培养，有助于唤起学生对数学美的追求。在数学解题中，数形结合思想方法有助于在思维受阻时找到突破口，有助于让我们在解题中尝到成功的喜悦，有助于我们坚定学好数学的信心，有助于我们在数学的解题中做到融会贯通、相得益彰。
可见，数形结合思想方法的应用在教学与解题中有很多的益处，在此，我会主要介绍数形结合思想方法在大学数学解题中的应用，并把它们分为两种情况：一是由形解数，二是由数解形。
2.1 由形解数
2.1.1 有助于概念的理解
概念是逻辑的起点，是认知的基础，是思维的核心。数学教材中的概念也是如此，它既是数学基本理论的奠基石，也是人们从感性认识上升到理性认识的产物，并且是思维进行了多级抽象的结果。它最终的结论以文字的形式表现出来，省略了数学概念原有的逻辑加工过程，也正是这种高度的抽象过程，数学给人的感觉常常是单调枯燥、乏味晦涩。事实上数学中的大部分概念都有其原始直观的模型，都可以通过模型来了解它的来龙去脉，可以清晰完整地理解概念、记忆概念并运用概念。利用数形结合，对概念进行数与形的两种表示，从而揭示知识的实质，沟通知识之间的内在联系，真正理解概念的本质属性。
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