椭圆积分在duffing方程中的应用研究
本文主要研究椭圆积分在非受迫Duffing方程中的应用。为了研究这个问题，我们要了解椭圆积分以及Duffing方程的一些基本知识。另外，我们也介绍了椭圆函数的概念，特别提到Jacobi椭圆函数。利用这些知识，对两类非受迫Duffing方程参数的不同情况，我们分析了它们的解的情况，并给出部分解的椭圆函数表示。我们绘出一些相图，试图揭示Duffing方程的动力学特征。最后，对一类Duffing方程的一种情况，通过比较椭圆函数解和数值解的精度，验证了我们的椭圆函数解公式的正确性。关键词 椭圆积分，椭圆函数，Duffing方程，数值积分
目录
1 引言 1
1.1 研究的背景 1
1.2 研究的意义与目的 1
1.3 主要工作及章节安排 2
2 基础知识 2
2.1 椭圆积分 3
2.2 椭圆函数 3
2.3 Jacobi椭圆函数 4
2.4 Duffing方程 7
3 无驱动Duffing方程的研究 12
3.1 自由振动的Duffing方程 12
3.2 具有正项五次非线性力的Duffing方程 16
3.3 用数值积分解Duffing方程 22
结 论 27
致 谢 28
参 考 文 献 29
附录 30
1 引言
1.1 研究的背景
椭圆积分在数学研究、物理和工程中有一定的应用。通常，椭圆积分可以分为三类，即勒让德第一类椭圆积分、第二类椭圆积分和第三类椭圆积分，而且椭圆积分可以用椭圆函数表示，椭圆函数又可以用幂级数来表示。通常求积分的插值方法对某些椭圆积分的计算并不适用，主要是因为某些情况下该方法收敛速度很慢。为了计算方便，人们常研究和使用收敛速度较快的级数来计算椭圆积分。关于椭圆积分的基本知识，可参考Byrd & Friedman(1971)[1]，该著作总结了关于椭圆积分和椭圆函数的现代计算方法。
近年来，国内外对椭圆积分方面有不少研究。以电磁场和电位计算为应用背景，L.Urankar和P.Henninger(1991)[2] *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
研究了第一、二类椭圆积分基于Laden变换的算法。他们还与 F. S. Nestel(1994)[3]合作研究了第三类椭圆积分基于Laden变换的算法。Fukushima(2009)[4]给出了如何快速计算完全椭圆积分和Jacobi椭圆函数的新算法，对应的Fortran程序比Bulirsch的Fortran程序运行速率快25%以上。Fukushima(2015)[5]又总结了如何精确和快速地计算三类不完全椭圆积分和椭圆函数。以上研究结果表明，采用截断的泰勒级数展开方法和椭圆函数的积分变换方法能加快展开级数的收敛速度。椭圆积分在国外的研究现状，主要关于计算椭圆积分的新方法以及如何提高计算的效率。
而椭圆积分在国内的研究现状主要是利用椭圆积分解决数学物理问题。管立孙和张文义(1995)[6运用椭圆积分计算了静电场和稳恒磁场，鲁阳(2010)[7]研究了第一类椭圆积分的算法实现问题。刘式适等(2001)[8]研究了Jacobi椭圆函数该如何展开，在求解非线性波动方程中应如何使用Jacobi椭圆函数。张广平(2009)[9]研究了无阻尼单摆运动方程的复数解，用Jacobi椭圆函数表示这个方程的一般解，并讨论了它的特殊解。胡绍宗(2013)[10]主要介绍了椭圆积分表并简单介绍了第一、第二类完全椭圆积分在圆锥曲面面积和单摆运动周期中的应用。徐兴波(2015)[11]研究了等级三星系统运动的一阶模型及其应用，其中也用到了椭圆积分。
1.2 研究的意义与目的
椭圆积分和椭圆函数在一些非线性方程中有比较重要的应用。对一些物理原理比较简单而数学求解却不容易的问题，常常会用到椭圆积分和椭圆函数。比如，单摆问题、复摆问题、一些非线性波动问题、一些动力学周期运动问题等等，这些非线性方程的求解问题一直受到研究重视。我们以Duffing方程为例来研究椭圆积分的应用，用椭圆函数来表示Duffing方程的解。Duffing方程的解，不能用初等函数表示，可以用椭圆函数表示，而且椭圆函数可以用收敛级数来近似，从而可以快速准确地给出Duffing方程的解。
1.3 主要工作及章节安排
我们以Duffing方程为例子，分别给出该方程的椭圆函数表示的解和数值积分解。用数值积分解来验证求的椭圆函数表示的解的正确性。
第一部分是明确了研究的背景，研究的目的和意义以及我们要完成的工作。第二部分是要了解这个课题的一些基本知识，首先要了解椭圆积分的一些基本知识，了解到椭圆函数是椭圆积分的反函数，Jacobi椭圆函数是椭圆函数的一个基础的函数。详细了解并理解了Jacobi椭圆函数的一些基本知识，包括它的介绍、定义、三角学的定义、加法定理以及它作为非线性常微分方程的解。其次我们还要了解Duffing方程的基本知识，包括Duffing方程的参数、求解方法以及分类，还通过方程的波形图和相平面举了一些典型的例子，显示了此Duffing方程经过时间加倍分岔出现的次谐波以及混沌现象。
第三部分是本文研究的主要内容，研究无驱动的Duffing方程用椭圆函数表示的解和数值积分解。主要研究了两个Duffing方程，分别是自由振动的Duffing方程和具有正项五次非线性力的Duffing方程。通过公式的推导给出了它们用椭圆函数表示的解以及用MATLAB编码绘制一些相图并得到了它们的数值积分的解。最后，对一类Duffing方程的一种情况，通过比较椭圆函数解和数值解的精度，验证了我们的椭圆函数解公式的正确性。
第四部分是结论，总结了本文所用方法，主要工作、得出的结果及分析。第五部分是致谢，感谢在我论文写作过程中帮助我的老师、同学和朋友家人们。第六部分是参考文献，是在我写作的论文中借鉴的知识。最后是附录，包含了我论文中所绘制图的代码。
目录
1 引言 1
1.1 研究的背景 1
1.2 研究的意义与目的 1
1.3 主要工作及章节安排 2
2 基础知识 2
2.1 椭圆积分 3
2.2 椭圆函数 3
2.3 Jacobi椭圆函数 4
2.4 Duffing方程 7
3 无驱动Duffing方程的研究 12
3.1 自由振动的Duffing方程 12
3.2 具有正项五次非线性力的Duffing方程 16
3.3 用数值积分解Duffing方程 22
结 论 27
致 谢 28
参 考 文 献 29
附录 30
1 引言
1.1 研究的背景
椭圆积分在数学研究、物理和工程中有一定的应用。通常，椭圆积分可以分为三类，即勒让德第一类椭圆积分、第二类椭圆积分和第三类椭圆积分，而且椭圆积分可以用椭圆函数表示，椭圆函数又可以用幂级数来表示。通常求积分的插值方法对某些椭圆积分的计算并不适用，主要是因为某些情况下该方法收敛速度很慢。为了计算方便，人们常研究和使用收敛速度较快的级数来计算椭圆积分。关于椭圆积分的基本知识，可参考Byrd & Friedman(1971)[1]，该著作总结了关于椭圆积分和椭圆函数的现代计算方法。
近年来，国内外对椭圆积分方面有不少研究。以电磁场和电位计算为应用背景，L.Urankar和P.Henninger(1991)[2] *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
研究了第一、二类椭圆积分基于Laden变换的算法。他们还与 F. S. Nestel(1994)[3]合作研究了第三类椭圆积分基于Laden变换的算法。Fukushima(2009)[4]给出了如何快速计算完全椭圆积分和Jacobi椭圆函数的新算法，对应的Fortran程序比Bulirsch的Fortran程序运行速率快25%以上。Fukushima(2015)[5]又总结了如何精确和快速地计算三类不完全椭圆积分和椭圆函数。以上研究结果表明，采用截断的泰勒级数展开方法和椭圆函数的积分变换方法能加快展开级数的收敛速度。椭圆积分在国外的研究现状，主要关于计算椭圆积分的新方法以及如何提高计算的效率。
而椭圆积分在国内的研究现状主要是利用椭圆积分解决数学物理问题。管立孙和张文义(1995)[6运用椭圆积分计算了静电场和稳恒磁场，鲁阳(2010)[7]研究了第一类椭圆积分的算法实现问题。刘式适等(2001)[8]研究了Jacobi椭圆函数该如何展开，在求解非线性波动方程中应如何使用Jacobi椭圆函数。张广平(2009)[9]研究了无阻尼单摆运动方程的复数解，用Jacobi椭圆函数表示这个方程的一般解，并讨论了它的特殊解。胡绍宗(2013)[10]主要介绍了椭圆积分表并简单介绍了第一、第二类完全椭圆积分在圆锥曲面面积和单摆运动周期中的应用。徐兴波(2015)[11]研究了等级三星系统运动的一阶模型及其应用，其中也用到了椭圆积分。
1.2 研究的意义与目的
椭圆积分和椭圆函数在一些非线性方程中有比较重要的应用。对一些物理原理比较简单而数学求解却不容易的问题，常常会用到椭圆积分和椭圆函数。比如，单摆问题、复摆问题、一些非线性波动问题、一些动力学周期运动问题等等，这些非线性方程的求解问题一直受到研究重视。我们以Duffing方程为例来研究椭圆积分的应用，用椭圆函数来表示Duffing方程的解。Duffing方程的解，不能用初等函数表示，可以用椭圆函数表示，而且椭圆函数可以用收敛级数来近似，从而可以快速准确地给出Duffing方程的解。
1.3 主要工作及章节安排
我们以Duffing方程为例子，分别给出该方程的椭圆函数表示的解和数值积分解。用数值积分解来验证求的椭圆函数表示的解的正确性。
第一部分是明确了研究的背景，研究的目的和意义以及我们要完成的工作。第二部分是要了解这个课题的一些基本知识，首先要了解椭圆积分的一些基本知识，了解到椭圆函数是椭圆积分的反函数，Jacobi椭圆函数是椭圆函数的一个基础的函数。详细了解并理解了Jacobi椭圆函数的一些基本知识，包括它的介绍、定义、三角学的定义、加法定理以及它作为非线性常微分方程的解。其次我们还要了解Duffing方程的基本知识，包括Duffing方程的参数、求解方法以及分类，还通过方程的波形图和相平面举了一些典型的例子，显示了此Duffing方程经过时间加倍分岔出现的次谐波以及混沌现象。
第三部分是本文研究的主要内容，研究无驱动的Duffing方程用椭圆函数表示的解和数值积分解。主要研究了两个Duffing方程，分别是自由振动的Duffing方程和具有正项五次非线性力的Duffing方程。通过公式的推导给出了它们用椭圆函数表示的解以及用MATLAB编码绘制一些相图并得到了它们的数值积分的解。最后，对一类Duffing方程的一种情况，通过比较椭圆函数解和数值解的精度，验证了我们的椭圆函数解公式的正确性。
第四部分是结论，总结了本文所用方法，主要工作、得出的结果及分析。第五部分是致谢，感谢在我论文写作过程中帮助我的老师、同学和朋友家人们。第六部分是参考文献，是在我写作的论文中借鉴的知识。最后是附录，包含了我论文中所绘制图的代码。
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/jsjkxyjs/1252.html
