量子保真度与量子相变
量子保真度与量子相变[20200406105059]
摘 要
在量子多体理论中，量子相变是人们研究的主要内容之一。而量子保真度则是量子信息学中重要概念之一。由于量子多体理论和量子信息学这两种学科的交叉，保真度在量子相变点探测过程中可以起到很重要的作用。保真度方法作为一个新的角度,它的优势主要在于它是一个纯粹的几何学量,因此在研究量子相变时无需考虑任何预先设置的序参量。我们研究了两种不同的自旋梯模型中的保真度,寻找和验证系统中是否存在二聚体相。在此基础之上，我们通过约化密度矩阵重整化群的方法，得到系统的基态，并计算出系统的保真度。研究发现保真度只存在一个最低点，保真率中有一个最大点对应于保真度的最低点。它意味着Haldane和单重态之间发生的直接转换，并没有证据表明这两个系统的柱状二聚体相的存在。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:量子保真度密度矩阵重整化群量子相变自旋梯
目录
第一章 量子保真度和量子相变 1
1.1 量子相变 1
1.2 量子保真度 1
1.3 量子保真度与量子相变之间的联系 3
第二章 密度矩阵重整化群计算方法 4
2.1 发展背景 4
2.2 密度矩阵重整化群 4
2.2.1 无限链算法 5
2.2.2 有限链算法 5
2.2.3 结论 6
第三章 具有阻错的自旋1/2的自旋梯的量子相变：量子保真度分析 7
3.1 阻错的-1／2自旋梯 7
3.2 哈密顿量和保真度 9
3.3 自旋梯的保真度和量子相变 10
3.3.1 交叉耦合梯 10
3.3.2 斜梯 11
第四章 总结与展望 14
参考文献 15
致谢 18
第一章 量子保真度和量子相变
1.1 量子相变
一个量子多体系统的量子相变[1]是由于系统内各成分之间的相互作用引起的基态性质的变化。而热相变则相反，温度起着至关重要的作用，量子波动完全驱动量子相变。在数学上，他们通过非解析系统的哈密顿H（λ）的基态性质的行为体现各不相同的过渡点λc。
从本征视图的角度可以看出，哈密顿的能量谱的重建引起量子相变，特别是低洼激发光谱[2]。更精确地说，低能量光谱可以以两种不同的方式重建在临界点λc的周围，因此物理量显示出不同的反应。首先是交叉在基态能量上的一阶导数 的基态在转变点通常是不连续的。这样的转换被称为一阶相变。其次大致对应于在没有基态水平交叉在所有其他的情况下，它通常是一个连续相变。
传统上，连续相变以Landau–Ginzburg–Wilson自发对称性破缺理论为特征的相关本地命令参数的功能起着至关重要的作用。然而，一些系统不能被建立在当地的命令参量这个框架下来描述。这可能是由于哈密顿里没有原先对称情况的存在，如系统进行拓扑相变[3]。
1.2 量子保真度
在经典物理学中，物理学信息在物理演化过程中对没演化之前信息的忠诚度[4]被称为保真度。例如在电子音响系统中，人们通常所说的“高保真”就是经各个功率放大器处理后的视频及音频与没处理之前所储存的信息保持高度一致性的意思。因此，两个状态之间的距离可以用保真度来定义。在量子信息理论中，一个量子态经过量子通道后与原始输入态之间的距离通常可以用量子保真度来表示。在数学上，两个物理状态的波函数的内积被定义为保真度，因此也可以把它理解为从一个状态到另一个状态的跃迁概率。由于保真度也是一个纯粹的量子信息的概念，其中没有任何一个在先验知识边缘的命令参数和系统的对称性变化的假定，如果人们可以用它来描述量子相变，这将是一个很大的优势。沿着这条路探索下去，许多工程将要完成。
许多领域中已经广泛运用了量子保真度。在量子信息科学里，量子态保真度已被证明是有用的资源在处理一些基本问题当中，比如量化纠缠。量子保真度也有许多其他的用途，比如绝热保真度绝热过程。比如，绝热保真度是用来描述分子中的原子转换到原子系统中，超导量子比特，在玻色 - 爱因斯坦凝聚的时间演化。量子物理学家的工作交叉利用量子保真来衡量超敏反应小扰动的量子动力学。在后一种的情况下，一般的保真度依据时间而定。我们将要引入的保真度取决于绝热的哈密顿参数（或驱动参数），且通常为静态的。重复的部分然后被用来定义为在量子信息理论中的保真度。
确切来说，如果我们定义两个纯状态之间的重叠部分
, (1.2.1)
保真度仅仅只是重叠部分的模量，即
, (1.2.2)
其中， 分别是输入状态和输出状态，并且它们经过了归一化处理。保真度具有几何意义。根据线性代数a，b是两个向量的内积
a·b = ab cos(θ) . (1.2.3)
其中，a（b）是a（b）的大小，θ是它们之间的夹角。归一化矢量希尔伯特空间在量子力学中是一个纯粹的状态。在两种状态之间的保真度，表示的是它们之间的余弦距离。
预期的保真度具有以下的性质（公理）[5]
, (1.2.4)
, (1.2.5)
, (1.2.6)
. (1.2.7)
其中 表示幺正变换和 是一个子系统的状态。对于纯态，全局相位差可能会影响重叠，但不保真。例如：一个单一的自旋量子态可以表示为基础的 .为两个归一化的自旋状态，即 , , 它们之间的保真度是 . 混合态的量子保真度之间的定义 . (1.2.8)
这里 是半阳性定义和归一化，即 , 定义满足预期性质的保真度。评估任意两点间的混合态的保真度是非常不容易的。然而，也有一些特殊的有用的一些情况：
（1）如果两个状态是纯 ,
（2）如果一个状态是纯粹的，即， ，则 , 这是一个简单的预期值，ρ的平方根，
（3）如果这两个状态是对角的，可以计算为在相同的基准，例如在热平衡状态下，保真度（或古典的保真度）
. (1.2.9)
例如：如果自旋耦合到环境，它可以降低密度矩阵来描述。为两个减少密度矩阵
, 保真度可以计算为 。
1.3 量子保真度与量子相变之间的联系
在量子信息学中，量子保真度是最重要的概念之一，量子相变则是量子物理学中的最重要的概念之一。量子保真度方法作为理解量子相变的一个新的角度，因为它是一个纯粹的几何学量，所以在研究量子相变过程当中无需考虑任何预先设置的序参量。随着基态波函数的突变，可以非常直观的看出量子保真度和量子相变两者之间的相似程度。保真度措施之间的相似性状态，而量子相变的突然直观的陪同基态波函数的结构变化，这个主要的观察激励人们去探索高保真的量子相变的作用。
不失一般性，一般的量子多体系统的哈密顿量温度，这可能会经历一个在参数空间中的量子相变，可写为
， (1.3.1)
是驱动哈密顿和λ表示其强度。根据量子力学中，该系统满足薛定谔方程 (1.3.2)
摘 要
在量子多体理论中，量子相变是人们研究的主要内容之一。而量子保真度则是量子信息学中重要概念之一。由于量子多体理论和量子信息学这两种学科的交叉，保真度在量子相变点探测过程中可以起到很重要的作用。保真度方法作为一个新的角度,它的优势主要在于它是一个纯粹的几何学量,因此在研究量子相变时无需考虑任何预先设置的序参量。我们研究了两种不同的自旋梯模型中的保真度,寻找和验证系统中是否存在二聚体相。在此基础之上，我们通过约化密度矩阵重整化群的方法，得到系统的基态，并计算出系统的保真度。研究发现保真度只存在一个最低点，保真率中有一个最大点对应于保真度的最低点。它意味着Haldane和单重态之间发生的直接转换，并没有证据表明这两个系统的柱状二聚体相的存在。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:量子保真度密度矩阵重整化群量子相变自旋梯
目录
第一章 量子保真度和量子相变 1
1.1 量子相变 1
1.2 量子保真度 1
1.3 量子保真度与量子相变之间的联系 3
第二章 密度矩阵重整化群计算方法 4
2.1 发展背景 4
2.2 密度矩阵重整化群 4
2.2.1 无限链算法 5
2.2.2 有限链算法 5
2.2.3 结论 6
第三章 具有阻错的自旋1/2的自旋梯的量子相变：量子保真度分析 7
3.1 阻错的-1／2自旋梯 7
3.2 哈密顿量和保真度 9
3.3 自旋梯的保真度和量子相变 10
3.3.1 交叉耦合梯 10
3.3.2 斜梯 11
第四章 总结与展望 14
参考文献 15
致谢 18
第一章 量子保真度和量子相变
1.1 量子相变
一个量子多体系统的量子相变[1]是由于系统内各成分之间的相互作用引起的基态性质的变化。而热相变则相反，温度起着至关重要的作用，量子波动完全驱动量子相变。在数学上，他们通过非解析系统的哈密顿H（λ）的基态性质的行为体现各不相同的过渡点λc。
从本征视图的角度可以看出，哈密顿的能量谱的重建引起量子相变，特别是低洼激发光谱[2]。更精确地说，低能量光谱可以以两种不同的方式重建在临界点λc的周围，因此物理量显示出不同的反应。首先是交叉在基态能量上的一阶导数 的基态在转变点通常是不连续的。这样的转换被称为一阶相变。其次大致对应于在没有基态水平交叉在所有其他的情况下，它通常是一个连续相变。
传统上，连续相变以Landau–Ginzburg–Wilson自发对称性破缺理论为特征的相关本地命令参数的功能起着至关重要的作用。然而，一些系统不能被建立在当地的命令参量这个框架下来描述。这可能是由于哈密顿里没有原先对称情况的存在，如系统进行拓扑相变[3]。
1.2 量子保真度
在经典物理学中，物理学信息在物理演化过程中对没演化之前信息的忠诚度[4]被称为保真度。例如在电子音响系统中，人们通常所说的“高保真”就是经各个功率放大器处理后的视频及音频与没处理之前所储存的信息保持高度一致性的意思。因此，两个状态之间的距离可以用保真度来定义。在量子信息理论中，一个量子态经过量子通道后与原始输入态之间的距离通常可以用量子保真度来表示。在数学上，两个物理状态的波函数的内积被定义为保真度，因此也可以把它理解为从一个状态到另一个状态的跃迁概率。由于保真度也是一个纯粹的量子信息的概念，其中没有任何一个在先验知识边缘的命令参数和系统的对称性变化的假定，如果人们可以用它来描述量子相变，这将是一个很大的优势。沿着这条路探索下去，许多工程将要完成。
许多领域中已经广泛运用了量子保真度。在量子信息科学里，量子态保真度已被证明是有用的资源在处理一些基本问题当中，比如量化纠缠。量子保真度也有许多其他的用途，比如绝热保真度绝热过程。比如，绝热保真度是用来描述分子中的原子转换到原子系统中，超导量子比特，在玻色 - 爱因斯坦凝聚的时间演化。量子物理学家的工作交叉利用量子保真来衡量超敏反应小扰动的量子动力学。在后一种的情况下，一般的保真度依据时间而定。我们将要引入的保真度取决于绝热的哈密顿参数（或驱动参数），且通常为静态的。重复的部分然后被用来定义为在量子信息理论中的保真度。
确切来说，如果我们定义两个纯状态之间的重叠部分
, (1.2.1)
保真度仅仅只是重叠部分的模量，即
, (1.2.2)
其中， 分别是输入状态和输出状态，并且它们经过了归一化处理。保真度具有几何意义。根据线性代数a，b是两个向量的内积
a·b = ab cos(θ) . (1.2.3)
其中，a（b）是a（b）的大小，θ是它们之间的夹角。归一化矢量希尔伯特空间在量子力学中是一个纯粹的状态。在两种状态之间的保真度，表示的是它们之间的余弦距离。
预期的保真度具有以下的性质（公理）[5]
, (1.2.4)
, (1.2.5)
, (1.2.6)
. (1.2.7)
其中 表示幺正变换和 是一个子系统的状态。对于纯态，全局相位差可能会影响重叠，但不保真。例如：一个单一的自旋量子态可以表示为基础的 .为两个归一化的自旋状态，即 , , 它们之间的保真度是 . 混合态的量子保真度之间的定义 . (1.2.8)
这里 是半阳性定义和归一化，即 , 定义满足预期性质的保真度。评估任意两点间的混合态的保真度是非常不容易的。然而，也有一些特殊的有用的一些情况：
（1）如果两个状态是纯 ,
（2）如果一个状态是纯粹的，即， ，则 , 这是一个简单的预期值，ρ的平方根，
（3）如果这两个状态是对角的，可以计算为在相同的基准，例如在热平衡状态下，保真度（或古典的保真度）
. (1.2.9)
例如：如果自旋耦合到环境，它可以降低密度矩阵来描述。为两个减少密度矩阵
, 保真度可以计算为 。
1.3 量子保真度与量子相变之间的联系
在量子信息学中，量子保真度是最重要的概念之一，量子相变则是量子物理学中的最重要的概念之一。量子保真度方法作为理解量子相变的一个新的角度，因为它是一个纯粹的几何学量，所以在研究量子相变过程当中无需考虑任何预先设置的序参量。随着基态波函数的突变，可以非常直观的看出量子保真度和量子相变两者之间的相似程度。保真度措施之间的相似性状态，而量子相变的突然直观的陪同基态波函数的结构变化，这个主要的观察激励人们去探索高保真的量子相变的作用。
不失一般性，一般的量子多体系统的哈密顿量温度，这可能会经历一个在参数空间中的量子相变，可写为
， (1.3.1)
是驱动哈密顿和λ表示其强度。根据量子力学中，该系统满足薛定谔方程 (1.3.2)
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