积分变换在广义积分计算中的一些应用系（院）数学与统计学院
积分变换在广义积分计算中的一些应用系（院）数学与统计学院[20191209140813]
摘要
本文将结合数学分析、复变函数以及积分变换的相关理论，对广义积分的计算问题作进一步探讨，通过研究拉普拉斯变换和傅里叶变换的性质和方法，来更好地解决许多复杂的广义积分计算的问题.
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关键字:广义积分拉普拉斯变换傅里叶变换
目 录
1.基本知识 1
1.1广义积分的定义和敛散性的判定 1
1.2傅里叶变换简介 1
1.3拉普拉斯变换简介 2
2.傅里叶变换在广义积分中的应用 3
2.1利用傅里叶积分公式求广义积分 3
2.2利用瑞利定理求广义积分 4
3.拉普拉斯变换在广义积分中的应用 7
3.1利用常用函数的拉普拉斯变换求广义积分 7
3.2利用拉普拉斯变换求含参变量的广义积分 8
结束语 11
参考文献 12
1.基本知识
1.1广义积分的定义和敛散性的判定
设在 上有定义的函数 有唯一奇点 ， 有限或 ，且对一切 ，定积分 存在，则广义积分 定义为
.
若上述极限存在，广义积分 收敛；反之，则发散.
特别地，若 有限且 ，则称 为具有无穷间断点的广义积分或瑕积分. 而当 时， 称为无穷限的广义积分. 类似地，可定义广义积分 ， 等. 详细的定义可参见[1]、[4]等. 以下我们主要讨论无穷限的广义积分的计算问题.
对广义积分的收敛性判别，一般的《数学分析》书上都介绍了以下著名的Abel-Dirichlet判别法，简称A.D.判别法，可参见[5].
定理1 （A.D.判别法）设 和 在 满足以下两条件之一，
(1) 单调且 ，且存在 使得对一切 成立 ；
(2) 单调有界，且 收敛.
则广义积分 收敛.
1.2傅里叶变换简介
设 为 上的实值或复值函数，广义积分 称为傅里叶积分，其中 为实值参数. 当 满足一定条件时，傅里叶积分一定存在，且满足傅里叶积分公式.以下定理可见[6]等.
定理2 设函数 在 上满足以下条件：
(1) 在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 在任一有限区间上至多只有有限个极值点；
(3) 收敛.
则傅里叶积分 一定存在，且当 为 的连续点时，有傅里叶积分公式 .
当 为 的间断点时，上式右端等于 .
定义1 设 定义在 上，其傅里叶积分存在，则由积分
建立的从 到 的对应称为傅里叶变换，记为 . 反过来，由积分 建立的从 到 的对应称为傅里叶变换，记为 . 与 称为一组傅里叶变换对.
由此定义的傅里叶变换具有一些很好的性质，详见[7]等. 下文中，我们要用的主要有微分与积分性质等.
1.3拉普拉斯变换简介
类似于傅里叶积分，称含复参变量 的广义积分 称为 的拉普拉斯积分. 并且拉普拉斯积分存在的条件要比傅里叶积分存在的条件弱一些.以下定理可参见[7]等.
定理3 设函数 在 上满足以下条件：
（1） 在任一有限区间上连续或分段连续；
（2）存在正数 ， ，使得 .
则在半平面 上，拉普拉斯积分 收敛，并且由此确定的函数 在 解析.
由定理3直接可定义拉普拉斯变换，即由积分 建立的从 到 的对应，记为 . 同时再根据傅里叶积分与拉普拉斯积分之间的关系及定理2的傅里叶积分公式，有 ，其中 为 的实部，由此就可建立从 到 的对应，称为拉普拉斯逆变换，记为 . 同时 与 也称为一组拉普拉斯变换对. 拉普拉斯变换同样有一些很好的性质，而且它在工程技术上经常用到.
许多学者，讨论过广义积分的计算方法，常见的有换元法、引入参数法、积分号下求积等，见文[14]、[15]等. 接下来，我们希望能借助傅里叶变换和拉普拉斯变换这两个工具来计算一些较为复杂的广义积分.
2.傅里叶变换在广义积分中的应用
2.1利用傅里叶积分公式求广义积分
一些较为复杂的函数往往是某个比较简单的函数通过傅里叶变换变过去的.例如，设 ，通过计算 的傅里叶积分，则有
.
从而根据定理2，在 的连续点处
.
因为当 时，有 .再由于 为偶函数，且根据定理1， 存在，从而由上式知
，
这是一个大家熟知的一个结果. 接下来我们用类似的方法再举几个例子.
例1 求广义积分 的值，其中常数 .
解 根据定理1，易知此积分收敛.在此令 ，则 的傅里叶变换
.
同样根据定理2，在 的连续点处（显见 处处连续），
.
由于 为偶函数，则上式右端
，
取 ，则 .
从而
.
例2 求广义积分 的值.
解 设 ,则 满足定理2的条件，并且 为偶函数，故 的傅里叶变换
.
从而在 的连续点处， .同样由于 也为偶函数，则有
.
取 ，则有
从而
.
2.2利用瑞利定理求广义积分
傅里叶变换具有以下功率定理，其证明详见[2].
定理4 若 ， 为两个实数，设 ， ，则
.
其中 表示 的共轭函数.
特别地，当 ， 时，我们有以下瑞利公式
.
利用瑞利公式可以更方便地求出一些广义积分的值，例如上节中的例2可以直接用此公式求值.令 ，则 ，利用瑞利公式得
，
即
，
从而
，
故
.
例3 求广义积分 的值.
解 令 ，则 ，
从而由瑞利公式知
.
而左式
，
故
.
同样，利用定理4，并设 及 ，
，
另一方面，
所以有
.
而广义积分
.
例4 求广义积分 的值.
解 设 ， ，则由例1知 ，从而根据瑞利公式
，
即
.
因而
.
由此结果，知
.
3.拉普拉斯变换在广义积分中的应用
3.1利用常用函数的拉普拉斯变换求广义积分
函数 的拉普拉斯积分 在定理3的条件下在半平面 上收敛，并且由此确定的函数 在 上解析，因而当 为大于 的实数 时，则直接可根据 求出广义积分 .
例如，由于 ， 为正整数，则 ，利用 ，其中 ， 为实数，则有
.
同理，可知 . 接下来，我们将结合拉普拉斯变换的性质，进一步讨论更加复杂的广义积分的计算.
例5 求 ，其中 为实数.
解 由于 ， .根据拉普拉斯变换的微分性质，有
，
从而
.
类似于例5，可得 .
一般地，如果广义积分 收敛，往往可以通过 的拉普拉斯变换，并结合微分性质计算出它的值，同样利用积分性质，可计算形如 的广义积分.
例6 求广义积分 .
解 记 ，则 ，于是根据拉普拉斯变换的积分性质
，
即
， .
取 ，知 . 故原积分 .
由例6的解题过程可知， ，其中 . 而左边积分 关于 一致收敛，且当 时， 也收敛，因而可得 .
3.2利用拉普拉斯变换求含参变量的广义积分
在这里我们记 ， ，其中 为有限区间或无限区间，它的一致收敛性可以由类似定理1的Abel判别法或Dirichlet判别法来判断，详见[12]等. 并且一致收敛的含参变量的广义积分 在一定条件下， 在 上连续可导，并且可在积分号下求导，同时 在 上可积，并且积分可变换顺序. 在此为求出 ，我们也可利用拉普拉斯变换，令 ，而在计算时，我们利用变换积分次序求出 ，然后再利用拉普拉斯逆变换求出 .
例7 计算积分 .
解 设 ，该积分关于 一致收敛，我们取拉普拉斯变换，得
，
交换积分次序
.
由于
， ，
因而
，
于是
.
特别地，当 时， .
例8 求广义积分 的值.
解 利用与例7类似的方法，首先记 ， ，显然该含参变量的广义积分关于 一致收敛，对 取拉普拉斯变换得
，
交换积分次序
，
由于
，
从而
，
通过拆项的过程
，
再注意到由例2知 ，从而
，
从而对 取拉普拉斯逆变换，得
.
取 ，得
，
特别地，当 时，有
.
这就是例2的结果.
结束语
通过本文对广义积分求解问题的进一步探讨，我们发现了拉普拉斯变换和傅里叶变换能够更加简便地求解一些常见类型的广义积分，也能够更好地解决现实中许多复杂的广义积分计算的问题. 当然随着计算机数学软件的开发，再复杂的积分也能通过编程来计算. 临近毕业，我也借此机会，向过去四年中给了我太多教导和帮助的老师表示衷心的感谢.
参考文献
[1] 金正国. 工科数学分析（上册）[M]. 大连：大连理工大学出版社，2008.
[2] 苏变萍. 复变函数与积分变换（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[3] 张元林. 积分变换（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003，5.
[4] 李绍成. 论广义积分的计算.[J]. 绵阳农专学报. 1996. 第(13)卷65-70页.
[5] 周运明. 数学分析[M]. 北京：科学出版社，2008.
[6] 金忆丹 复变函数与拉普拉斯变换（第三版）[M]. 浙江：浙江大学出版社，1994.
[7] 杨继明. 积分变换在一类广义积分计算中的应用.[J]. 湖南工程学院学报，2012年3月.第20卷第1期. 46-47.
[8] 陈天权. 数学分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社，2009.
[9] 殷清亮. 拉普拉斯变换的研究（I）. [J]. 内蒙古民族大学学报，2001，16(1):17-18.
[10] 陆镭. 拉普拉斯变换及其应用.[J]. 安庆师范学院学报，2002，8(1):49-50.
[11] 杨松涛. 运用拉普拉斯变换求广义积分的值.[J]. 淮北煤师范学报，1996年. 第17卷第1期. 85-87.
[12] 钱学明. 利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分.[J]. 绵阳师范学院学报，2007年5月. 第26卷第5期. 19-24.
[13] 张忠诚. 拉普拉斯变换的应用研究.[J]. 周口师范学院学报，2006年3月. 第23卷第2期. 40-42.
摘要
本文将结合数学分析、复变函数以及积分变换的相关理论，对广义积分的计算问题作进一步探讨，通过研究拉普拉斯变换和傅里叶变换的性质和方法，来更好地解决许多复杂的广义积分计算的问题.
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:广义积分拉普拉斯变换傅里叶变换
目 录
1.基本知识 1
1.1广义积分的定义和敛散性的判定 1
1.2傅里叶变换简介 1
1.3拉普拉斯变换简介 2
2.傅里叶变换在广义积分中的应用 3
2.1利用傅里叶积分公式求广义积分 3
2.2利用瑞利定理求广义积分 4
3.拉普拉斯变换在广义积分中的应用 7
3.1利用常用函数的拉普拉斯变换求广义积分 7
3.2利用拉普拉斯变换求含参变量的广义积分 8
结束语 11
参考文献 12
1.基本知识
1.1广义积分的定义和敛散性的判定
设在 上有定义的函数 有唯一奇点 ， 有限或 ，且对一切 ，定积分 存在，则广义积分 定义为
.
若上述极限存在，广义积分 收敛；反之，则发散.
特别地，若 有限且 ，则称 为具有无穷间断点的广义积分或瑕积分. 而当 时， 称为无穷限的广义积分. 类似地，可定义广义积分 ， 等. 详细的定义可参见[1]、[4]等. 以下我们主要讨论无穷限的广义积分的计算问题.
对广义积分的收敛性判别，一般的《数学分析》书上都介绍了以下著名的Abel-Dirichlet判别法，简称A.D.判别法，可参见[5].
定理1 （A.D.判别法）设 和 在 满足以下两条件之一，
(1) 单调且 ，且存在 使得对一切 成立 ；
(2) 单调有界，且 收敛.
则广义积分 收敛.
1.2傅里叶变换简介
设 为 上的实值或复值函数，广义积分 称为傅里叶积分，其中 为实值参数. 当 满足一定条件时，傅里叶积分一定存在，且满足傅里叶积分公式.以下定理可见[6]等.
定理2 设函数 在 上满足以下条件：
(1) 在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 在任一有限区间上至多只有有限个极值点；
(3) 收敛.
则傅里叶积分 一定存在，且当 为 的连续点时，有傅里叶积分公式 .
当 为 的间断点时，上式右端等于 .
定义1 设 定义在 上，其傅里叶积分存在，则由积分
建立的从 到 的对应称为傅里叶变换，记为 . 反过来，由积分 建立的从 到 的对应称为傅里叶变换，记为 . 与 称为一组傅里叶变换对.
由此定义的傅里叶变换具有一些很好的性质，详见[7]等. 下文中，我们要用的主要有微分与积分性质等.
1.3拉普拉斯变换简介
类似于傅里叶积分，称含复参变量 的广义积分 称为 的拉普拉斯积分. 并且拉普拉斯积分存在的条件要比傅里叶积分存在的条件弱一些.以下定理可参见[7]等.
定理3 设函数 在 上满足以下条件：
（1） 在任一有限区间上连续或分段连续；
（2）存在正数 ， ，使得 .
则在半平面 上，拉普拉斯积分 收敛，并且由此确定的函数 在 解析.
由定理3直接可定义拉普拉斯变换，即由积分 建立的从 到 的对应，记为 . 同时再根据傅里叶积分与拉普拉斯积分之间的关系及定理2的傅里叶积分公式，有 ，其中 为 的实部，由此就可建立从 到 的对应，称为拉普拉斯逆变换，记为 . 同时 与 也称为一组拉普拉斯变换对. 拉普拉斯变换同样有一些很好的性质，而且它在工程技术上经常用到.
许多学者，讨论过广义积分的计算方法，常见的有换元法、引入参数法、积分号下求积等，见文[14]、[15]等. 接下来，我们希望能借助傅里叶变换和拉普拉斯变换这两个工具来计算一些较为复杂的广义积分.
2.傅里叶变换在广义积分中的应用
2.1利用傅里叶积分公式求广义积分
一些较为复杂的函数往往是某个比较简单的函数通过傅里叶变换变过去的.例如，设 ，通过计算 的傅里叶积分，则有
.
从而根据定理2，在 的连续点处
.
因为当 时，有 .再由于 为偶函数，且根据定理1， 存在，从而由上式知
，
这是一个大家熟知的一个结果. 接下来我们用类似的方法再举几个例子.
例1 求广义积分 的值，其中常数 .
解 根据定理1，易知此积分收敛.在此令 ，则 的傅里叶变换
.
同样根据定理2，在 的连续点处（显见 处处连续），
.
由于 为偶函数，则上式右端
，
取 ，则 .
从而
.
例2 求广义积分 的值.
解 设 ,则 满足定理2的条件，并且 为偶函数，故 的傅里叶变换
.
从而在 的连续点处， .同样由于 也为偶函数，则有
.
取 ，则有
从而
.
2.2利用瑞利定理求广义积分
傅里叶变换具有以下功率定理，其证明详见[2].
定理4 若 ， 为两个实数，设 ， ，则
.
其中 表示 的共轭函数.
特别地，当 ， 时，我们有以下瑞利公式
.
利用瑞利公式可以更方便地求出一些广义积分的值，例如上节中的例2可以直接用此公式求值.令 ，则 ，利用瑞利公式得
，
即
，
从而
，
故
.
例3 求广义积分 的值.
解 令 ，则 ，
从而由瑞利公式知
.
而左式
，
故
.
同样，利用定理4，并设 及 ，
，
另一方面，
所以有
.
而广义积分
.
例4 求广义积分 的值.
解 设 ， ，则由例1知 ，从而根据瑞利公式
，
即
.
因而
.
由此结果，知
.
3.拉普拉斯变换在广义积分中的应用
3.1利用常用函数的拉普拉斯变换求广义积分
函数 的拉普拉斯积分 在定理3的条件下在半平面 上收敛，并且由此确定的函数 在 上解析，因而当 为大于 的实数 时，则直接可根据 求出广义积分 .
例如，由于 ， 为正整数，则 ，利用 ，其中 ， 为实数，则有
.
同理，可知 . 接下来，我们将结合拉普拉斯变换的性质，进一步讨论更加复杂的广义积分的计算.
例5 求 ，其中 为实数.
解 由于 ， .根据拉普拉斯变换的微分性质，有
，
从而
.
类似于例5，可得 .
一般地，如果广义积分 收敛，往往可以通过 的拉普拉斯变换，并结合微分性质计算出它的值，同样利用积分性质，可计算形如 的广义积分.
例6 求广义积分 .
解 记 ，则 ，于是根据拉普拉斯变换的积分性质
，
即
， .
取 ，知 . 故原积分 .
由例6的解题过程可知， ，其中 . 而左边积分 关于 一致收敛，且当 时， 也收敛，因而可得 .
3.2利用拉普拉斯变换求含参变量的广义积分
在这里我们记 ， ，其中 为有限区间或无限区间，它的一致收敛性可以由类似定理1的Abel判别法或Dirichlet判别法来判断，详见[12]等. 并且一致收敛的含参变量的广义积分 在一定条件下， 在 上连续可导，并且可在积分号下求导，同时 在 上可积，并且积分可变换顺序. 在此为求出 ，我们也可利用拉普拉斯变换，令 ，而在计算时，我们利用变换积分次序求出 ，然后再利用拉普拉斯逆变换求出 .
例7 计算积分 .
解 设 ，该积分关于 一致收敛，我们取拉普拉斯变换，得
，
交换积分次序
.
由于
， ，
因而
，
于是
.
特别地，当 时， .
例8 求广义积分 的值.
解 利用与例7类似的方法，首先记 ， ，显然该含参变量的广义积分关于 一致收敛，对 取拉普拉斯变换得
，
交换积分次序
，
由于
，
从而
，
通过拆项的过程
，
再注意到由例2知 ，从而
，
从而对 取拉普拉斯逆变换，得
.
取 ，得
，
特别地，当 时，有
.
这就是例2的结果.
结束语
通过本文对广义积分求解问题的进一步探讨，我们发现了拉普拉斯变换和傅里叶变换能够更加简便地求解一些常见类型的广义积分，也能够更好地解决现实中许多复杂的广义积分计算的问题. 当然随着计算机数学软件的开发，再复杂的积分也能通过编程来计算. 临近毕业，我也借此机会，向过去四年中给了我太多教导和帮助的老师表示衷心的感谢.
参考文献
[1] 金正国. 工科数学分析（上册）[M]. 大连：大连理工大学出版社，2008.
[2] 苏变萍. 复变函数与积分变换（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
[3] 张元林. 积分变换（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003，5.
[4] 李绍成. 论广义积分的计算.[J]. 绵阳农专学报. 1996. 第(13)卷65-70页.
[5] 周运明. 数学分析[M]. 北京：科学出版社，2008.
[6] 金忆丹 复变函数与拉普拉斯变换（第三版）[M]. 浙江：浙江大学出版社，1994.
[7] 杨继明. 积分变换在一类广义积分计算中的应用.[J]. 湖南工程学院学报，2012年3月.第20卷第1期. 46-47.
[8] 陈天权. 数学分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社，2009.
[9] 殷清亮. 拉普拉斯变换的研究（I）. [J]. 内蒙古民族大学学报，2001，16(1):17-18.
[10] 陆镭. 拉普拉斯变换及其应用.[J]. 安庆师范学院学报，2002，8(1):49-50.
[11] 杨松涛. 运用拉普拉斯变换求广义积分的值.[J]. 淮北煤师范学报，1996年. 第17卷第1期. 85-87.
[12] 钱学明. 利用拉普拉斯变换求解含参变量的广义积分.[J]. 绵阳师范学院学报，2007年5月. 第26卷第5期. 19-24.
[13] 张忠诚. 拉普拉斯变换的应用研究.[J]. 周口师范学院学报，2006年3月. 第23卷第2期. 40-42.
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