中小企业行业指数趋势预测ARMA模型
目 录
1 引言（或绪论） 1
1.1研究背景 1
1.2研究方法 1
2 ARMA模型概述2
2.1ARMA模型理论介绍 2
2.2 ARMA模型建模流程 2
3模型假设 3
4 我国中小企业景气指数时间序 3
4.1数据预处理 3
4.2模型定阶 8
4.3模型的显著性检验 11
4.4模型预测 12
结论 15
致谢 16
参考文献17
1 引言（或绪论）
1.1 研究背景
中小企业，是中型企业和小型企业的简称，和大型企业相比，它的企业规模、员工规模、资产负债规模都比较小，然而随着时代的发展，我国中小企业从无到有，从弱到强，不断壮大，在市场经济中起着举足轻重的作用。作为商品经济的产物，它能又快又好地的适应市场的变化，并且凭借顽强的意志力，占据着我国企业总数中的
大多数，成为了我国国民经济中不可或缺的一部分。因此，对中小企业发展状况的分析，是掌握我国中小企业发展趋势的必要途径。
景气指数是衡量经济发展变化的“晴雨表”，它是对经济调查中的定性问题运用定量方法进行加工汇总，从而反映出某一研究对象或某一社会经济现象的现状或发 展 趋 势的一种指标。一般来说景气指数徘徊在0-200之间，100表示中间值，大于100但又低于200的为经济景气状态，越靠近200说明经济越景气，低于100的则视为经济不景气，越接近于0经济越萧条。本文就在此基础上此对我国景气指数时间序列进行分析，并利用ARMA模型对序列进行拟合，最后利用拟合模型对后期数据进行预测。
1. *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
2 研究方法
时间序列预测方法的基本思路 ：预测一个对象的未来变化时，用该对象的过去的变化趋势来预测未来的发展。即运用时间序列过去的数据来揭示研究对象随时间变化的规律，将这种规律延续下去，从而推测该对象未来的走势。
实际生活中我们所遇到的大都是非平稳序列，它们的变化受到很多因素的影响，有些使该时间序列的变化呈现出某种趋势或一定的规律性，这些变化可能是长期的，至关重要的；而有些则使该时间序列的变化呈现出某种不规则性，这种变化可能是短期的，无关紧要的。时间序列的变化形式一般可分为以下几种：（1）长期趋势变化，是指研究对象在较长时期内受某种决定性因素作用而向着某一方向呈现出某种长期趋势；（2）季节变动；是指研究对象随着季节变化而发生的有规律的周期性变动；（3）循环变动，是指研究对象在某一固定周期内所呈现出的有规律的变动；（4）不规则变动，是一种无规则可循的变动，它是指研究对象受偶然因素的影响而呈现出不规则的变动。
2 ARMA模型概述
2.1 ARMA模型理论介绍
ARMA 模型又称为自回归移动平均模型（Auto-regreessive Moving Average Model，简称为ARMA），是时间序列的重要分析方法，由自回归模型（AR模型）与滑动模型（MA模型）组合而成。其基本思路是将研究对象随着时间推移形成的数据序列看作是一个随机序列，而该序列所具备的相关关系就表现出原始数据在时间上的延续。一方面，影响因素的影响，另一方面，自身变动规律的影响，假定影响因素为
由回归分析，
其中 是预测对象的观测值， 为误差。 受到自身变动的影响，其规律可由下式表示为，
误差项在不同时期存在相关关系，用下式表示为，
由此，获得ARMA模型表达式：
2.2 ARMA模型建模流程
首先，利用ARMA模型进行建模的前提条件是研究对象必须为平稳序列，换而言之，在研究时间范围内，研究对象受到的影响因素必须是相同的。如果给定的数据序列是非平稳的，则说明序列中包含单积成分，不能直接用ARMA模型去描述，必须对所给定的序列进行差分，使其平稳，然后用ARMA模型建模。建模的步骤如下：
（1）判断时间序列数据的平稳性，如果不满足平稳性条件，那么可以通过差分变换或者其他变换将其化为平稳序列；
（2）计算该序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF），并通过ACF和PACF的特征性质来确定模型的阶数p和q ；
（3）利用非线性最小二乘法估计模型中的未知参数；
（4）检验模型的有效性。如果拟合的模型检验不合理，那么转向步骤（2），重新选择合适的模型再拟合；
（5）模型优化。如果拟合的模型检验合格，仍转向步骤（2），充分考虑到各种可能，建立多个模型，从而选择最优模型；
（6）利用拟合好的模型来预测研究对象的未来走势。
3 模型假设
本文的所有探讨，都是在以下模型假设下进行的。
(1) 本文获得的数据是真实有效的；
(2) 假设在本文探讨的时间范围内我国经济发展稳定，不发生较大的经济变化或经济危机等；
(3) 假设中小企业行业稳定发展。
4 我国中小企业景气指数时间序列分析
4.1 数据预处理
本文选取我国2010年11月到2015年4月的景气指数数据作为一组时间序列观察值，将数据导入eviews软件，作出其时间趋势图，如图1所示：
图1 景气指数序列图
由序列走势图可以判断该序列不是平稳序列。为了进一步证明这一结论，在此对其进行平稳性检验。检验时间序列平稳性的方法主要有两种：一种是通过观察序列图和自相关图显示的特征作出判断的图检法；另外一种是通过构造检验统计量来进行假设检验的方法。目前，最常用的平稳性检验方法是单位根检验（ADF检验）。对于序列的非平稳性或者单位根的存在性进行检验的理论是相当复杂的，因此这里只介绍单位根检验的基本方法。对ADF检验进行描述而不涉及深层理论，ADF检验，全称为Augmented Dickey-Fuller检验，是DF检验的拓展，其基本思想：先对
进行回归处理，将其所估计得到的 除以它的标准差，然后就得到一个t统计量，再查看ADF临界表，看它是否拒绝原假设 ，若计算得到的t统计量的绝对值大于ADF临界值的绝对值，那么拒绝原假设 ，从而认为该时间序列是平稳的；若计算得到的t统计量的绝对值小于ADF临界值的绝对值，那么接受原假设 ，认为时间序列是非平稳的。
使用Eviews软件对该序列进行单位根检验的结果如下图所示：
图2 景气指数序列jqzs单位根检验结果
从表中看出t统计量为-2.064082，其绝对值小于ADF临界值的绝对值，则接受原假设，进而认为该序列是非平稳序列。因此，在Eviews中输入命令：series jqzs1=d(jqzs),生成一阶差分序列jqzs1,并对其做做单位根检验（ADF检验），得到图3：
7、 高铁梅.计量经济分析方法与建模：Eviews应用及实例[M].清华大学出版社，2009.
1 引言（或绪论） 1
1.1研究背景 1
1.2研究方法 1
2 ARMA模型概述2
2.1ARMA模型理论介绍 2
2.2 ARMA模型建模流程 2
3模型假设 3
4 我国中小企业景气指数时间序 3
4.1数据预处理 3
4.2模型定阶 8
4.3模型的显著性检验 11
4.4模型预测 12
结论 15
致谢 16
参考文献17
1 引言（或绪论）
1.1 研究背景
中小企业，是中型企业和小型企业的简称，和大型企业相比，它的企业规模、员工规模、资产负债规模都比较小，然而随着时代的发展，我国中小企业从无到有，从弱到强，不断壮大，在市场经济中起着举足轻重的作用。作为商品经济的产物，它能又快又好地的适应市场的变化，并且凭借顽强的意志力，占据着我国企业总数中的
大多数，成为了我国国民经济中不可或缺的一部分。因此，对中小企业发展状况的分析，是掌握我国中小企业发展趋势的必要途径。
景气指数是衡量经济发展变化的“晴雨表”，它是对经济调查中的定性问题运用定量方法进行加工汇总，从而反映出某一研究对象或某一社会经济现象的现状或发 展 趋 势的一种指标。一般来说景气指数徘徊在0-200之间，100表示中间值，大于100但又低于200的为经济景气状态，越靠近200说明经济越景气，低于100的则视为经济不景气，越接近于0经济越萧条。本文就在此基础上此对我国景气指数时间序列进行分析，并利用ARMA模型对序列进行拟合，最后利用拟合模型对后期数据进行预测。
1. *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
2 研究方法
时间序列预测方法的基本思路 ：预测一个对象的未来变化时，用该对象的过去的变化趋势来预测未来的发展。即运用时间序列过去的数据来揭示研究对象随时间变化的规律，将这种规律延续下去，从而推测该对象未来的走势。
实际生活中我们所遇到的大都是非平稳序列，它们的变化受到很多因素的影响，有些使该时间序列的变化呈现出某种趋势或一定的规律性，这些变化可能是长期的，至关重要的；而有些则使该时间序列的变化呈现出某种不规则性，这种变化可能是短期的，无关紧要的。时间序列的变化形式一般可分为以下几种：（1）长期趋势变化，是指研究对象在较长时期内受某种决定性因素作用而向着某一方向呈现出某种长期趋势；（2）季节变动；是指研究对象随着季节变化而发生的有规律的周期性变动；（3）循环变动，是指研究对象在某一固定周期内所呈现出的有规律的变动；（4）不规则变动，是一种无规则可循的变动，它是指研究对象受偶然因素的影响而呈现出不规则的变动。
2 ARMA模型概述
2.1 ARMA模型理论介绍
ARMA 模型又称为自回归移动平均模型（Auto-regreessive Moving Average Model，简称为ARMA），是时间序列的重要分析方法，由自回归模型（AR模型）与滑动模型（MA模型）组合而成。其基本思路是将研究对象随着时间推移形成的数据序列看作是一个随机序列，而该序列所具备的相关关系就表现出原始数据在时间上的延续。一方面，影响因素的影响，另一方面，自身变动规律的影响，假定影响因素为
由回归分析，
其中 是预测对象的观测值， 为误差。 受到自身变动的影响，其规律可由下式表示为，
误差项在不同时期存在相关关系，用下式表示为，
由此，获得ARMA模型表达式：
2.2 ARMA模型建模流程
首先，利用ARMA模型进行建模的前提条件是研究对象必须为平稳序列，换而言之，在研究时间范围内，研究对象受到的影响因素必须是相同的。如果给定的数据序列是非平稳的，则说明序列中包含单积成分，不能直接用ARMA模型去描述，必须对所给定的序列进行差分，使其平稳，然后用ARMA模型建模。建模的步骤如下：
（1）判断时间序列数据的平稳性，如果不满足平稳性条件，那么可以通过差分变换或者其他变换将其化为平稳序列；
（2）计算该序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF），并通过ACF和PACF的特征性质来确定模型的阶数p和q ；
（3）利用非线性最小二乘法估计模型中的未知参数；
（4）检验模型的有效性。如果拟合的模型检验不合理，那么转向步骤（2），重新选择合适的模型再拟合；
（5）模型优化。如果拟合的模型检验合格，仍转向步骤（2），充分考虑到各种可能，建立多个模型，从而选择最优模型；
（6）利用拟合好的模型来预测研究对象的未来走势。
3 模型假设
本文的所有探讨，都是在以下模型假设下进行的。
(1) 本文获得的数据是真实有效的；
(2) 假设在本文探讨的时间范围内我国经济发展稳定，不发生较大的经济变化或经济危机等；
(3) 假设中小企业行业稳定发展。
4 我国中小企业景气指数时间序列分析
4.1 数据预处理
本文选取我国2010年11月到2015年4月的景气指数数据作为一组时间序列观察值，将数据导入eviews软件，作出其时间趋势图，如图1所示：
图1 景气指数序列图
由序列走势图可以判断该序列不是平稳序列。为了进一步证明这一结论，在此对其进行平稳性检验。检验时间序列平稳性的方法主要有两种：一种是通过观察序列图和自相关图显示的特征作出判断的图检法；另外一种是通过构造检验统计量来进行假设检验的方法。目前，最常用的平稳性检验方法是单位根检验（ADF检验）。对于序列的非平稳性或者单位根的存在性进行检验的理论是相当复杂的，因此这里只介绍单位根检验的基本方法。对ADF检验进行描述而不涉及深层理论，ADF检验，全称为Augmented Dickey-Fuller检验，是DF检验的拓展，其基本思想：先对
进行回归处理，将其所估计得到的 除以它的标准差，然后就得到一个t统计量，再查看ADF临界表，看它是否拒绝原假设 ，若计算得到的t统计量的绝对值大于ADF临界值的绝对值，那么拒绝原假设 ，从而认为该时间序列是平稳的；若计算得到的t统计量的绝对值小于ADF临界值的绝对值，那么接受原假设 ，认为时间序列是非平稳的。
使用Eviews软件对该序列进行单位根检验的结果如下图所示：
图2 景气指数序列jqzs单位根检验结果
从表中看出t统计量为-2.064082，其绝对值小于ADF临界值的绝对值，则接受原假设，进而认为该序列是非平稳序列。因此，在Eviews中输入命令：series jqzs1=d(jqzs),生成一阶差分序列jqzs1,并对其做做单位根检验（ADF检验），得到图3：
7、 高铁梅.计量经济分析方法与建模：Eviews应用及实例[M].清华大学出版社，2009.
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