相拟合与振幅拟合的两导数rk方法
弹性力学，天体力学，分子动力学，生态学和量子物理领域中的许多问题都可以归结为一阶振荡微分方程。求解一阶微分方程的经典方法是龙格库塔法（Runge-Kutta）方法，为了提高RK方法的性能，本文在R.P.K. Chan, A.Y. J. Tsai与陈朝霞等工作的基础上，得到修正的两导数RK方法，在方法的内积与更新公式中引入依赖于系统主频率与步长乘积的权，使其精确积分标准的线性振动方程。在推导出新方法的阶条件和相拟合与振幅拟合条件的基础上，具体构造一个求解振动微分方程的相拟合与振幅拟合的2级3阶两导数RK(FTDRK)方法，数值实验表明，新方法在计算精度与计算效率方面明显优于文献中的方法。
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言3
1 龙格库塔方法4
1.1 龙格库塔方法的一般格式4
1.2 龙格库塔方法的阶条件5
1.3 更新权依赖于频率的RK型方法5
2 两导数的RK方法5
3 相拟合与振幅拟合两导数RK方法6
3.1 修正两导数RK方法的格式6
3.2 修正两导数RK方法的阶条件7
3.3 修正两导数RK方法的相拟合与振幅拟合条件8
3.4 相拟合与振幅拟合的两导数RK方法构造9
4 数值实验9
5 总结 10
致谢11
参考文献11
相拟合与振幅拟合的两导数RK方法
引言
引言
，， （1）
数值求解问题（1）的传统方法是RungeKutta法(RK)或线性多步法[1,2,3,4,5,6,7]。
实际应用中问题（1）的解往往具有振动性，这时用上述通用方法的数值结果不能令人满意，这是因为这些方法没有考虑所研究的问题解的振荡性或周期性。近年来，一些作者开始研究求解周期解的问题的数值方法。假设振动的主频率是已知的，或者可以事先估计，Bettis [8] 构造了一个3级3阶和一个4级4阶 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
的显式RK方法，方法的系数依赖于振动频率；其后Paternoster [9] 采用三角拟合技术构造了一组Runge Kutta (RK) 型和RungeKuttaNystr?m(RKN) 型方法，但这类方法是隐式的，在实际计算中并不很方便Franco借助于G–函数构造了一类显式RKN方法(ARKN）[10] 和一类显式RK方法[11] ；并进一步构造了基于ARKN的嵌入法[12]，这些方法的系数也依赖于频率，但当应用到线性标准振动方程 时都有一定的色散阶与耗散阶。 Z.A. Anastassi和T.E. Simos [13] 构造了一个相拟合和振幅拟合的近似5阶的RK方法，其内级系数依赖于频率，方法的导出过程中人为地取定了几个参数的值；H. V. Vyver [14,15] 对二阶方程 研究了相拟合与振幅拟合的二步混合方法(FTSH)。陈朝霞等[16]对一阶振荡系统，构造了零色散与零耗散的四阶和五阶适应性RK型方法。用于基因调控网络的计算，证明新方法比文献中同阶常系数RK方法和若干有名的适应性方法更高效。为了更精确地数值求解问题（1）， R.P.K. Chan, A.Y. J. Tsai [17]构造了一类两导数的RK方法。
在上述工作的基础上，本文考虑在内积和更新公式中引入依赖于系统主频率与步长乘积的权的修正两导数RK方法，使其精确积分标准的线性振动方程。在推导出新方法的阶条件和相拟合与振幅拟合条件的基础上，具体构造一个求解振动微分方程的相拟合与振幅拟合的2级3阶两导数RK(FTDRK)方法，数值实验表明与现有文献中方法相比，新方法更为高效。
1 龙格库塔方法
1.1 龙格库塔方法的一般格式
龙格库塔法（RungeKutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法，它们由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于1900年左右提出[3]。
定义1.1.求解初值问题（1）的s级RungeKutta方法（RK）由下列格式定义：
（2）
其中是步长，是常数。
上述格式常写成下面的等价形式：
（3）
为了方便地显示（2）式中的系数，Butcher在文章中给出了Buthcer表：
为了进一步的简便起见，我们分别把s维向量c，b以及s×s矩阵A定义为：
.
这样，一个s级龙格库塔方法可以用如下Butcher表：
（4）
来描述，此表为龙格库塔方法提供了一种方便、简洁的表达方式。
定义1.2 对于s级龙格库塔方法（2）来说，如果
A是严格的下三角矩阵。
此时，方法为显式的；否则，方法为隐式的。
1.2 龙格库塔方法的阶条件
定义1.2 设方程（1）中的函数充分可导。若一个s级RK方法的局部截断误差满足，则称该方法是p阶的，其中是方程（2）在点的精确解，应用RK方法求解方程（2）所得解的近似值。
定理1.2一个RK方法是p阶的，当且仅当对于任意的有。其中t是阶的树，函数、、、及基本微分的定义与文献[3]一致。
1.3 更新权依赖于频率的RK型方法
如果已知或能事先估计问题（1）的主频率，考虑更新权向量依赖于的RK方法，称为更新权依赖于频率的RK方法[9]：
（5）
其中为步长，正整数是方法的级数。上述方法可用Butcher表记为：
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言3
1 龙格库塔方法4
1.1 龙格库塔方法的一般格式4
1.2 龙格库塔方法的阶条件5
1.3 更新权依赖于频率的RK型方法5
2 两导数的RK方法5
3 相拟合与振幅拟合两导数RK方法6
3.1 修正两导数RK方法的格式6
3.2 修正两导数RK方法的阶条件7
3.3 修正两导数RK方法的相拟合与振幅拟合条件8
3.4 相拟合与振幅拟合的两导数RK方法构造9
4 数值实验9
5 总结 10
致谢11
参考文献11
相拟合与振幅拟合的两导数RK方法
引言
引言
，， （1）
数值求解问题（1）的传统方法是RungeKutta法(RK)或线性多步法[1,2,3,4,5,6,7]。
实际应用中问题（1）的解往往具有振动性，这时用上述通用方法的数值结果不能令人满意，这是因为这些方法没有考虑所研究的问题解的振荡性或周期性。近年来，一些作者开始研究求解周期解的问题的数值方法。假设振动的主频率是已知的，或者可以事先估计，Bettis [8] 构造了一个3级3阶和一个4级4阶 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
的显式RK方法，方法的系数依赖于振动频率；其后Paternoster [9] 采用三角拟合技术构造了一组Runge Kutta (RK) 型和RungeKuttaNystr?m(RKN) 型方法，但这类方法是隐式的，在实际计算中并不很方便Franco借助于G–函数构造了一类显式RKN方法(ARKN）[10] 和一类显式RK方法[11] ；并进一步构造了基于ARKN的嵌入法[12]，这些方法的系数也依赖于频率，但当应用到线性标准振动方程 时都有一定的色散阶与耗散阶。 Z.A. Anastassi和T.E. Simos [13] 构造了一个相拟合和振幅拟合的近似5阶的RK方法，其内级系数依赖于频率，方法的导出过程中人为地取定了几个参数的值；H. V. Vyver [14,15] 对二阶方程 研究了相拟合与振幅拟合的二步混合方法(FTSH)。陈朝霞等[16]对一阶振荡系统，构造了零色散与零耗散的四阶和五阶适应性RK型方法。用于基因调控网络的计算，证明新方法比文献中同阶常系数RK方法和若干有名的适应性方法更高效。为了更精确地数值求解问题（1）， R.P.K. Chan, A.Y. J. Tsai [17]构造了一类两导数的RK方法。
在上述工作的基础上，本文考虑在内积和更新公式中引入依赖于系统主频率与步长乘积的权的修正两导数RK方法，使其精确积分标准的线性振动方程。在推导出新方法的阶条件和相拟合与振幅拟合条件的基础上，具体构造一个求解振动微分方程的相拟合与振幅拟合的2级3阶两导数RK(FTDRK)方法，数值实验表明与现有文献中方法相比，新方法更为高效。
1 龙格库塔方法
1.1 龙格库塔方法的一般格式
龙格库塔法（RungeKutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法，它们由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于1900年左右提出[3]。
定义1.1.求解初值问题（1）的s级RungeKutta方法（RK）由下列格式定义：
（2）
其中是步长，是常数。
上述格式常写成下面的等价形式：
（3）
为了方便地显示（2）式中的系数，Butcher在文章中给出了Buthcer表：
为了进一步的简便起见，我们分别把s维向量c，b以及s×s矩阵A定义为：
.
这样，一个s级龙格库塔方法可以用如下Butcher表：
（4）
来描述，此表为龙格库塔方法提供了一种方便、简洁的表达方式。
定义1.2 对于s级龙格库塔方法（2）来说，如果
A是严格的下三角矩阵。
此时，方法为显式的；否则，方法为隐式的。
1.2 龙格库塔方法的阶条件
定义1.2 设方程（1）中的函数充分可导。若一个s级RK方法的局部截断误差满足，则称该方法是p阶的，其中是方程（2）在点的精确解，应用RK方法求解方程（2）所得解的近似值。
定理1.2一个RK方法是p阶的，当且仅当对于任意的有。其中t是阶的树，函数、、、及基本微分的定义与文献[3]一致。
1.3 更新权依赖于频率的RK型方法
如果已知或能事先估计问题（1）的主频率，考虑更新权向量依赖于的RK方法，称为更新权依赖于频率的RK方法[9]：
（5）
其中为步长，正整数是方法的级数。上述方法可用Butcher表记为：
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