一维无限深势阱中粒子的能级和波函数的数值研究
一维无限深势阱中粒子的能级和波函数的数值研究[20200408101400]
摘要
在量子力学中，一维无限深势阱中粒子的运动是可通过解薛定谔方程得到，而解薛定谔方程的一种近似方法是量子力学的变分法。在束缚态时，能量的变分和能量的本征方程相关联，可以通过应用线性变分法求能量极值从而解出能量本征方程。通过构造满足波函数连续性和有限性条件的变分基函数，计算重叠矩阵元以及哈密顿矩阵元。用连续的多项式变分基函数，运用Matlab语言求解广义本征值，研究一维无限深势阱中粒子的能级和波函数。得出了粒子在一维无限深势阱中能级的值和波函数的图像。
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关键字:一维无限深势阱线性变分法能级波函数Matlab语言
目录
1.绪论 1
1.1一维无限深势阱的概述 1
1.1.1一维无限深势阱的定义 1
1.1.2一维无限深势阱的模型 1
1.1.3一维无限深势阱的波函数 1
1.1.4一维无限深势阱研究目的和意义 1
1.1.5一维无限深势阱的研究现状 2
1.1.6一维无限深势阱的发展趋势 3
1.2一维无限深势阱的精确解 3
1.2.1定态薛定谔方程的解法 3
1.2.2一维无限深势阱解的物理意义 5
1.2.3讨论 6
1.3线性变分法的简单介绍 6
1.3.1变分法 6
1.3.2线性变分法 7
2.用线性变分法研究一维无限深势阱 10
2.1理论研究 10
2.2数值的计算及讨论 11
2.3结果讨论 17
3.小结 19
参考文献 20
附录 21
致 谢 26
1.绪论
1.1一维无限深势阱的概述
1.1.1一维无限深势阱的定义
做一维运动的微观粒子在外力场的作用下，具有 ； 的势能函数。因为图像在区域内具有0的势能，区域外有无穷大的势能并且函数图像像一个阱字，根据这一特点，我们称这种粒子能量分布为一维无限深势阱。
1.1.2一维无限深势阱的模型
在一块金属中运动的自由电子，它的轨迹和粒子在势阱中运动的轨迹相似。因为势阱内的势能是零，粒子处于平衡状态，粒子做的是自由运动。 的两个边界势能是无穷大的，它受到向势阱内无穷大的力。根据这一特点，金属中的电子的位置总是在 的范围内。
1.1.3一维无限深势阱的波函数
(0
我们把研究原子、分子、原子核和各种粒子的基本结构以及性质的理论称为量子力学，它是物理学之中一个重要的分支，是用来探究微观粒子的运动行为。在现代物理学的理论基础中，量子力学就是其中至关重要的一部分。它不仅具有重要的理论意义，而且被广泛使用在非常多的现代科学技术中。
解薛定谔方程 的一种近似方法是运用量子力学的变分法。处于束缚态 时，能量本征方程与能量变分原理是具有相对的等价性的，我们可以通过求解能量的极值从而得出能量本征方程的解。而在面对具体问题的时候，可以运用波函数一种特殊的变化代替最普遍的任意变分，从而得到波函数特殊形式的近似解。
为了达到探究微观粒子运动行为的目的，我们可以用线性变分法对一维无限深势阱做深入的研究。因为能够精确求解量子力学模型的问题并不多，而且一维无限深势阱这一问题却是具有一定的实际意义的。
1.1.5一维无限深势阱的研究现状
我们知道，在大学中的教科书中一维无限深势阱是通过解定态薛定谔方程 得到的,但是对一维无限深势阱的解还可以通过很多其他的方法求得，比如在文献[1]中一维无限深势阱中微观粒子的波函数和能量是运用路径积分的思想根据它的传播函数得到的；在文献[2]中作者的能谱公式是通过运用WKB近似得到的，还提出应该减弱不变的势场这一要求；在文献[3]中则提到了最小二乘法，微观粒子的能量和波函数就是用的这种方法的到，并且与精确解非常接近；在文献[4]中势阱的能级和微观粒子的状态以及波函数是通过Numerov算法得到的；在文献[5]中为了对一维无限深势阱在物理角度的强调并且具有教学意义，重点分析了求解本征函数的办法、能量和波函数受势阱的宽度的影响；在文献[6]中利用了超对称性量子力学创造了新的势能函数，该函数与一维无限深势阱的能谱是相同的，通过这一方法得到能量的本征函数和能谱；在文献[7]中作者认为近代量子力学难以理解是因为它的基本假设的不准确性；在文献[8]和文献[9]中用数学的方法证明了一维无限深势阱中有着不确定性；在文献[10]中作者层层剥析一维无限深势阱的各种解法的关系，并将这些内容应用到了实际事例当中，证明了自己的想法；在文献[11]中作者进一步讨论了一维无限深势阱这个微观粒子模型，证明了一维无限深势阱中能量 是大于0的，讨论了该模型成立的各种情况;在文献[12]中为了方便学生理解一维无限深势阱内微观粒子的分布概率，创新了一个用来演示概率密度分布的仪器；在文献[13]中作者将积分的思想和Wigner函数相结合得出了一维无限深势阱的函数而且指明这个函数式一个实函数；在文献[14]中运用到了Matlaba这个计算工具并将有限差分的方法解决一维无限深势阱的问题。
1.1.6一维无限深势阱的发展趋势
从一维无限深势阱的研究历程来看，对其研究从实际问题到理论定义，然后建立了模型。从教科书上面通过模拟假设并用公式推导薛定谔方程来研究一维无限深势阱到现在用各种各样不同的数学思想结合微观粒子运动行为来近似来求解一维无限深势阱的能级和波函数。从方程的求解公式的推导到现在借助计算机编程实现用大量数据模拟实际粒子运动状态，研究的方法越来越多元化，研究的内容也越来越深入。我们将理论知识与实际数据实际模型相结合，从而达到更直观更透彻的研究量子力学的目的。
1.2一维无限深势阱的精确解
1.2.1定态薛定谔方程的解法
微观粒子在一维势场 中的运动涉及了薛定谔方程的一些简单应用。在一维的情况下，微观粒子运动满足的定态薛定谔方程为
（1）
这是一个二阶常微分方程，只要给出势函数 的具体表达式，解这个常微分方程就可以得到能量的本征值和本征函数。
我们不妨设 为粒子的质量，在如下势场中运动
（2）
其中， 是势阱的宽度， 是势阱的深度，在势阱内势能等于零，在阱外有无穷大的势能。
根据一维情况下的薛定谔方程，可以写出一维无限深势阱内外的薛定谔方程。
在势阱内有
（3）
在势阱外有
（4）
在（4）式中，如果让 ，那么 就必须等于零才能使等式成立，它的实际意义就是势垒壁无限高的时候，一维无限深势阱外面不存在有限能量的粒子，也就是说，一维无限深势阱外波函数是零，也就是
（5）
现在，我们将参数精简化从而达到方程的精简明了，便于我们记忆的作用，解出有待定系数的解
设
（6）
是关于 的一个函数，因此我们只要求出 就可以确定 为多少
一维无限深势阱内定态薛定谔方程为
（7）
当 大于0小于 时，
（8）
式中的 和 都是待定的未知常数。
一维无限深势阱的方程推导到这边，我们就可以用定义波函数的条件标准来来确定未知的
摘要
在量子力学中，一维无限深势阱中粒子的运动是可通过解薛定谔方程得到，而解薛定谔方程的一种近似方法是量子力学的变分法。在束缚态时，能量的变分和能量的本征方程相关联，可以通过应用线性变分法求能量极值从而解出能量本征方程。通过构造满足波函数连续性和有限性条件的变分基函数，计算重叠矩阵元以及哈密顿矩阵元。用连续的多项式变分基函数，运用Matlab语言求解广义本征值，研究一维无限深势阱中粒子的能级和波函数。得出了粒子在一维无限深势阱中能级的值和波函数的图像。
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关键字:一维无限深势阱线性变分法能级波函数Matlab语言
目录
1.绪论 1
1.1一维无限深势阱的概述 1
1.1.1一维无限深势阱的定义 1
1.1.2一维无限深势阱的模型 1
1.1.3一维无限深势阱的波函数 1
1.1.4一维无限深势阱研究目的和意义 1
1.1.5一维无限深势阱的研究现状 2
1.1.6一维无限深势阱的发展趋势 3
1.2一维无限深势阱的精确解 3
1.2.1定态薛定谔方程的解法 3
1.2.2一维无限深势阱解的物理意义 5
1.2.3讨论 6
1.3线性变分法的简单介绍 6
1.3.1变分法 6
1.3.2线性变分法 7
2.用线性变分法研究一维无限深势阱 10
2.1理论研究 10
2.2数值的计算及讨论 11
2.3结果讨论 17
3.小结 19
参考文献 20
附录 21
致 谢 26
1.绪论
1.1一维无限深势阱的概述
1.1.1一维无限深势阱的定义
做一维运动的微观粒子在外力场的作用下，具有 ； 的势能函数。因为图像在区域内具有0的势能，区域外有无穷大的势能并且函数图像像一个阱字，根据这一特点，我们称这种粒子能量分布为一维无限深势阱。
1.1.2一维无限深势阱的模型
在一块金属中运动的自由电子，它的轨迹和粒子在势阱中运动的轨迹相似。因为势阱内的势能是零，粒子处于平衡状态，粒子做的是自由运动。 的两个边界势能是无穷大的，它受到向势阱内无穷大的力。根据这一特点，金属中的电子的位置总是在 的范围内。
1.1.3一维无限深势阱的波函数
(0
我们把研究原子、分子、原子核和各种粒子的基本结构以及性质的理论称为量子力学，它是物理学之中一个重要的分支，是用来探究微观粒子的运动行为。在现代物理学的理论基础中，量子力学就是其中至关重要的一部分。它不仅具有重要的理论意义，而且被广泛使用在非常多的现代科学技术中。
解薛定谔方程 的一种近似方法是运用量子力学的变分法。处于束缚态 时，能量本征方程与能量变分原理是具有相对的等价性的，我们可以通过求解能量的极值从而得出能量本征方程的解。而在面对具体问题的时候，可以运用波函数一种特殊的变化代替最普遍的任意变分，从而得到波函数特殊形式的近似解。
为了达到探究微观粒子运动行为的目的，我们可以用线性变分法对一维无限深势阱做深入的研究。因为能够精确求解量子力学模型的问题并不多，而且一维无限深势阱这一问题却是具有一定的实际意义的。
1.1.5一维无限深势阱的研究现状
我们知道，在大学中的教科书中一维无限深势阱是通过解定态薛定谔方程 得到的,但是对一维无限深势阱的解还可以通过很多其他的方法求得，比如在文献[1]中一维无限深势阱中微观粒子的波函数和能量是运用路径积分的思想根据它的传播函数得到的；在文献[2]中作者的能谱公式是通过运用WKB近似得到的，还提出应该减弱不变的势场这一要求；在文献[3]中则提到了最小二乘法，微观粒子的能量和波函数就是用的这种方法的到，并且与精确解非常接近；在文献[4]中势阱的能级和微观粒子的状态以及波函数是通过Numerov算法得到的；在文献[5]中为了对一维无限深势阱在物理角度的强调并且具有教学意义，重点分析了求解本征函数的办法、能量和波函数受势阱的宽度的影响；在文献[6]中利用了超对称性量子力学创造了新的势能函数，该函数与一维无限深势阱的能谱是相同的，通过这一方法得到能量的本征函数和能谱；在文献[7]中作者认为近代量子力学难以理解是因为它的基本假设的不准确性；在文献[8]和文献[9]中用数学的方法证明了一维无限深势阱中有着不确定性；在文献[10]中作者层层剥析一维无限深势阱的各种解法的关系，并将这些内容应用到了实际事例当中，证明了自己的想法；在文献[11]中作者进一步讨论了一维无限深势阱这个微观粒子模型，证明了一维无限深势阱中能量 是大于0的，讨论了该模型成立的各种情况;在文献[12]中为了方便学生理解一维无限深势阱内微观粒子的分布概率，创新了一个用来演示概率密度分布的仪器；在文献[13]中作者将积分的思想和Wigner函数相结合得出了一维无限深势阱的函数而且指明这个函数式一个实函数；在文献[14]中运用到了Matlaba这个计算工具并将有限差分的方法解决一维无限深势阱的问题。
1.1.6一维无限深势阱的发展趋势
从一维无限深势阱的研究历程来看，对其研究从实际问题到理论定义，然后建立了模型。从教科书上面通过模拟假设并用公式推导薛定谔方程来研究一维无限深势阱到现在用各种各样不同的数学思想结合微观粒子运动行为来近似来求解一维无限深势阱的能级和波函数。从方程的求解公式的推导到现在借助计算机编程实现用大量数据模拟实际粒子运动状态，研究的方法越来越多元化，研究的内容也越来越深入。我们将理论知识与实际数据实际模型相结合，从而达到更直观更透彻的研究量子力学的目的。
1.2一维无限深势阱的精确解
1.2.1定态薛定谔方程的解法
微观粒子在一维势场 中的运动涉及了薛定谔方程的一些简单应用。在一维的情况下，微观粒子运动满足的定态薛定谔方程为
（1）
这是一个二阶常微分方程，只要给出势函数 的具体表达式，解这个常微分方程就可以得到能量的本征值和本征函数。
我们不妨设 为粒子的质量，在如下势场中运动
（2）
其中， 是势阱的宽度， 是势阱的深度，在势阱内势能等于零，在阱外有无穷大的势能。
根据一维情况下的薛定谔方程，可以写出一维无限深势阱内外的薛定谔方程。
在势阱内有
（3）
在势阱外有
（4）
在（4）式中，如果让 ，那么 就必须等于零才能使等式成立，它的实际意义就是势垒壁无限高的时候，一维无限深势阱外面不存在有限能量的粒子，也就是说，一维无限深势阱外波函数是零，也就是
（5）
现在，我们将参数精简化从而达到方程的精简明了，便于我们记忆的作用，解出有待定系数的解
设
（6）
是关于 的一个函数，因此我们只要求出 就可以确定 为多少
一维无限深势阱内定态薛定谔方程为
（7）
当 大于0小于 时，
（8）
式中的 和 都是待定的未知常数。
一维无限深势阱的方程推导到这边，我们就可以用定义波函数的条件标准来来确定未知的
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