类氦原子体系基态能量的变分法数值研究
类氦原子体系基态能量的变分法数值研究[20200408101235]
摘 要
类氦原子体系是由两个具有关联作用的运动电子所构成的最简单的多电子体系。由于对类氦原子系统的薛定谔方程不能精确地解析求解，所以我们只可借助一些近似方法来求解。对于定态薛定谔方程的本征值问题，用变分法来对其进行研究无疑是最佳的选择。该方法研究类氦原子体系基态能量的关键是怎么去建立一个恰当的试探波函数。
由于考虑到了原子核外两电子之间的电子关联作用，本文选取包含两电子之间关联坐标的双参数、三参数以及四参数试探波函数，并通过编纂相应的Mathematica软件代码来完成变分计算，从而求出氦原子以及类氦原子体系基态能量。计算结果与实验值很接近。这表明，在建立的变分波函数中引入关联坐标，能够有效地提升对类氦原子基态能量计算结果的精确度，同时也证明了电子的关联效应对氦原子以及类氦原子体系基态能量的计算影响最为显著。
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关键字:类氦原子电子关联基态能量变分法Mathematica
目 录
1.绪论 1
1.1引言 1
1.2基本定义 2
1.2.1薛定谔方程和波函数 2
1.2.2 Mathematica软件概述 3
1.3 Hylleraas变分法及本文的研究思想 4
2.理论方法 6
3. Mathematica程序及数值结果 9
3.1 基态能量表达式简化推导 9
3.2 Mathematica程序代码运算结果 10
3.2.1运算结果 10
3.2.2数值结果分析 11
4. 论文小结 13
参考文献 14
附录 15
附录（1） 15
附录（2） 17
附录（3） 20
致谢 23
1.绪论
1.1引言
类氦原子体系是由两个运动电子强相互关联的最基本的库伦三体系统，是最简单的多电子体系，可用来检验各种研究多体问题方法的可靠性和正确性。但是由于对类氦原子系统的薛定谔方程不能精确地解析求解，所以我们只可借助一些近似方法来求解。在过去的几十年中，人们掺入了很多方法来对这一问题加以研究，比如自洽场法、变分法、微扰法和Roothaan-Hartree-Fock等方法，如文献[1]中就采用了Roothaan-Hartree-Fock方法对氦原子基态能量进行计算。但在众多的方法中，变分法始终是处理氦原子以及类氦原子基态问题的一个最有效的工具，一直被广泛用于各种束缚体系的基态及激发态能量的计算，是研究薛定谔方程本征问题有效可行的基本方法，参考文献[2-7]中基本上都是运用了变分法来对氦原子基态能量进行计算的。
用变分法对类氦原子体系基态能量进行数值研究的关键在于选择一个合适的试探波函数，此外还需要构建一个合适的坐标系来计算哈密顿算符的具体期望值。另外，电子关联效应在计算原子的能级结构时也扮演者一个重要的角色，而电子关联效应的本质其实是原子内部电子之间的强相互作用。这个在文献[8]中有详细的介绍与分析。随着如今计算机计算能力的不断提高，人们对类氦原子变分能量精确度的要求越来越高。而在计算类氦原子基态能量时，如果要达到一定的精确度，那么就不可避免地需要考虑到电子之间的关联效应。在所选取的变分波函数中加入关联坐标，可以对类氦原子基态能量计算结果的精确度有明显的提高，同时也证明了电子之间的关联作用对类氦原子基态能量数值计算的影响最为显著。
1.2基本定义
1.2.1薛定谔方程和波函数
众所周知，微观粒子具有波粒二象性。我们可用平面波来描述自由粒子，德布罗意关系 和相结合，将平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量联系起来。平面波的波矢和频率都不随位置或时间的改变而改变，相对应的，自由粒子的能量也不随位置或时间的改变而改变。如果自由粒子受到随位置或时间变化的力场的作用，则它的能量和动量不再是常量，这时候就不能用平面波来描述自由粒子，必须得用更加复杂的波来进行描写。在通常情况下，我们用一个函数来描述自由粒子的这个波，并称这个函数为波函数，它是一个复数，而我们熟知的德布罗意平面波只是波函数的一个特例。
常见的用于计算原子体系能量的波函数有Hylleraas波函数、Roothaan-Hartree-Fock波函数和组态相互作用波函数等等。在文献[9]、[10]中就分别研究了类氦原子基态能量的组态作用计算和Hylleraas变分计算。文献[11]则主要分析了类氦原子主要的几种波函数计算。
量子问题的答案隐藏在量子力学的基本方程——薛定谔方程里
（1）
公式（1）中i为虚数因子， ，是约化普朗克常数， 是波函数， 是哈密顿算符，对于单粒子系统，它的定义为：
（2）
公式（2）中m是粒子的质量，是粒子与环境相互作用的势函数。
决定一个量子系统特征的是它的所谓的“定态”，其中“束缚态”就是一种，另一种定态方程式是“散射态”。定态是这样的态：势函数不含时间，波函数取空间部分与时间间部分乘积的形式
（3）
此时，波函数的空间部分满足定态方程（又叫做本征值方程）
（4）
其中E是定态能量，在束缚态下，它取分立的（不连续的）值En ,称为能量本征值。与本征值对应的波函数叫本征波函数，用表示。如果是散射态，能量就不是分立的，而是连续的。
在量子物理中，很多情况下就是解方程（4）来得到的答案，这在文献[12]、[13]中十分常见，并且都给出了很好的推导过程。方程（4）的哈密顿算符是要事先给定的（根据问题的具体特点设计出来）。薛定谔方程是二阶的微分方程，其中含有未知的能量参数E。如果没有这个未知参数，则求解方程（4）就是“小菜一碟”。但是，因为有未知参数的存在，难度就增大了一些，解题的过程也稍微复杂一些，因为需要同时解出能量和波函数，或者准确的说，在求解波函数的过程中应用波函数满足的边界条件确定能量，然后解出波函数。
波函数被认为是系统状态的完整描述，它的含义是状态分布的几率幅，是几率密度，满足归一化条件：
（5）
根据波函数的同价含义，波函数应该满足一些条件，即波函数在全空间连续；对于束缚态，波函数是局域化的，在远离局域的区域，波函数逐渐趋于0；波函数的一阶导数可以不连续，但多数情况下还是连续的，除非遇到势函数有无穷大跃变的情况。
波函数一般是不可测量的，它的作用有两个：一是直接作用，显示粒子的空间或时间分布；二是间接作用，用来计算其他物理量。
1.2.2 Mathematica软件概述
众所周知，电磁场与电磁波有着复杂的时间与空间分布，而对电磁场与电磁波的研究只能通过仪器测量或者通过抽象的想象来进行探讨，这为我们在实际的实践过程中对电磁问题以相关的实验现象的理解都带来了不少的麻烦。为了能够更加详细直观地描绘电磁场的性质，绘制电磁场随时间和空间变化的可视化图形是非常必要的。
此外，电磁场的求解通常涉及到许多数学方面的计算。比如，特殊函数，微分与积分，矩阵运算，复数运算，以及偏微分方程与常微分方程的求解等等。一般，我们都是通过采用手工推算的方法来求解电磁场的相关问题，这就使得一些繁琐的问题在求解过程不仅费时费力，而且还十分容易出现差错。此外，我们从手工推算的结果中不能直接获取一些十分直观的物理图景，最多只是得到部分根据推算结果绘制出来的简单示意图。
正是由于以上问题的存在，Hylleraas在1929年提出他的Hylleraas变分波函数后，他的方法就因为计算量大且不能通过解析来完成，而不被各种量子教材所采用。可一旦随着计算机技术的迅速发展，Hylleraas变分法借助计算机却只需短短的几分钟就能完成原本根本无法完成的计算任务。本文通过使用Mathematica软件对计算类氦原子基态能量的计算过程进行软件编程，将复杂的计算工作交由计算机来运行。这样既保存了Hylleraas变分法的思想，又让基态能量计算结果的精确度得到一定的保障。
摘 要
类氦原子体系是由两个具有关联作用的运动电子所构成的最简单的多电子体系。由于对类氦原子系统的薛定谔方程不能精确地解析求解，所以我们只可借助一些近似方法来求解。对于定态薛定谔方程的本征值问题，用变分法来对其进行研究无疑是最佳的选择。该方法研究类氦原子体系基态能量的关键是怎么去建立一个恰当的试探波函数。
由于考虑到了原子核外两电子之间的电子关联作用，本文选取包含两电子之间关联坐标的双参数、三参数以及四参数试探波函数，并通过编纂相应的Mathematica软件代码来完成变分计算，从而求出氦原子以及类氦原子体系基态能量。计算结果与实验值很接近。这表明，在建立的变分波函数中引入关联坐标，能够有效地提升对类氦原子基态能量计算结果的精确度，同时也证明了电子的关联效应对氦原子以及类氦原子体系基态能量的计算影响最为显著。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:类氦原子电子关联基态能量变分法Mathematica
目 录
1.绪论 1
1.1引言 1
1.2基本定义 2
1.2.1薛定谔方程和波函数 2
1.2.2 Mathematica软件概述 3
1.3 Hylleraas变分法及本文的研究思想 4
2.理论方法 6
3. Mathematica程序及数值结果 9
3.1 基态能量表达式简化推导 9
3.2 Mathematica程序代码运算结果 10
3.2.1运算结果 10
3.2.2数值结果分析 11
4. 论文小结 13
参考文献 14
附录 15
附录（1） 15
附录（2） 17
附录（3） 20
致谢 23
1.绪论
1.1引言
类氦原子体系是由两个运动电子强相互关联的最基本的库伦三体系统，是最简单的多电子体系，可用来检验各种研究多体问题方法的可靠性和正确性。但是由于对类氦原子系统的薛定谔方程不能精确地解析求解，所以我们只可借助一些近似方法来求解。在过去的几十年中，人们掺入了很多方法来对这一问题加以研究，比如自洽场法、变分法、微扰法和Roothaan-Hartree-Fock等方法，如文献[1]中就采用了Roothaan-Hartree-Fock方法对氦原子基态能量进行计算。但在众多的方法中，变分法始终是处理氦原子以及类氦原子基态问题的一个最有效的工具，一直被广泛用于各种束缚体系的基态及激发态能量的计算，是研究薛定谔方程本征问题有效可行的基本方法，参考文献[2-7]中基本上都是运用了变分法来对氦原子基态能量进行计算的。
用变分法对类氦原子体系基态能量进行数值研究的关键在于选择一个合适的试探波函数，此外还需要构建一个合适的坐标系来计算哈密顿算符的具体期望值。另外，电子关联效应在计算原子的能级结构时也扮演者一个重要的角色，而电子关联效应的本质其实是原子内部电子之间的强相互作用。这个在文献[8]中有详细的介绍与分析。随着如今计算机计算能力的不断提高，人们对类氦原子变分能量精确度的要求越来越高。而在计算类氦原子基态能量时，如果要达到一定的精确度，那么就不可避免地需要考虑到电子之间的关联效应。在所选取的变分波函数中加入关联坐标，可以对类氦原子基态能量计算结果的精确度有明显的提高，同时也证明了电子之间的关联作用对类氦原子基态能量数值计算的影响最为显著。
1.2基本定义
1.2.1薛定谔方程和波函数
众所周知，微观粒子具有波粒二象性。我们可用平面波来描述自由粒子，德布罗意关系 和相结合，将平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量联系起来。平面波的波矢和频率都不随位置或时间的改变而改变，相对应的，自由粒子的能量也不随位置或时间的改变而改变。如果自由粒子受到随位置或时间变化的力场的作用，则它的能量和动量不再是常量，这时候就不能用平面波来描述自由粒子，必须得用更加复杂的波来进行描写。在通常情况下，我们用一个函数来描述自由粒子的这个波，并称这个函数为波函数，它是一个复数，而我们熟知的德布罗意平面波只是波函数的一个特例。
常见的用于计算原子体系能量的波函数有Hylleraas波函数、Roothaan-Hartree-Fock波函数和组态相互作用波函数等等。在文献[9]、[10]中就分别研究了类氦原子基态能量的组态作用计算和Hylleraas变分计算。文献[11]则主要分析了类氦原子主要的几种波函数计算。
量子问题的答案隐藏在量子力学的基本方程——薛定谔方程里
（1）
公式（1）中i为虚数因子， ，是约化普朗克常数， 是波函数， 是哈密顿算符，对于单粒子系统，它的定义为：
（2）
公式（2）中m是粒子的质量，是粒子与环境相互作用的势函数。
决定一个量子系统特征的是它的所谓的“定态”，其中“束缚态”就是一种，另一种定态方程式是“散射态”。定态是这样的态：势函数不含时间，波函数取空间部分与时间间部分乘积的形式
（3）
此时，波函数的空间部分满足定态方程（又叫做本征值方程）
（4）
其中E是定态能量，在束缚态下，它取分立的（不连续的）值En ,称为能量本征值。与本征值对应的波函数叫本征波函数，用表示。如果是散射态，能量就不是分立的，而是连续的。
在量子物理中，很多情况下就是解方程（4）来得到的答案，这在文献[12]、[13]中十分常见，并且都给出了很好的推导过程。方程（4）的哈密顿算符是要事先给定的（根据问题的具体特点设计出来）。薛定谔方程是二阶的微分方程，其中含有未知的能量参数E。如果没有这个未知参数，则求解方程（4）就是“小菜一碟”。但是，因为有未知参数的存在，难度就增大了一些，解题的过程也稍微复杂一些，因为需要同时解出能量和波函数，或者准确的说，在求解波函数的过程中应用波函数满足的边界条件确定能量，然后解出波函数。
波函数被认为是系统状态的完整描述，它的含义是状态分布的几率幅，是几率密度，满足归一化条件：
（5）
根据波函数的同价含义，波函数应该满足一些条件，即波函数在全空间连续；对于束缚态，波函数是局域化的，在远离局域的区域，波函数逐渐趋于0；波函数的一阶导数可以不连续，但多数情况下还是连续的，除非遇到势函数有无穷大跃变的情况。
波函数一般是不可测量的，它的作用有两个：一是直接作用，显示粒子的空间或时间分布；二是间接作用，用来计算其他物理量。
1.2.2 Mathematica软件概述
众所周知，电磁场与电磁波有着复杂的时间与空间分布，而对电磁场与电磁波的研究只能通过仪器测量或者通过抽象的想象来进行探讨，这为我们在实际的实践过程中对电磁问题以相关的实验现象的理解都带来了不少的麻烦。为了能够更加详细直观地描绘电磁场的性质，绘制电磁场随时间和空间变化的可视化图形是非常必要的。
此外，电磁场的求解通常涉及到许多数学方面的计算。比如，特殊函数，微分与积分，矩阵运算，复数运算，以及偏微分方程与常微分方程的求解等等。一般，我们都是通过采用手工推算的方法来求解电磁场的相关问题，这就使得一些繁琐的问题在求解过程不仅费时费力，而且还十分容易出现差错。此外，我们从手工推算的结果中不能直接获取一些十分直观的物理图景，最多只是得到部分根据推算结果绘制出来的简单示意图。
正是由于以上问题的存在，Hylleraas在1929年提出他的Hylleraas变分波函数后，他的方法就因为计算量大且不能通过解析来完成，而不被各种量子教材所采用。可一旦随着计算机技术的迅速发展，Hylleraas变分法借助计算机却只需短短的几分钟就能完成原本根本无法完成的计算任务。本文通过使用Mathematica软件对计算类氦原子基态能量的计算过程进行软件编程，将复杂的计算工作交由计算机来运行。这样既保存了Hylleraas变分法的思想，又让基态能量计算结果的精确度得到一定的保障。
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