自旋系统的平衡态与非平衡态的研究物
自旋系统的平衡态与非平衡态的研究物[20200406141258]
中文摘要
本文在简要的概述了自旋系统基本理论的基础上，对典型的自旋系统在平衡态与非平衡态进行了一些简单的研究。首先，我们介绍了1/2自旋和自旋链的概念。然后根据矩阵力学的原理，利用矩阵的形式来表示系统的哈密顿量。利用此方法，我们研究自旋1/2 的海森堡模型和伊辛模型的平衡态性质。我们分析了哈密顿量的矩阵的空间特点，发现其有可以分成很多不变的子空间。这样我们可以把哈密顿量放在子空间进行对角化，得到其特征向量和特征值。这样可以大大简化计算的复杂度，从而降低计算所需要的时间。我们分析边界条件对其的能谱情况的影响。最后，我们研究自旋系统的非平衡态的动力学行为，分析了对称性和子空间对其动力学的影响。这些简单的工作对自旋系统有一定的积极意义。
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关键字:自旋系统平衡态非平衡态
目录
中文摘要 I
Abstract II
第一章 引言 1
第二章 自旋系统介绍 3
2.1自旋 3
2.2 自旋-1/2链 4
第三章 自旋系统平衡基态特性 5
3.1哈密顿 5
3.2哈密顿矩阵的形式 6
3.3特征值和特征向量 8
3.4直方图—预测动态 8
3.5IPR 10
第四章 自旋系统非平衡动态特性 13
4.1概率 13
4.2对称性 16
五 总结与展望 20
六 参考文献 21
致谢 22
第一章 引言
在自然界的一切都是由许多微小的粒子组成的,且微粒之间相互作用。单个原子有特定的属性，但是一旦多个原子放在一起,他们便会相互作用，使得他们的行为可能会有所不同。量子系统与许多相互作用的粒子被称为量子多体的系统,本文的主题是这个系统。理解这些粒子相互作用的影响可以在各领域有重要应用。量子计算机,这是一个量子多体的系统,是一个电脑设计,使用量子力学的原理可以提高计算机的计算能力。
在经典物理中，我们可以使用工具来描述系统的静态并且预测其动态。使用牛顿定律，我们可以深知力之间的相互作用，并且知道物体的位置，速度和加速度的变化。这些定律用途广泛并且能够正确描述宏观上的物体的行为,如飞机、汽车、和人。然而,许多经典物理学定律不能正确预测微观粒子的行为,如电子。为了描述微粒的动态我们必须使用量子力学,本质上这是一个概率理论[1-2]。
一个波函数 描述了波粒子或一组粒子的特性，这个函数是关于空间和时间的函数。(这是在一维的波函数, 是完整的波函数。)。德布罗意假设也被实验证实，即物质(电子、质子等)像光一样具有波和粒子的特性。海森堡不确定性原理表明无法在同一时间知道一个微粒的位置和动量。变量
（1）
对应找到微粒在时间t下x位置的概率，如果测量是在系统上完成的话。牛顿定律在经典物理学可以预测宏观物体的位置和速度,在量子力学中,薛定谔方程支配的概率振幅,描述了波函数的行为 。如果给定一个初始条件 时,通过薛定谔方程我们可以确定未来时刻的 [3-4]。
我们可以使用模型来描述真实系统。当模型可以分析解决,它被称为可积的。在经典物理中我们无法预测混沌系统，因为这种系统对初始条件极为敏感。初始条件不同的两个微粒在相空间轨迹非常接近。我们可以找到近似数值来解决,但是我们却无法描述他们。在自然界发现的大多数系统实际上是混乱。例子包括天气、人口增长和疾病的传播[5]。
在本文中,我们分析模型量子多体系统也是海森堡自旋1/2系统。这样的系统十分接近模型如磁性化合物铜氧化物。其中的一些实际系统已被证明有一个较强的传输热量的能力,使它们非常值得去研究[6]。海森堡模型也被用作量子计算机的一个模型来研究可控的方式传输信息。
第二章 自旋系统介绍
2.1自旋
电子,像其他单一和复合粒子,具有一种内在的属性,被称为自旋。为了解释这个问题,我们可以通过比较电子和行星的运动。行星的轨道角时刻是由它围绕太阳的轨道产生的,一个轨道大约需要365天,并且它有一个角动量,又因为它绕自己的轴自旋,所以我们有大约一天24小时。原子中的电子绕原子核,因此也拥有一个轨道角动量。电子有一个额外的“角动量”,就像行星一样电子绕着它的轴旋转,但实际上电子只有一个固有特性,并不是实际的物理性质。如果这个角动量归因于电子的旋转,电子旋转速度必须比光速快,但是这是不可能的。因此,该角动量只是自旋电子的只是一个固有特性。轨道角动量(自旋)与轨道(自旋)粒子的磁偶极矩[7-8]。
在1921至1922之间，Walther Gerlach和Otto Stern为了清楚电子自旋的动态做了一些的实验。实验通过加热银原子开始。银原子包含47个电子。他们发现其中的46个电子没有产生角动量，因为他们能够产生对称的电子云。这使得一个电子的自旋不能与其他电子的自旋相互抵消,从而使整个原子自旋。
这些银原子通过由磁铁产生的磁场被发送到探测器的另一端。这个磁场不均匀，且沿着正z轴方向逐渐增大。根据每个原子的磁矩的大小和方向，原子将在光束中偏移。这个装置是用来展示电子在z轴向分量的自旋，因为每个原子偏移的数量和z轴向偶极子大小成正比。烤箱里的原子是随机的,根据它们在每个磁场偏转方向不同，我们所预期对齐的磁偶极矩或自旋的值,将以一个连续分布出现在探测器上。然而,他们发现,烤箱里磁场可以将原始的光束分出两个不同的结构。这表明了z轴向只有两个可能的方向自旋向上或向下，由于它们的分量磁矩只有两个不同的值。这种现象被称为电子自旋角动量量子化。z轴向发生不仅是如此,光束分裂成两个不同的光束也是可以看到相同的现象,例如,当磁场不均匀并且沿着x轴向逐渐增大。
当Stern和Gerlach放置多个连续磁场并且通过磁场探测器将光束发送另一端，结果变得更加令人惊讶。例如,他们发射银原子通过非均匀磁场z轴向,并阻止了原子在-z方向的导向。然后他们允许另一个由原子组成光束面向+z方向,通过一个不均匀的磁场x轴向,并阻止这些原子-x方向的导向。最后他们允许+x光束经过中的另一个非均匀磁场z轴向。我们可以预期到因为我们之前阻止了-z方向的光束,所以我们在这个时刻在检测器上只能看到一束光线,即那些在+z方向的电子。然而,他们发现,两种不同的光束出现了,一个对应于+z方向另一个对应着-z方向。他的实验说明了在量子力学中,我们不能同时确定z轴向自旋和x轴向自旋。一旦我们选择一个光束通过一个不均匀的磁场,我们破坏另一个方向自旋先前的信息。这是一个量子力学的特性,而不是该实验的一个缺陷[8-9]。
2.2 自旋-1/2链
通过海森堡模型所描述的系统研究了一维系统(链)的许多交互1/2自旋粒子。每个链上的点,编号1到L,包含一个-1/2自旋粒子。当有一个-1/2自旋粒子处于静态磁场作用时，考虑它们之间的相互作用非常小，所以可以忽略不计。就像stern-gerlach实验一样，这些粒子的每个点在磁场中的方向平行或反向平行。在我们的例子中z轴向的磁场在应用于系统中,因此我们参考的两个可能的方向自旋指向向上或者向下。
我们研究系统中开放边界条件和系统周期性边界条件是一样的。在开放边界条件下,第一个点和最后一个点不相连。如果第一个点和最后一个点相连那么点之间形成一个环,这被称为一个封闭的链与周期性边界条件。
自旋为-1/2的粒子包括质子、中子、电子,中微子和夸克，一个向上的自旋可以用 表示。类似的，一个向下的自旋可以用 表示。向量形式对应用自旋操作符很有用,如泡利矩阵对自旋。
第三章 自旋系统平衡基态特性
3.1哈密顿
哈密顿是一个操作符,描述了系统的能量.我们通过海森堡自旋-1/2模型来计算,哈密顿可以表示成
, （3.1.1）
当
（3.1.2）
中文摘要
本文在简要的概述了自旋系统基本理论的基础上，对典型的自旋系统在平衡态与非平衡态进行了一些简单的研究。首先，我们介绍了1/2自旋和自旋链的概念。然后根据矩阵力学的原理，利用矩阵的形式来表示系统的哈密顿量。利用此方法，我们研究自旋1/2 的海森堡模型和伊辛模型的平衡态性质。我们分析了哈密顿量的矩阵的空间特点，发现其有可以分成很多不变的子空间。这样我们可以把哈密顿量放在子空间进行对角化，得到其特征向量和特征值。这样可以大大简化计算的复杂度，从而降低计算所需要的时间。我们分析边界条件对其的能谱情况的影响。最后，我们研究自旋系统的非平衡态的动力学行为，分析了对称性和子空间对其动力学的影响。这些简单的工作对自旋系统有一定的积极意义。
*查看完整论文请 +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
关键字:自旋系统平衡态非平衡态
目录
中文摘要 I
Abstract II
第一章 引言 1
第二章 自旋系统介绍 3
2.1自旋 3
2.2 自旋-1/2链 4
第三章 自旋系统平衡基态特性 5
3.1哈密顿 5
3.2哈密顿矩阵的形式 6
3.3特征值和特征向量 8
3.4直方图—预测动态 8
3.5IPR 10
第四章 自旋系统非平衡动态特性 13
4.1概率 13
4.2对称性 16
五 总结与展望 20
六 参考文献 21
致谢 22
第一章 引言
在自然界的一切都是由许多微小的粒子组成的,且微粒之间相互作用。单个原子有特定的属性，但是一旦多个原子放在一起,他们便会相互作用，使得他们的行为可能会有所不同。量子系统与许多相互作用的粒子被称为量子多体的系统,本文的主题是这个系统。理解这些粒子相互作用的影响可以在各领域有重要应用。量子计算机,这是一个量子多体的系统,是一个电脑设计,使用量子力学的原理可以提高计算机的计算能力。
在经典物理中，我们可以使用工具来描述系统的静态并且预测其动态。使用牛顿定律，我们可以深知力之间的相互作用，并且知道物体的位置，速度和加速度的变化。这些定律用途广泛并且能够正确描述宏观上的物体的行为,如飞机、汽车、和人。然而,许多经典物理学定律不能正确预测微观粒子的行为,如电子。为了描述微粒的动态我们必须使用量子力学,本质上这是一个概率理论[1-2]。
一个波函数 描述了波粒子或一组粒子的特性，这个函数是关于空间和时间的函数。(这是在一维的波函数, 是完整的波函数。)。德布罗意假设也被实验证实，即物质(电子、质子等)像光一样具有波和粒子的特性。海森堡不确定性原理表明无法在同一时间知道一个微粒的位置和动量。变量
（1）
对应找到微粒在时间t下x位置的概率，如果测量是在系统上完成的话。牛顿定律在经典物理学可以预测宏观物体的位置和速度,在量子力学中,薛定谔方程支配的概率振幅,描述了波函数的行为 。如果给定一个初始条件 时,通过薛定谔方程我们可以确定未来时刻的 [3-4]。
我们可以使用模型来描述真实系统。当模型可以分析解决,它被称为可积的。在经典物理中我们无法预测混沌系统，因为这种系统对初始条件极为敏感。初始条件不同的两个微粒在相空间轨迹非常接近。我们可以找到近似数值来解决,但是我们却无法描述他们。在自然界发现的大多数系统实际上是混乱。例子包括天气、人口增长和疾病的传播[5]。
在本文中,我们分析模型量子多体系统也是海森堡自旋1/2系统。这样的系统十分接近模型如磁性化合物铜氧化物。其中的一些实际系统已被证明有一个较强的传输热量的能力,使它们非常值得去研究[6]。海森堡模型也被用作量子计算机的一个模型来研究可控的方式传输信息。
第二章 自旋系统介绍
2.1自旋
电子,像其他单一和复合粒子,具有一种内在的属性,被称为自旋。为了解释这个问题,我们可以通过比较电子和行星的运动。行星的轨道角时刻是由它围绕太阳的轨道产生的,一个轨道大约需要365天,并且它有一个角动量,又因为它绕自己的轴自旋,所以我们有大约一天24小时。原子中的电子绕原子核,因此也拥有一个轨道角动量。电子有一个额外的“角动量”,就像行星一样电子绕着它的轴旋转,但实际上电子只有一个固有特性,并不是实际的物理性质。如果这个角动量归因于电子的旋转,电子旋转速度必须比光速快,但是这是不可能的。因此,该角动量只是自旋电子的只是一个固有特性。轨道角动量(自旋)与轨道(自旋)粒子的磁偶极矩[7-8]。
在1921至1922之间，Walther Gerlach和Otto Stern为了清楚电子自旋的动态做了一些的实验。实验通过加热银原子开始。银原子包含47个电子。他们发现其中的46个电子没有产生角动量，因为他们能够产生对称的电子云。这使得一个电子的自旋不能与其他电子的自旋相互抵消,从而使整个原子自旋。
这些银原子通过由磁铁产生的磁场被发送到探测器的另一端。这个磁场不均匀，且沿着正z轴方向逐渐增大。根据每个原子的磁矩的大小和方向，原子将在光束中偏移。这个装置是用来展示电子在z轴向分量的自旋，因为每个原子偏移的数量和z轴向偶极子大小成正比。烤箱里的原子是随机的,根据它们在每个磁场偏转方向不同，我们所预期对齐的磁偶极矩或自旋的值,将以一个连续分布出现在探测器上。然而,他们发现,烤箱里磁场可以将原始的光束分出两个不同的结构。这表明了z轴向只有两个可能的方向自旋向上或向下，由于它们的分量磁矩只有两个不同的值。这种现象被称为电子自旋角动量量子化。z轴向发生不仅是如此,光束分裂成两个不同的光束也是可以看到相同的现象,例如,当磁场不均匀并且沿着x轴向逐渐增大。
当Stern和Gerlach放置多个连续磁场并且通过磁场探测器将光束发送另一端，结果变得更加令人惊讶。例如,他们发射银原子通过非均匀磁场z轴向,并阻止了原子在-z方向的导向。然后他们允许另一个由原子组成光束面向+z方向,通过一个不均匀的磁场x轴向,并阻止这些原子-x方向的导向。最后他们允许+x光束经过中的另一个非均匀磁场z轴向。我们可以预期到因为我们之前阻止了-z方向的光束,所以我们在这个时刻在检测器上只能看到一束光线,即那些在+z方向的电子。然而,他们发现,两种不同的光束出现了,一个对应于+z方向另一个对应着-z方向。他的实验说明了在量子力学中,我们不能同时确定z轴向自旋和x轴向自旋。一旦我们选择一个光束通过一个不均匀的磁场,我们破坏另一个方向自旋先前的信息。这是一个量子力学的特性,而不是该实验的一个缺陷[8-9]。
2.2 自旋-1/2链
通过海森堡模型所描述的系统研究了一维系统(链)的许多交互1/2自旋粒子。每个链上的点,编号1到L,包含一个-1/2自旋粒子。当有一个-1/2自旋粒子处于静态磁场作用时，考虑它们之间的相互作用非常小，所以可以忽略不计。就像stern-gerlach实验一样，这些粒子的每个点在磁场中的方向平行或反向平行。在我们的例子中z轴向的磁场在应用于系统中,因此我们参考的两个可能的方向自旋指向向上或者向下。
我们研究系统中开放边界条件和系统周期性边界条件是一样的。在开放边界条件下,第一个点和最后一个点不相连。如果第一个点和最后一个点相连那么点之间形成一个环,这被称为一个封闭的链与周期性边界条件。
自旋为-1/2的粒子包括质子、中子、电子,中微子和夸克，一个向上的自旋可以用 表示。类似的，一个向下的自旋可以用 表示。向量形式对应用自旋操作符很有用,如泡利矩阵对自旋。
第三章 自旋系统平衡基态特性
3.1哈密顿
哈密顿是一个操作符,描述了系统的能量.我们通过海森堡自旋-1/2模型来计算,哈密顿可以表示成
, （3.1.1）
当
（3.1.2）
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