基于最小误差增长准则的稀疏FIR滤波器
基于最小误差增长准则的稀疏FIR滤波器[20191214193516]
摘 要
数字滤波器在通信和语音处理等领域已经被广泛的运用。随着技术的进步，人们开始对数字滤波器的设计进行了简化，从而实现降低成本的效果。因此，对稀疏FIR滤波器的设计研究显得格外有意义。本毕业设计主要是对稀疏FIR滤波器进行设计研究，其研究的基础是基于最小误差增长准则的连续细化算法。在设计的过程中，主要研究如何选取数组中的系数将其变为零值，从而实现滤波器计算量的大幅度减少的效果。综合运用数字信号处理，凸优化理论等相关知识进行设计过程中问题的研究以及解决。在此基础之上，本毕业设计在Matlab程序中进行仿真，分别设计对应的低通，带通，多通带的稀疏FIR滤波器，绘制出各自的频谱图以及仿真结果对比表格，通过比较，突显出对稀疏FIR滤波器设计研究的意义。
摘 要 Ⅰ
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:稀疏FIR滤波器设计；线性规划；最小误差增长准则
目录
ABSTRACT Ⅱ
第1章 绪论 1
1.1基本概述 1
1.2 传统FIR滤波器设计的简述 1
1.2.1 传统FIR滤波器的概述 1
1.2.2 窗函数法对线性相位FIR滤波器设计 3
1.3研究意义 5
第二章 具体问题描述 6
2.1 问题描述 6
第三章 连续细化算法 9
3.1 算法概述 9
3.2 算法原理 9
3.3 最小误差增长准则 12
3.4 效率的提高 13
第四章 设计案例 17
4.1 具体运用案例的简述 17
4.2 具体的设计案例 17
4.2.1 设计不用规格的低通数字滤波器 17
4.2.2 设计不同规格的带通数字滤波器 22
4.2.3 设计不同规格的多通带数字滤波器 26
第五章 结束语 28
感谢词 29
参考文献 30
附录 32
1.文献翻译 32
第1章 绪论
1.1基本概述
传统的滤波器已经被我们普遍的运用到现实生活之中。由于涉及大量的卷积计算，所以传统滤波器需要大量的乘法器和加法器。在实现较好功能的同时，人们开始控制其成本。稀疏滤波器的概念就因此被引出。如何有效的减少滤波器的计算量成为了关键。在对稀疏FIR滤波器设计研究中，我们可以使用两种方法去实现，这两种实现方法都遵循了线性规划准则。本设计的方法主要是基于连续细化算法，采用其最小误差增长准则从而实现对稀疏FIR滤波器的设计。
1.2 传统FIR滤波器设计的简述
1.2.1 传统FIR滤波器的概述
在日常生活中，在通信、语音处理与图形处理、频谱分析和模式识别这些应用中，我们常常应用到FIR滤波器。FIR滤波器能满足其对相位和幅度的要求，与其他的滤波器相比，FIR滤波器从而有效的避开了电压飘逸、温度飘逸还有噪声等这些问题。FIR滤波器的作用就是过滤掉信号信息中的某些部分的频率分量，从频域的角度分析，经过滤波器处理过的信号，结果就等于信号的频谱与滤波器的频率响应相乘。从时域的角度去分析，其结果就等于信号时域信息与滤波器的冲击响应进行卷积。滤波器的实现一般分为函数逼近，电路实现，缺陷研究，产品实现这四个步骤。数字滤波器从冲击响应上来分主要分为：有限冲击响应FIR数字滤波器和无线冲击响应IIR数字滤波器。相比于IIR数字滤波器，FIR数字滤波器可以得到严格的线性相位，但是由于FIR数字滤波器的系统函数的极点固定在原点上，所以相比于IIR数字滤波器，FIR数字滤波器需要较高的阶数从而实现其高效的选择性，这样一来，FIR数字滤波器的设计就需要相比IIR滤波器高5-10倍的阶数，从而导致设计成本较高，延时也比较厉害。
在有限冲击响应FIR数字滤波器的基本结构中，一个分节延时线是其基本机构，数字滤波器的输出就是把每一节上的输出累加起来，其数字具体表达式如下：
y(n)=
从而由上述式子得知,FIR数字滤波器的设计需要进行大量的卷积运算，从而需要大量的乘法器和加法器。
我们将介绍一下关于数字FIR滤波器设计的基本原理。我们把数字滤波器的传输函数设为 ，其对应的脉冲响应就设为 （n）,系统函数设为H（z），其表达式如下：
= （1.1）
(n)= π dw （1.2）
H(z)= （1.3）
在通常情况下， （n）是一个无限值， 需要进行一个求逼近值得处理。在设计FIR数字滤波器的过程中，如果采用窗函数的设计方法时，我们则可以通过对理想滤波器的单位采样响应加上窗设计的滤波器，表达式如下：
h(n) = （n）w（n） （1.4）
在上述式子中，w（n）代表了一个宽度有限的窗，在区间0 n N的外值为0，同时，w（n）关于中间点对称，具体表达式如下：
w（n）= w(N-1-n) （1.5）
从而根据式子（1.3）的频率响应式，由卷积定理得知：
H( )= π w (1.6)
由上述式子可得知，窗函数的离散时间傅里叶变换W( )对理想的频率响应进行了平滑的处理。
我们如果采用窗函数的设计法时，所设计出的滤波器的频率响应应该要对理想的响应 进行一个逼近，这就由两个因素所决定：1.w( )的主瓣宽度 2. w( )的旁瓣幅度的大小。在理想的情况下，w( )的主瓣宽度很窄，而旁瓣幅度值小，但是对于长度固定大小的窗函数而言，这些值都不能达到其最小值。
我们来简述一下窗函数的一些性质。窗函数的一些主要的性质如下：
（1）根据关系表达式 NB=C, 从而我们可以得知，随着窗函数的宽度值N的增加，从而使得主瓣的宽度减小，过渡带变小。式子中的B值代表着过渡带的宽度，C是窗函数的一个参数值。当我们遇到一个固定的窗函数值，我们可以通过改变N值从而来改变过渡带的宽度，但是主瓣和旁瓣的相对比例是固定的，不随着N的变化而变化。通过对N值的增大，过渡带的宽度值变窄，波动的频率就会增加。即使所得的幅度会有所减少，但是在截止频率附近的肩峰并不会减少。随着N值的增加，截止频率附近的肩峰值从而被限制在一个很小的范围之内，从而在图形上出现肩峰宽度很窄的情况。
（2）一个特定的窗函数就决定了其窗函数的旁瓣幅度大小。当我们设计不同的滤波器时，我们就要根据情况来合理的选取适当的窗函数，从而使得主瓣中包含更多的能量，使得旁瓣的幅度值很小。我们可以通过对旁瓣幅度值得控制，从而来减少通带和阻带的波动。使得通带越接近理想水平的水平，使得阻带尽可能的达到最大的衰减效果。但是此时不足之处可能会出现过渡带宽度过大的情况。
（3）相比于单纯的增加窗函数的宽度，选取不同的窗函数对幅度特性的整形效果要好很多。我们通常对FIR数字滤波器的设计对所需要的离散时间的频率响应为基础，在对FIR滤波器的设计方法中，窗函数方法是最常用的设计方法。
1.2.2 窗函数法对线性相位FIR滤波器设计
数字滤波器的频率响应都是以w为周期的周期函数，其频域的傅里叶展开式如下所示：
H( )= (1.7)
在式子中的h(n)定义为h(n)= π dw。在线性相位的FIR滤波器的结构中，我们可以得知，线性相位的FIR滤波器具有其固有的对称属性，这种对称属性就减少了设计时所需的乘法器的个数，但是所需的加法器个数还是保持不变。我们把h(n)称作为傅里叶系数，其实傅里叶系数h(n)代表了数字滤波器的冲激响应的值。当我们想获取到有限冲击响应FIR滤波器的冲激响应时，我们只要把（1.6）式中的无限极数替换成有限项级数来近似就可以了。
我们常常把窗函数法称作为窗函数的有限加权w(n)修正前式的傅里叶级数，从而我们可以得到FIR滤波器的冲激响应序列，我们用 (n)来表示，具体的表达式如下：
(n)= h(n)w(n) （1.8）
在（1.8）式中，w（n）为有限长的序列，当n的取值范围为n N-1以及n 0时， w（n）=0。为了方便，我们以冲激响应对称的低通滤波器为例进行说明。低通滤波器的频率响应函数用符号H（ ）表示，其表达式如下：
H（ ）= , 0 (1.9)
当 的取值范围为 π时， =0。在（1.9）式中，符号w代表对抽样频率归一化的角频率， 则代表归一化的截止角频率。我们可以利用傅里叶逆变换可以得到对应的冲激响应h(n)，公式如下：
h(n)= （1.10）
我们在采用窗函数设计FIR滤波器时，一些常用的窗函数比如：三角窗函数，海明窗函数，汉宁窗函数，布拉克曼窗函和凯塞窗函数数等，下面列举了这几个常用的窗函数的规格，见下表1.1：
窗函数类型 相对旁瓣幅度 过渡带宽度 最大的逼近误差 等效凯塞窗
三角窗函数 -25 -25 1.33
海明窗函数 -41 -53 4.86
汉宁窗函数 -31 -44 3.86
布拉克曼窗函数 -74 7.04
表1.1 常见窗函数规格
我们在用窗函数方法设计FIR数字滤波器的时候，遵守一定的选择准则：
1.旁瓣幅度值较低，特别是第一旁瓣幅度的值
2.旁瓣幅度的下降速度一定要快，从而有利于阻带的衰减
3.主瓣的宽度值一定要窄，从而可以获取较为陡的过渡带。
不过在现实生活中，以上所说的几点都很难同时满足，因为当注重主瓣宽度较小时，即使我们能获得较为陡的过渡带，但是在通带和阻带方面有着明显的波动，另一方面，当我们更加注重旁瓣幅度值取小时，此时过渡带的带宽会变大。在真正采用窗函数设计数字滤波器时，我们往往在保证主瓣宽度到达一定值的条件下，牺牲主瓣的宽度大小从而来获取较小的旁瓣波动。
1.3研究意义
在传统的数字信号系统之中，要对语音信号或者音频信号进行处理时，有限冲激响应FIR滤波器一直被人们所使用，传统的FIR滤波器能实现对信号的预调，频带的选择以及对信号进行过滤的功能，所以传统FIR滤波器在图像处理，通信方面有着较为广泛的运用，其特点就是性能稳定，有着很好的相位特性。在设计FIR滤波器时，设计者一般会只考虑到滤波器的实现的功能以及性能是否稳定这些问题，但是传统的FIR滤波器在使用过程中所需要计算量过大因此造成成本高以及功耗过高等问题。在此问题的基础上，设计者开始思考稀疏FIR滤波器的研究设计，从而解决传统FIR滤波器的一些缺点，使得成本、电路功耗等方面的问题得到了一定的改善。
与传统的FIR滤波器相比，稀疏FIR滤波器具有成本低，功耗小，所需计算量少等等的优势，对稀疏FIR滤波器的研究设计因此显得十分的有意义。同时，在对稀疏FIR滤波器设计研究中，我们所用到的线性规划理论以及凸优化理论等相关的知识，对我们研究和设计滤波器这个过程中是很有学习意义的。
第二章 具体问题描述
2.1 问题描述
在设计研究过程中，我们主要关注的是滤波器设计的因果关系，例如典型的长度为N+1的I型线性相位FIR滤波器，这里N代表着允许的最大延迟元素的个数，一个索引数组n=0，1，....N，它为带有脉冲响应h[n]的滤波器提供数据，并且是关于M=N/2的偶对称整数公式。类似于这样的一些方法，我们把它们称为对线性相位滤波器的优化。符号N表示允许的最多延时元素个数，它是一个固定参数。我们会认为，如果在脉冲响应最后的系数为零时，那么整个滤波器的设计将会需要少于N个延时元素。
在设计过程中，脉冲响应的值可以用一个空间大小为M+1的矢量b来进行参数化，这里M代表着整数指数，b中包含了有 , ,....， 这些成分，具体的计算公式如下：
摘 要
数字滤波器在通信和语音处理等领域已经被广泛的运用。随着技术的进步，人们开始对数字滤波器的设计进行了简化，从而实现降低成本的效果。因此，对稀疏FIR滤波器的设计研究显得格外有意义。本毕业设计主要是对稀疏FIR滤波器进行设计研究，其研究的基础是基于最小误差增长准则的连续细化算法。在设计的过程中，主要研究如何选取数组中的系数将其变为零值，从而实现滤波器计算量的大幅度减少的效果。综合运用数字信号处理，凸优化理论等相关知识进行设计过程中问题的研究以及解决。在此基础之上，本毕业设计在Matlab程序中进行仿真，分别设计对应的低通，带通，多通带的稀疏FIR滤波器，绘制出各自的频谱图以及仿真结果对比表格，通过比较，突显出对稀疏FIR滤波器设计研究的意义。
摘 要 Ⅰ
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:稀疏FIR滤波器设计；线性规划；最小误差增长准则
目录
ABSTRACT Ⅱ
第1章 绪论 1
1.1基本概述 1
1.2 传统FIR滤波器设计的简述 1
1.2.1 传统FIR滤波器的概述 1
1.2.2 窗函数法对线性相位FIR滤波器设计 3
1.3研究意义 5
第二章 具体问题描述 6
2.1 问题描述 6
第三章 连续细化算法 9
3.1 算法概述 9
3.2 算法原理 9
3.3 最小误差增长准则 12
3.4 效率的提高 13
第四章 设计案例 17
4.1 具体运用案例的简述 17
4.2 具体的设计案例 17
4.2.1 设计不用规格的低通数字滤波器 17
4.2.2 设计不同规格的带通数字滤波器 22
4.2.3 设计不同规格的多通带数字滤波器 26
第五章 结束语 28
感谢词 29
参考文献 30
附录 32
1.文献翻译 32
第1章 绪论
1.1基本概述
传统的滤波器已经被我们普遍的运用到现实生活之中。由于涉及大量的卷积计算，所以传统滤波器需要大量的乘法器和加法器。在实现较好功能的同时，人们开始控制其成本。稀疏滤波器的概念就因此被引出。如何有效的减少滤波器的计算量成为了关键。在对稀疏FIR滤波器设计研究中，我们可以使用两种方法去实现，这两种实现方法都遵循了线性规划准则。本设计的方法主要是基于连续细化算法，采用其最小误差增长准则从而实现对稀疏FIR滤波器的设计。
1.2 传统FIR滤波器设计的简述
1.2.1 传统FIR滤波器的概述
在日常生活中，在通信、语音处理与图形处理、频谱分析和模式识别这些应用中，我们常常应用到FIR滤波器。FIR滤波器能满足其对相位和幅度的要求，与其他的滤波器相比，FIR滤波器从而有效的避开了电压飘逸、温度飘逸还有噪声等这些问题。FIR滤波器的作用就是过滤掉信号信息中的某些部分的频率分量，从频域的角度分析，经过滤波器处理过的信号，结果就等于信号的频谱与滤波器的频率响应相乘。从时域的角度去分析，其结果就等于信号时域信息与滤波器的冲击响应进行卷积。滤波器的实现一般分为函数逼近，电路实现，缺陷研究，产品实现这四个步骤。数字滤波器从冲击响应上来分主要分为：有限冲击响应FIR数字滤波器和无线冲击响应IIR数字滤波器。相比于IIR数字滤波器，FIR数字滤波器可以得到严格的线性相位，但是由于FIR数字滤波器的系统函数的极点固定在原点上，所以相比于IIR数字滤波器，FIR数字滤波器需要较高的阶数从而实现其高效的选择性，这样一来，FIR数字滤波器的设计就需要相比IIR滤波器高5-10倍的阶数，从而导致设计成本较高，延时也比较厉害。
在有限冲击响应FIR数字滤波器的基本结构中，一个分节延时线是其基本机构，数字滤波器的输出就是把每一节上的输出累加起来，其数字具体表达式如下：
y(n)=
从而由上述式子得知,FIR数字滤波器的设计需要进行大量的卷积运算，从而需要大量的乘法器和加法器。
我们将介绍一下关于数字FIR滤波器设计的基本原理。我们把数字滤波器的传输函数设为 ，其对应的脉冲响应就设为 （n）,系统函数设为H（z），其表达式如下：
= （1.1）
(n)= π dw （1.2）
H(z)= （1.3）
在通常情况下， （n）是一个无限值， 需要进行一个求逼近值得处理。在设计FIR数字滤波器的过程中，如果采用窗函数的设计方法时，我们则可以通过对理想滤波器的单位采样响应加上窗设计的滤波器，表达式如下：
h(n) = （n）w（n） （1.4）
在上述式子中，w（n）代表了一个宽度有限的窗，在区间0 n N的外值为0，同时，w（n）关于中间点对称，具体表达式如下：
w（n）= w(N-1-n) （1.5）
从而根据式子（1.3）的频率响应式，由卷积定理得知：
H( )= π w (1.6)
由上述式子可得知，窗函数的离散时间傅里叶变换W( )对理想的频率响应进行了平滑的处理。
我们如果采用窗函数的设计法时，所设计出的滤波器的频率响应应该要对理想的响应 进行一个逼近，这就由两个因素所决定：1.w( )的主瓣宽度 2. w( )的旁瓣幅度的大小。在理想的情况下，w( )的主瓣宽度很窄，而旁瓣幅度值小，但是对于长度固定大小的窗函数而言，这些值都不能达到其最小值。
我们来简述一下窗函数的一些性质。窗函数的一些主要的性质如下：
（1）根据关系表达式 NB=C, 从而我们可以得知，随着窗函数的宽度值N的增加，从而使得主瓣的宽度减小，过渡带变小。式子中的B值代表着过渡带的宽度，C是窗函数的一个参数值。当我们遇到一个固定的窗函数值，我们可以通过改变N值从而来改变过渡带的宽度，但是主瓣和旁瓣的相对比例是固定的，不随着N的变化而变化。通过对N值的增大，过渡带的宽度值变窄，波动的频率就会增加。即使所得的幅度会有所减少，但是在截止频率附近的肩峰并不会减少。随着N值的增加，截止频率附近的肩峰值从而被限制在一个很小的范围之内，从而在图形上出现肩峰宽度很窄的情况。
（2）一个特定的窗函数就决定了其窗函数的旁瓣幅度大小。当我们设计不同的滤波器时，我们就要根据情况来合理的选取适当的窗函数，从而使得主瓣中包含更多的能量，使得旁瓣的幅度值很小。我们可以通过对旁瓣幅度值得控制，从而来减少通带和阻带的波动。使得通带越接近理想水平的水平，使得阻带尽可能的达到最大的衰减效果。但是此时不足之处可能会出现过渡带宽度过大的情况。
（3）相比于单纯的增加窗函数的宽度，选取不同的窗函数对幅度特性的整形效果要好很多。我们通常对FIR数字滤波器的设计对所需要的离散时间的频率响应为基础，在对FIR滤波器的设计方法中，窗函数方法是最常用的设计方法。
1.2.2 窗函数法对线性相位FIR滤波器设计
数字滤波器的频率响应都是以w为周期的周期函数，其频域的傅里叶展开式如下所示：
H( )= (1.7)
在式子中的h(n)定义为h(n)= π dw。在线性相位的FIR滤波器的结构中，我们可以得知，线性相位的FIR滤波器具有其固有的对称属性，这种对称属性就减少了设计时所需的乘法器的个数，但是所需的加法器个数还是保持不变。我们把h(n)称作为傅里叶系数，其实傅里叶系数h(n)代表了数字滤波器的冲激响应的值。当我们想获取到有限冲击响应FIR滤波器的冲激响应时，我们只要把（1.6）式中的无限极数替换成有限项级数来近似就可以了。
我们常常把窗函数法称作为窗函数的有限加权w(n)修正前式的傅里叶级数，从而我们可以得到FIR滤波器的冲激响应序列，我们用 (n)来表示，具体的表达式如下：
(n)= h(n)w(n) （1.8）
在（1.8）式中，w（n）为有限长的序列，当n的取值范围为n N-1以及n 0时， w（n）=0。为了方便，我们以冲激响应对称的低通滤波器为例进行说明。低通滤波器的频率响应函数用符号H（ ）表示，其表达式如下：
H（ ）= , 0 (1.9)
当 的取值范围为 π时， =0。在（1.9）式中，符号w代表对抽样频率归一化的角频率， 则代表归一化的截止角频率。我们可以利用傅里叶逆变换可以得到对应的冲激响应h(n)，公式如下：
h(n)= （1.10）
我们在采用窗函数设计FIR滤波器时，一些常用的窗函数比如：三角窗函数，海明窗函数，汉宁窗函数，布拉克曼窗函和凯塞窗函数数等，下面列举了这几个常用的窗函数的规格，见下表1.1：
窗函数类型 相对旁瓣幅度 过渡带宽度 最大的逼近误差 等效凯塞窗
三角窗函数 -25 -25 1.33
海明窗函数 -41 -53 4.86
汉宁窗函数 -31 -44 3.86
布拉克曼窗函数 -74 7.04
表1.1 常见窗函数规格
我们在用窗函数方法设计FIR数字滤波器的时候，遵守一定的选择准则：
1.旁瓣幅度值较低，特别是第一旁瓣幅度的值
2.旁瓣幅度的下降速度一定要快，从而有利于阻带的衰减
3.主瓣的宽度值一定要窄，从而可以获取较为陡的过渡带。
不过在现实生活中，以上所说的几点都很难同时满足，因为当注重主瓣宽度较小时，即使我们能获得较为陡的过渡带，但是在通带和阻带方面有着明显的波动，另一方面，当我们更加注重旁瓣幅度值取小时，此时过渡带的带宽会变大。在真正采用窗函数设计数字滤波器时，我们往往在保证主瓣宽度到达一定值的条件下，牺牲主瓣的宽度大小从而来获取较小的旁瓣波动。
1.3研究意义
在传统的数字信号系统之中，要对语音信号或者音频信号进行处理时，有限冲激响应FIR滤波器一直被人们所使用，传统的FIR滤波器能实现对信号的预调，频带的选择以及对信号进行过滤的功能，所以传统FIR滤波器在图像处理，通信方面有着较为广泛的运用，其特点就是性能稳定，有着很好的相位特性。在设计FIR滤波器时，设计者一般会只考虑到滤波器的实现的功能以及性能是否稳定这些问题，但是传统的FIR滤波器在使用过程中所需要计算量过大因此造成成本高以及功耗过高等问题。在此问题的基础上，设计者开始思考稀疏FIR滤波器的研究设计，从而解决传统FIR滤波器的一些缺点，使得成本、电路功耗等方面的问题得到了一定的改善。
与传统的FIR滤波器相比，稀疏FIR滤波器具有成本低，功耗小，所需计算量少等等的优势，对稀疏FIR滤波器的研究设计因此显得十分的有意义。同时，在对稀疏FIR滤波器设计研究中，我们所用到的线性规划理论以及凸优化理论等相关的知识，对我们研究和设计滤波器这个过程中是很有学习意义的。
第二章 具体问题描述
2.1 问题描述
在设计研究过程中，我们主要关注的是滤波器设计的因果关系，例如典型的长度为N+1的I型线性相位FIR滤波器，这里N代表着允许的最大延迟元素的个数，一个索引数组n=0，1，....N，它为带有脉冲响应h[n]的滤波器提供数据，并且是关于M=N/2的偶对称整数公式。类似于这样的一些方法，我们把它们称为对线性相位滤波器的优化。符号N表示允许的最多延时元素个数，它是一个固定参数。我们会认为，如果在脉冲响应最后的系数为零时，那么整个滤波器的设计将会需要少于N个延时元素。
在设计过程中，脉冲响应的值可以用一个空间大小为M+1的矢量b来进行参数化，这里M代表着整数指数，b中包含了有 , ,....， 这些成分，具体的计算公式如下：
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