市场经济中的蛛网模型
市场经济中的蛛网模型[20191209140609]
摘要
本文首先简单介绍了蛛网模型，从经济角度上分析传统蛛网的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”、“封闭型蛛网”。然后分别在连续时间的条件下以微分方程的形式和在离散化时间条件下以差分方程的形式两种角度建立模型，对传统模型进行定量分析。最后，本文为了克服传统蛛网模型存在的问题，对传统意义上的蛛网模型进行改进，从现实生活的实际出发，建立更加符合现实生活和经济的蛛网模型。
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关键字:蛛网模型差分方程稳定性非线性
目录
1 绪论1
1.1课题背景1
1.2预备知识1
1.2.1差分方程的简介1
2 模型假设及符号说明3
2.1模型假设3
2.2符号说明4
3 蛛网模型在西方经济学中的定性分析4
4 蛛网模型的建立和求解7
4.1连续时间条件下的蛛网模型7
4.2离散时间条件下的蛛网模型10
4.2.1蛛网模型的线性分析10
4.2.2蛛网模型的非线性分析-12
5 模型的解释和分析14
5.1 蛛网模型的线性分析(离散时间)14
5.2蛛网模型的非线性分析(离散时间)15
6 模型的推广16
7经济不稳定时的干预办法17
8 结束语18
参考文献19
致谢20
1 绪论
1.1背景
在自由贸易市场上,存在着这样一个现象：某一个时期的消费品，比如土豆的上市量，它远大于实际上消费者的需求量，但是，由于实际上的市场不景气和一些因素的干扰，导致土豆的价格下降，生产者发现种土豆可能会赔钱或者没有什么利润可赚，于是，他想到转而经营其他农副产品。过段时间土豆的价格上涨，是因为市场的需求供应不上消费需求，生产者注意到有利可图，从而，他会再次种土豆，那么，在下一个时期的时候，土豆就会出现供大于求、价格下降的局面。一般而言，在没有外界的因素制约下，这种价格和产量的上涨下降的现象会一直持续下去。
市场经济中的商品的价格，一般是由消费者的实际生活来决定的，但是在下一期的时候，商品的数量又是由生产经营者所决定的。也是因为这种消费者的需求和生产者的供应，从抽象上，这种连续波动关系产生了蛛网模型。
蛛网模型在一定的范围内揭示了市场规律，可以对现实实践有着一些指导作用 。它告诉企业在生产过程中，不能因为商品的价格高，就因此盲目生产，也不能因为商品的价格低，就缩减生产规模而是要认真的调查，分析市场走向，研究商品的数量和价格的潜在联系，冷静并把握产品数量和价格内在规律，最终使市场和产品趋于稳定。
许多商品的商品的价格、商品的数量会随时间的变化而变化。1930美国舒尔茨，荷兰的丁伯根和意大利的里奇独立地提出了用图形表示，由于连续变量是一个蜘蛛网的价格和产量的1934，英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论称为蛛网理论。根据消费者对商品的需求函数和生产者对商品的供给函数之间的不同关系，蛛网分为三类：收敛型蛛网，发散型蛛网，封闭型蛛网。(相关资料见[1] [7])
目前，关于蛛网模型的研究，多数都是对传统的蛛网模型实际应用研究。比如，王楠[8]等人从经济方面对蛛网膜模型进行了定义，一些分类还进行了数学方面的解析，用差分方程的方法建模，讨论它的稳定条件，然后对一些实际问题进行分析。鲁晓旭[9]等人对柑橘类产量与其市场价格，运用了传统的蛛网模型进行分析。另外，马宁[10]对传统的蛛网进行了推广，在取一次的基础上，提出了取2次的平均值进而考察蛛网模型的稳定条件。
1.2预备知识
1.2.1差分方程的简介
主要介绍差分方程稳定性的知识。
差分方程的平衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一致的，例如一阶线性常系数差分方程
的平衡点由 解得 。当 时，若 则 是稳定的，否则是不稳定的。容易看出，可以用变量代换方法将方程 的平衡点稳定性问题转换为
的平衡点 的稳定性问题。而对于方程 ，因为其解显然可表为
所以立即可知当且仅当
时方程 的平衡点（从而方程 的平衡点）才是稳定的。
顺便指出，对于 维向量 和 常数矩阵 构成的方程组
其平衡点稳定的条件是 的特征根 均有
即均在复平面上的单位圆内。这个结果可由将 化为对角阵得到。
对于二阶线性常系数差分方程，我们考查
的平衡点 的稳定性。为求方程 的通解，写出它的特征方程 ，记这个一元二次代数方程的根为 ，不难验证， 的通解可表示为
其中常数 是由初始条件 确定。由 立即得到，当且仅当特征值 满足
时方程 的平衡点才是稳定的。
与一阶线性方程一样，非齐次方程
的平衡点的稳定性和方程 相同。
二阶方程的上述结果可以推广到 阶线性方程，即稳定平衡点的条件是特征根--- 次代数方程的根 均有 。考虑到高阶方程和方程组的相互转化，这个条件与 给出的结论是完全一致的。
最后讨论一阶非线性差分方程
的平衡点的稳定性。其平衡点 由代数方程 解出。为分析 的稳定性，将方程 的右端在 点作为 展开，只取一次项， 近似为
是 的近似线性方程， 也是 的平衡点。关于线性方程 的稳定平衡点的讨论已由 给出，而当 时方程 与 平衡点的稳定性相同。于是得到当
(13)
时，对于非线性方程 , 是稳定的；当
(14)
时，对于方程 ， 是不稳定的。
2 模型假设及符号说明
2.1模型假设
假设一：商品的本期产量可由前一阶段的价格而定
假设二：商品本期的需求量可由本期的价格而定
假设三：不考虑储存
2.2符号说明
t时刻的价格
t时刻的数量
t时刻的需求量
t时刻的供给量
3 蛛网模型在西方经济学中的定性分析
蛛网模型考察的是生产周期较长的商品。蛛网模型是一个动态模型，它根据供求曲线的弹性分析了商品的价格和产量波动的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”。
第一类：如图3-1所示，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线。由于其他一些因素的干扰，实际上的商品量由平均水平 减少为 。由需求曲线知，购买者想以价格 购置生产者的所有商品 ，则货物的实际价格是 .生产者会参考第一期的商品价格 ，生产经营者会将第二阶段的商品量增加到 ；在第二阶段，生产者出售的所有商品 ，同意消费者支付的价格 ，则商品价格会将降到 。从第二阶段的价格,在第三阶段，生产商将商品产量减少到 ；在第三阶段，消费者想要买所有的商品 付出 的价格,则商品的价格变成了 。根据第三阶段，生产者将第四阶段的商品产量提高到为 。
图3-1 收敛型蛛网
用类推的方法，如图3-1所示，价格和产出的波动在减少，将会返回到平衡点E的水平。则图3-1中均衡点E状态是平稳的。因此，由于其他因素，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态 时，体制中存在一些原因，能使价格和产量回到平衡状态。在图3-1中，产量与价格的变化就形成了类似蛛网一样的图形。
从图3-1中可以看到,只有当曲线斜率的绝对值大于曲线的斜率的供给函数和需求函数时,即供给函数较陡的需求函数曲线,得到蛛网稳定的结果,被称为“收敛型蛛网”。在这里,除第一期受到干扰外,其它期都不会受到外在因素的干扰,则前一个期的价格可以唯一确定下一个期的产量。从动态的逻辑顺序出发,生产者不会把供给量完全由上一期的价格来决定, 消费者也会消费生产者提供的商品量,另外，价格由盲目的生产者生产的商品总量决定。
第二种类型：如图3-2所示，相对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值大于需求函数的曲线斜率的绝对值。假定在第一个时期受到干扰，产量由平均水平 减少为 。从需求函数曲线，消费者用价格 购买的商品 ，则商品的价格变为 ，从第一阶段不低的价格 ，从供给的函数曲线，生产者把第二阶段的商品量提高为 ；在第二阶段，生产者出售所有的商品 ，消费者用这样的价格 来购买，则真正的商品价格变为了 。按照第二期的价格 ,生产者将第三期的商品量调整为 ；在第三阶段，消费者用 的价格购置所有的商品 ,则实际的价格变为 ；根据第三阶段的较低的价格 ，生产者将第四阶段要生产的数量改成成 。
图3-2 发散型蛛网
依此类推，如图3-2所示，实际的价格和实际的商品量的振幅越来越大，最后离开均衡点E所表示的水平。由此可见，图3-2中均衡点E所表示的平衡状态是不稳定的。
从图3-2可看出，相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果。供应曲线的关系导致了市场经济不稳定，当市场受到了外界因素的干扰，比如某个资本独大等等，即而它偏离原有的均衡状态，商品的价格和商品的数量在平衡状态的周围不断的上下波动，但是它的振度变得越来越大，与原来的均衡点相比，变得愈来愈远了。那么它对应的蛛网称为“发散型蛛网”。
第三种类型：如图3-3所示,对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值等于需求函数的曲线斜率的绝对值时。市场受到外界因素干扰，离开原有的均衡点后，如图所示，但是由于供给和需求函数的斜率绝对值相等，会表现为商品的价格和数量按照同一个振幅在均衡点附近上下波动，不会离开均衡点，也不会靠近均衡点。这样的蛛网被称为“封闭型蛛网”。
图3-3 封闭型蛛网
对于图3-3中,不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似。从图3-3可看出，当相对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值等于需求函数的曲线斜率的绝对值时，即对于价格轴来说，供求曲线具有同样的陡峭程度与平缓程度时，蛛网以相同的振幅上下波动，相应的蛛网被称为“封闭型蛛网”。
三种蛛网模型的特点：
1. 收敛型 需求弹性大于供给弹性
2. 发散型 需求弹性小于供给弹性
3. 封闭型 需求弹性等于供给弹性
4 蛛网模型的建立和求解
4.1连续时间条件下的蛛网模型
在连续的时间条件下，我们用微分方程来建立时间连续的蛛网模型，对蛛网模型的稳定性和此模型的结果进行经济分析和解释。传统的蛛网模型是一个基于单一商品市场比如土豆，假设在时间连续的条件下，而土豆的价格、土豆的数量会随着时间不断变化而变化的。
设某商品价格是时间 的函数 ，供给量 由供给函数 决定,记做 .供应不单单由商品的价格决定的,还有可能会被其他外界因素干扰，比如说恶劣的环境、天气，但是，在这里我们假设一个理想的条件只有价格影响供给，忽略其他因素，来讨论供应与价格之间的关系.当然，我们不能忽略商品生产者对市场信息的了解，再到商品价格的制定和调节，它们之间可能存在时间滞后，假定供给是某一时期价格 的线性函数:
其中, 、 是大于零的常数, 可表示商品的边际供给量.
在传统蛛网模型，价格的函数一般表示为需求曲线，除了价格之外，忽略影响需求的其他因素，不考虑外部的影响，这些都表明了了市场商品价格的变化不全面，有着一定范围的局限性，实际上，我们为了反映商品价格的变化，必须要考虑到影响需求的一些外部因素。不妨设需求不仅和价格有关系，而且和价格的上涨率也有着关系，假设：需求与价格是负相关关系，也和价格上涨率是负相关关系.因而，建立的需求函数为：
其中, 、 是大于零的常数， 表示商品的边际需求量. 的大小反映了商品需求对价格上涨率的依赖程度.
过量需求是指需求量和供给量之间差值 ，这就表明，它是供小于求的部分.因此，供应者必须每时每刻都要分析商品信息和市场材料，来确定商品的价格 ，实际上, 不仅仅是商品的供给引起价格变化，而且需求的变化也会引起价格的变化, 价格的上涨率是与第 段时间商品过剩或者是需过剩求，它们之间存在着正相关关系, 即
所以有
其中， 为价格的调节系数, 反映价格依据需求过剩的变动，在调节时的调整的速度和幅度的度量参数.将 式、 式代入 式可得
摘要
本文首先简单介绍了蛛网模型，从经济角度上分析传统蛛网的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”、“封闭型蛛网”。然后分别在连续时间的条件下以微分方程的形式和在离散化时间条件下以差分方程的形式两种角度建立模型，对传统模型进行定量分析。最后，本文为了克服传统蛛网模型存在的问题，对传统意义上的蛛网模型进行改进，从现实生活的实际出发，建立更加符合现实生活和经济的蛛网模型。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:蛛网模型差分方程稳定性非线性
目录
1 绪论1
1.1课题背景1
1.2预备知识1
1.2.1差分方程的简介1
2 模型假设及符号说明3
2.1模型假设3
2.2符号说明4
3 蛛网模型在西方经济学中的定性分析4
4 蛛网模型的建立和求解7
4.1连续时间条件下的蛛网模型7
4.2离散时间条件下的蛛网模型10
4.2.1蛛网模型的线性分析10
4.2.2蛛网模型的非线性分析-12
5 模型的解释和分析14
5.1 蛛网模型的线性分析(离散时间)14
5.2蛛网模型的非线性分析(离散时间)15
6 模型的推广16
7经济不稳定时的干预办法17
8 结束语18
参考文献19
致谢20
1 绪论
1.1背景
在自由贸易市场上,存在着这样一个现象：某一个时期的消费品，比如土豆的上市量，它远大于实际上消费者的需求量，但是，由于实际上的市场不景气和一些因素的干扰，导致土豆的价格下降，生产者发现种土豆可能会赔钱或者没有什么利润可赚，于是，他想到转而经营其他农副产品。过段时间土豆的价格上涨，是因为市场的需求供应不上消费需求，生产者注意到有利可图，从而，他会再次种土豆，那么，在下一个时期的时候，土豆就会出现供大于求、价格下降的局面。一般而言，在没有外界的因素制约下，这种价格和产量的上涨下降的现象会一直持续下去。
市场经济中的商品的价格，一般是由消费者的实际生活来决定的，但是在下一期的时候，商品的数量又是由生产经营者所决定的。也是因为这种消费者的需求和生产者的供应，从抽象上，这种连续波动关系产生了蛛网模型。
蛛网模型在一定的范围内揭示了市场规律，可以对现实实践有着一些指导作用 。它告诉企业在生产过程中，不能因为商品的价格高，就因此盲目生产，也不能因为商品的价格低，就缩减生产规模而是要认真的调查，分析市场走向，研究商品的数量和价格的潜在联系，冷静并把握产品数量和价格内在规律，最终使市场和产品趋于稳定。
许多商品的商品的价格、商品的数量会随时间的变化而变化。1930美国舒尔茨，荷兰的丁伯根和意大利的里奇独立地提出了用图形表示，由于连续变量是一个蜘蛛网的价格和产量的1934，英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论称为蛛网理论。根据消费者对商品的需求函数和生产者对商品的供给函数之间的不同关系，蛛网分为三类：收敛型蛛网，发散型蛛网，封闭型蛛网。(相关资料见[1] [7])
目前，关于蛛网模型的研究，多数都是对传统的蛛网模型实际应用研究。比如，王楠[8]等人从经济方面对蛛网膜模型进行了定义，一些分类还进行了数学方面的解析，用差分方程的方法建模，讨论它的稳定条件，然后对一些实际问题进行分析。鲁晓旭[9]等人对柑橘类产量与其市场价格，运用了传统的蛛网模型进行分析。另外，马宁[10]对传统的蛛网进行了推广，在取一次的基础上，提出了取2次的平均值进而考察蛛网模型的稳定条件。
1.2预备知识
1.2.1差分方程的简介
主要介绍差分方程稳定性的知识。
差分方程的平衡点及其稳定性的概念与微分方程的有关概念是一致的，例如一阶线性常系数差分方程
的平衡点由 解得 。当 时，若 则 是稳定的，否则是不稳定的。容易看出，可以用变量代换方法将方程 的平衡点稳定性问题转换为
的平衡点 的稳定性问题。而对于方程 ，因为其解显然可表为
所以立即可知当且仅当
时方程 的平衡点（从而方程 的平衡点）才是稳定的。
顺便指出，对于 维向量 和 常数矩阵 构成的方程组
其平衡点稳定的条件是 的特征根 均有
即均在复平面上的单位圆内。这个结果可由将 化为对角阵得到。
对于二阶线性常系数差分方程，我们考查
的平衡点 的稳定性。为求方程 的通解，写出它的特征方程 ，记这个一元二次代数方程的根为 ，不难验证， 的通解可表示为
其中常数 是由初始条件 确定。由 立即得到，当且仅当特征值 满足
时方程 的平衡点才是稳定的。
与一阶线性方程一样，非齐次方程
的平衡点的稳定性和方程 相同。
二阶方程的上述结果可以推广到 阶线性方程，即稳定平衡点的条件是特征根--- 次代数方程的根 均有 。考虑到高阶方程和方程组的相互转化，这个条件与 给出的结论是完全一致的。
最后讨论一阶非线性差分方程
的平衡点的稳定性。其平衡点 由代数方程 解出。为分析 的稳定性，将方程 的右端在 点作为 展开，只取一次项， 近似为
是 的近似线性方程， 也是 的平衡点。关于线性方程 的稳定平衡点的讨论已由 给出，而当 时方程 与 平衡点的稳定性相同。于是得到当
(13)
时，对于非线性方程 , 是稳定的；当
(14)
时，对于方程 ， 是不稳定的。
2 模型假设及符号说明
2.1模型假设
假设一：商品的本期产量可由前一阶段的价格而定
假设二：商品本期的需求量可由本期的价格而定
假设三：不考虑储存
2.2符号说明
t时刻的价格
t时刻的数量
t时刻的需求量
t时刻的供给量
3 蛛网模型在西方经济学中的定性分析
蛛网模型考察的是生产周期较长的商品。蛛网模型是一个动态模型，它根据供求曲线的弹性分析了商品的价格和产量波动的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”。
第一类：如图3-1所示，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线。由于其他一些因素的干扰，实际上的商品量由平均水平 减少为 。由需求曲线知，购买者想以价格 购置生产者的所有商品 ，则货物的实际价格是 .生产者会参考第一期的商品价格 ，生产经营者会将第二阶段的商品量增加到 ；在第二阶段，生产者出售的所有商品 ，同意消费者支付的价格 ，则商品价格会将降到 。从第二阶段的价格,在第三阶段，生产商将商品产量减少到 ；在第三阶段，消费者想要买所有的商品 付出 的价格,则商品的价格变成了 。根据第三阶段，生产者将第四阶段的商品产量提高到为 。
图3-1 收敛型蛛网
用类推的方法，如图3-1所示，价格和产出的波动在减少，将会返回到平衡点E的水平。则图3-1中均衡点E状态是平稳的。因此，由于其他因素，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态 时，体制中存在一些原因，能使价格和产量回到平衡状态。在图3-1中，产量与价格的变化就形成了类似蛛网一样的图形。
从图3-1中可以看到,只有当曲线斜率的绝对值大于曲线的斜率的供给函数和需求函数时,即供给函数较陡的需求函数曲线,得到蛛网稳定的结果,被称为“收敛型蛛网”。在这里,除第一期受到干扰外,其它期都不会受到外在因素的干扰,则前一个期的价格可以唯一确定下一个期的产量。从动态的逻辑顺序出发,生产者不会把供给量完全由上一期的价格来决定, 消费者也会消费生产者提供的商品量,另外，价格由盲目的生产者生产的商品总量决定。
第二种类型：如图3-2所示，相对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值大于需求函数的曲线斜率的绝对值。假定在第一个时期受到干扰，产量由平均水平 减少为 。从需求函数曲线，消费者用价格 购买的商品 ，则商品的价格变为 ，从第一阶段不低的价格 ，从供给的函数曲线，生产者把第二阶段的商品量提高为 ；在第二阶段，生产者出售所有的商品 ，消费者用这样的价格 来购买，则真正的商品价格变为了 。按照第二期的价格 ,生产者将第三期的商品量调整为 ；在第三阶段，消费者用 的价格购置所有的商品 ,则实际的价格变为 ；根据第三阶段的较低的价格 ，生产者将第四阶段要生产的数量改成成 。
图3-2 发散型蛛网
依此类推，如图3-2所示，实际的价格和实际的商品量的振幅越来越大，最后离开均衡点E所表示的水平。由此可见，图3-2中均衡点E所表示的平衡状态是不稳定的。
从图3-2可看出，相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果。供应曲线的关系导致了市场经济不稳定，当市场受到了外界因素的干扰，比如某个资本独大等等，即而它偏离原有的均衡状态，商品的价格和商品的数量在平衡状态的周围不断的上下波动，但是它的振度变得越来越大，与原来的均衡点相比，变得愈来愈远了。那么它对应的蛛网称为“发散型蛛网”。
第三种类型：如图3-3所示,对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值等于需求函数的曲线斜率的绝对值时。市场受到外界因素干扰，离开原有的均衡点后，如图所示，但是由于供给和需求函数的斜率绝对值相等，会表现为商品的价格和数量按照同一个振幅在均衡点附近上下波动，不会离开均衡点，也不会靠近均衡点。这样的蛛网被称为“封闭型蛛网”。
图3-3 封闭型蛛网
对于图3-3中,不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似。从图3-3可看出，当相对于价格轴，供给函数的曲线斜率的绝对值等于需求函数的曲线斜率的绝对值时，即对于价格轴来说，供求曲线具有同样的陡峭程度与平缓程度时，蛛网以相同的振幅上下波动，相应的蛛网被称为“封闭型蛛网”。
三种蛛网模型的特点：
1. 收敛型 需求弹性大于供给弹性
2. 发散型 需求弹性小于供给弹性
3. 封闭型 需求弹性等于供给弹性
4 蛛网模型的建立和求解
4.1连续时间条件下的蛛网模型
在连续的时间条件下，我们用微分方程来建立时间连续的蛛网模型，对蛛网模型的稳定性和此模型的结果进行经济分析和解释。传统的蛛网模型是一个基于单一商品市场比如土豆，假设在时间连续的条件下，而土豆的价格、土豆的数量会随着时间不断变化而变化的。
设某商品价格是时间 的函数 ，供给量 由供给函数 决定,记做 .供应不单单由商品的价格决定的,还有可能会被其他外界因素干扰，比如说恶劣的环境、天气，但是，在这里我们假设一个理想的条件只有价格影响供给，忽略其他因素，来讨论供应与价格之间的关系.当然，我们不能忽略商品生产者对市场信息的了解，再到商品价格的制定和调节，它们之间可能存在时间滞后，假定供给是某一时期价格 的线性函数:
其中, 、 是大于零的常数, 可表示商品的边际供给量.
在传统蛛网模型，价格的函数一般表示为需求曲线，除了价格之外，忽略影响需求的其他因素，不考虑外部的影响，这些都表明了了市场商品价格的变化不全面，有着一定范围的局限性，实际上，我们为了反映商品价格的变化，必须要考虑到影响需求的一些外部因素。不妨设需求不仅和价格有关系，而且和价格的上涨率也有着关系，假设：需求与价格是负相关关系，也和价格上涨率是负相关关系.因而，建立的需求函数为：
其中, 、 是大于零的常数， 表示商品的边际需求量. 的大小反映了商品需求对价格上涨率的依赖程度.
过量需求是指需求量和供给量之间差值 ，这就表明，它是供小于求的部分.因此，供应者必须每时每刻都要分析商品信息和市场材料，来确定商品的价格 ，实际上, 不仅仅是商品的供给引起价格变化，而且需求的变化也会引起价格的变化, 价格的上涨率是与第 段时间商品过剩或者是需过剩求，它们之间存在着正相关关系, 即
所以有
其中， 为价格的调节系数, 反映价格依据需求过剩的变动，在调节时的调整的速度和幅度的度量参数.将 式、 式代入 式可得
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