电磁场有限差分法的研究与matlab实现(附件)【字数：8883】
摘 要有限差分法是一种常用的电磁场数值分析的计算方法，其实质就是将电磁场连续域的问题变换成离散问题，将各离散点的差商近似该点的（偏）导数，从而将微分方程转化为代数方程组，借助计算机的强大运算功能编程求出数值解。MATLAB软件在使用有限差分法研究电磁场数值计算问题中发挥着重要的作用，它能够有效迅速并且准确地解决问题，是解决二维场域计算相对复杂问题的有效工具。本文主要研究有限差分法的实质，并运用它来求解拉普拉斯方程。之后使用MATLAB来编程，求出数值解并作图显示出研究结果。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 课题研究背景 1
1.2 研究意义与目的 1
第二章 设计原理 2
2.1 电磁场 2
2.2 电磁场问题计算方法 2
2.3 迭代法 10
2.4 MATLAB 13
第三章 设计结果 21
3.1 简单迭代法 21
3.2 高斯赛德尔迭代法 25
3.3 超松弛迭代法 26
分析和总结 27
致谢 28
参考文献 29
附录A 简单迭代法程序1 30
附录B 简单迭代法程序2 32
附录C 高斯赛德尔迭代法程序 33
附录D 超松弛法程序 34
第一章 绪论
1.1 课题研究背景
电磁场理论是专门研究电磁场中各个物理量间的关系，还有空间分布和时间变化相关的理论,是人类探索大自然的宝贵智慧结晶。人们发现并探索熟知电磁场规律的道路漫长而又曲折。1864年麦克斯韦用数学方式来成功表现了电磁场,揭晓了电场与磁场可以进行互相转换的重大发现。从这之后,他建立起了完整的电磁理论体系,第二次工业革命奠定了理论基础（第二次工业革命是以电力为中心）。
一个世纪以来,在电磁学理论上发展出来的现代电子技术已经被广泛应用于农业、工业、国防、医疗以及新型的服务业中,对世界经济、政治和文化的发展产生了极其深远的影响。
1.2 研究意义与目的
在电磁系统中,对于电场和磁场的计算是非常必 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
要的。可以从系统所涉及的数学公式来入手。例如在静态或低频运行前提下,可以使用泊松方程和拉普拉斯方程;在高频条件下,则需要在时域或频域内求解描述电磁场波动特征的一组偏微分方程,使其能够满足边界条件下的所有解。
通过此次对电磁场有限差分法的研究和在MATLAB内实现程序,加深我了对有限差分法与的理解。
有限差分法是一种常用的电磁场数值分析的计算方法,其实质就是将电磁场连续域的问题变换成离散问题,把每个节点处的偏导数使用差商来近似计算,然后就将微分方程转化成了代数方程组,最后再借助计算机的强大运算功能编程求出数值解。
第二章 设计原理
2.1 电磁场
定义：在电磁学理论中，电磁场（electromagnetic field）本质是物理场，由带正电或着是带带负电的物体产生的。当有物体处在电磁场中时，电磁场的作用力会作用在这个物体之上。电磁场是具有深层次关系的电场和磁场的统称。磁场由随着时间改变的电场产生，随着时间发生变化的磁场产生电场，两者相互统一起来，就形成了电磁场。
2.2 电磁场问题计算方法
电磁场的问题计算方法一般会分成两个大类别：①解析法；②数值法。使用解析法来求解问题时，一般在问题条件是具有规则形状的几何（比如正多边形、圆形等），或是边界条件非常简单的问题。若是处于边界条件比较复杂的情况下，我们则会使用数值法来求解电磁场问题，以期获得精确度非常高的数值解。
⑴解析法
解析法作为一种经典的数学方法，在电磁场中占据着极为重要的地位。解析法的步骤是：搭建偏微分方程、积分方程；求解偏微分方程、积分商城。
其主要优点有：①将待解决问题变换成常识已经知道的显示函数变量；②计算出来的数值结果较为精确；③在解析计算过程中可以很明显的看到各变量、参数对求解出的结果的影响。
所有硬币都有两个面。同样的，解析法也具有许多缺点。如：①解决问题的范围较为狭隘，受边界条件限制过多；②在很多实际情况中，解析法的计算过程非常繁琐与困难。
⑵数值法
数值法作为一种较新兴的电磁场问题计算方法，因为其很大程度上是借用了计算机的强大计算功能，相对于古老的解析法，数值法以其显著的优点向解析法发起了挑战：①受电磁场边界条件限制很小；②可以借助计算机直接输入程序进行计算，这样计算出来的结果精确度非常高；③解放了用户的大脑，用户不需要具备非常资深、渊博的电磁场知识就能够直接借助程序来解决问题。
数值法一般是把原问题转化为求解差分方程。我们一般用到的数值法是有限差分法（FDM）和有限单元法（FEM）。
数值法同样拥有者缺点。主要是：①一段程序所含有的数据输入量过大，很容易使用户疲惫；②会受到计算机硬件或是软件相关的制约。
不管分析法与数值法都拥有着怎样的缺点，它们对人类社会文明的进步与发展是不可或缺的。如果没有它们，也许就没有我们现在如此幸福的现代化社会。
2.2.1 有限差分法
有限差分法（finite difference method）简称差分法，属于数值法。它初次被提出是在19世纪后期。电磁场的诸多数值计算方法中，是最早使用的。有限差分法具有简洁清晰、清晰直观、方法简单的优点。
有限差分法以差分原理作为基础理论，它的基本思想是：首先，把等待求解的电磁场区域，分割成许多网格，这些网格由一些节点构成。先在网格上定义好离散函数，然后把离散函数来向持续变量函数近似；微商用差商近似；，积分和对积分进行近似。所以，差分方程组就被原微分方程和确定数值解条件来近似，对最终的方程组进行计算就可以得到原定解区域在节点上的近似解。在使用有限差分法方法求解偏微分方程的时候，把问题的重心转移成从求解偏微分方程转换成求解代数方程，这也就是有限差分法的基本思想。
有限差分法求解偏微分方程的过程如下：①把区域离散化，也就是把原求解区域分离成许多个节点组成的网格；②近似替代，使用有限差分公式替换掉所有节点的导数；③近似求解。应用一个插值多项式或是微分方程来替换、近似偏微分方程的数值解的步骤。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 课题研究背景 1
1.2 研究意义与目的 1
第二章 设计原理 2
2.1 电磁场 2
2.2 电磁场问题计算方法 2
2.3 迭代法 10
2.4 MATLAB 13
第三章 设计结果 21
3.1 简单迭代法 21
3.2 高斯赛德尔迭代法 25
3.3 超松弛迭代法 26
分析和总结 27
致谢 28
参考文献 29
附录A 简单迭代法程序1 30
附录B 简单迭代法程序2 32
附录C 高斯赛德尔迭代法程序 33
附录D 超松弛法程序 34
第一章 绪论
1.1 课题研究背景
电磁场理论是专门研究电磁场中各个物理量间的关系，还有空间分布和时间变化相关的理论,是人类探索大自然的宝贵智慧结晶。人们发现并探索熟知电磁场规律的道路漫长而又曲折。1864年麦克斯韦用数学方式来成功表现了电磁场,揭晓了电场与磁场可以进行互相转换的重大发现。从这之后,他建立起了完整的电磁理论体系,第二次工业革命奠定了理论基础（第二次工业革命是以电力为中心）。
一个世纪以来,在电磁学理论上发展出来的现代电子技术已经被广泛应用于农业、工业、国防、医疗以及新型的服务业中,对世界经济、政治和文化的发展产生了极其深远的影响。
1.2 研究意义与目的
在电磁系统中,对于电场和磁场的计算是非常必 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
要的。可以从系统所涉及的数学公式来入手。例如在静态或低频运行前提下,可以使用泊松方程和拉普拉斯方程;在高频条件下,则需要在时域或频域内求解描述电磁场波动特征的一组偏微分方程,使其能够满足边界条件下的所有解。
通过此次对电磁场有限差分法的研究和在MATLAB内实现程序,加深我了对有限差分法与的理解。
有限差分法是一种常用的电磁场数值分析的计算方法,其实质就是将电磁场连续域的问题变换成离散问题,把每个节点处的偏导数使用差商来近似计算,然后就将微分方程转化成了代数方程组,最后再借助计算机的强大运算功能编程求出数值解。
第二章 设计原理
2.1 电磁场
定义：在电磁学理论中，电磁场（electromagnetic field）本质是物理场，由带正电或着是带带负电的物体产生的。当有物体处在电磁场中时，电磁场的作用力会作用在这个物体之上。电磁场是具有深层次关系的电场和磁场的统称。磁场由随着时间改变的电场产生，随着时间发生变化的磁场产生电场，两者相互统一起来，就形成了电磁场。
2.2 电磁场问题计算方法
电磁场的问题计算方法一般会分成两个大类别：①解析法；②数值法。使用解析法来求解问题时，一般在问题条件是具有规则形状的几何（比如正多边形、圆形等），或是边界条件非常简单的问题。若是处于边界条件比较复杂的情况下，我们则会使用数值法来求解电磁场问题，以期获得精确度非常高的数值解。
⑴解析法
解析法作为一种经典的数学方法，在电磁场中占据着极为重要的地位。解析法的步骤是：搭建偏微分方程、积分方程；求解偏微分方程、积分商城。
其主要优点有：①将待解决问题变换成常识已经知道的显示函数变量；②计算出来的数值结果较为精确；③在解析计算过程中可以很明显的看到各变量、参数对求解出的结果的影响。
所有硬币都有两个面。同样的，解析法也具有许多缺点。如：①解决问题的范围较为狭隘，受边界条件限制过多；②在很多实际情况中，解析法的计算过程非常繁琐与困难。
⑵数值法
数值法作为一种较新兴的电磁场问题计算方法，因为其很大程度上是借用了计算机的强大计算功能，相对于古老的解析法，数值法以其显著的优点向解析法发起了挑战：①受电磁场边界条件限制很小；②可以借助计算机直接输入程序进行计算，这样计算出来的结果精确度非常高；③解放了用户的大脑，用户不需要具备非常资深、渊博的电磁场知识就能够直接借助程序来解决问题。
数值法一般是把原问题转化为求解差分方程。我们一般用到的数值法是有限差分法（FDM）和有限单元法（FEM）。
数值法同样拥有者缺点。主要是：①一段程序所含有的数据输入量过大，很容易使用户疲惫；②会受到计算机硬件或是软件相关的制约。
不管分析法与数值法都拥有着怎样的缺点，它们对人类社会文明的进步与发展是不可或缺的。如果没有它们，也许就没有我们现在如此幸福的现代化社会。
2.2.1 有限差分法
有限差分法（finite difference method）简称差分法，属于数值法。它初次被提出是在19世纪后期。电磁场的诸多数值计算方法中，是最早使用的。有限差分法具有简洁清晰、清晰直观、方法简单的优点。
有限差分法以差分原理作为基础理论，它的基本思想是：首先，把等待求解的电磁场区域，分割成许多网格，这些网格由一些节点构成。先在网格上定义好离散函数，然后把离散函数来向持续变量函数近似；微商用差商近似；，积分和对积分进行近似。所以，差分方程组就被原微分方程和确定数值解条件来近似，对最终的方程组进行计算就可以得到原定解区域在节点上的近似解。在使用有限差分法方法求解偏微分方程的时候，把问题的重心转移成从求解偏微分方程转换成求解代数方程，这也就是有限差分法的基本思想。
有限差分法求解偏微分方程的过程如下：①把区域离散化，也就是把原求解区域分离成许多个节点组成的网格；②近似替代，使用有限差分公式替换掉所有节点的导数；③近似求解。应用一个插值多项式或是微分方程来替换、近似偏微分方程的数值解的步骤。
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