小波分析的初步研究
摘 要 傅立叶变换在信号处理中已有广泛的应用，但对时域上局部瞬变信号的处理就显得力不从心。窗口傅立叶 变换引入窗函数，对感兴趣的时段进行频谱分析，从而回避了傅立叶变换的不足。但处理高频信号需要用 窄时窗，处理低频信号需要宽时窗，而窗口傅立叶变换固定不变的时窗，无法满足这一要求。小波变换作为傅立叶变换的升级提出多尺度分析的理念，由粗到细逐步观测信号，在局部时频分析中提供很大的灵活性，能随信号的频率自动地调整“时窗”和“频窗”。本文以小波分析发展的历史为主线，详细分析发展每步历程中的性质和优缺点，最终引入多分辨分析的概念，并借助MATLAB程序作图说明。本文旨在理出分析的思路，尽量少地涉及复杂公式推导，可做小波分析的入门的介绍。
目 录
第一章 傅里叶分析5
1.1 函数空间5
1.2 傅里叶的矢量分解5
1.3 博里叶变换的性质5
1.4 离散傅里叶变换12
第二章 窗口傅里叶变换13
2.1 时频分析13
2.2 加窗时频分析13
2.3 窗口傅里叶变换的基本思想13
2.4 离散化的窗口傅里叶变换14
2.5 基于MATLAB的窗口傅里叶变换16
小波变换18
3.1 连续小波变换18
3.2 离散小波变换18
3.3 二进小波18
3.4 正交小波和正交小波变换20
第四章 多分辨率分析与正交小波24
结束语25
致谢26
参考文献27
附录一28
附录二30
第一章 傅里叶分析
1.1函数空间
经典分析学通常把问题简单化或者零散化对待函数也如此。即使有时把个别符合要求的函数类作为研究对象，但是又没有把其归类到几何中。而现代分析学的处理方法一般主要是视为拓展空间或者测量空间同时又凭问题的关键来表现其函数关系→1、满足条件，比如其连续性、局限性，测量值，可微性，积累性等；从几何学、拓扑方面、代数等三门文学类来看，首先对加法和
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
数量相乘实现封闭性，加法为:∈ ， ∈ → + ∈ ，( + )( )= ( )+ ( )，对 ∈ ；数量乘法为： ∈ ，λ∈ A→ ∈ ，( )( )= ( )，对 ∈（对一般函数的线性运算封闭）；另外使其为拓扑空间，二者又要同时特定的要求，（比如?线性运算关于拓扑是连续的等）。如此说来，函数空间 在一般意义上来说也是拓扑线性空间。经典分析学做出了很多对函数空间有不小的意义的研究。现在在某些函数空间的理论中已取得相当可观的成就。
1.2傅里叶的矢量分解
初中的平面几何是建立在几个公理基础之上的，平面几何图形与数是分离的。这一现象延续直到法国哲学家笛卡尔创立解析几何学，将坐标系引入就几何问题。坐标系的引入使几何与数紧密联系起来。平面的任意一点P可以用两个数(x, y)来表示，如图
(x, y)被称为P的坐标，这两个数可以看作一个从原点O出发，终止于的点P的矢量OP分别在X轴和Y轴上的投影，记作x = (OP, i)，y = (OP, j)，其中i和j分别是X方向和Y方向的单位矢量，或称为平面的一组基矢量。换言之，矢量OP可以“分解”为X方向和Y方向的两个矢量的和，即OP = x*i + y *j。坐标才系的引入使得很多以往只有大数学家才能处理的问题，现在用解析几何的方法很容易解决了。
这种“分解”概念在几何学方面取得了巨大的成功，引发人们联想，是否能将一个函数“分解”为一组函数的线性组合？法国数学家傅里叶在这方面取得了成功，他发现满足狄氏条件的周期函数可以用三角函数sin(x)和cos(x)（基函数）通过线性组合表示，而组合系数，即每个基函数的权重为该函数在这个基函数上的“投影”来决定。
处理解析几何问题时我们发现解决问题的难易程度和坐标系的选取很有关系，平面解析几何中，除了传统的直角坐标系之外，还有极坐标系可供选择。人们联想到在函数分解时，选取适当的一组基函数可以让问题变得简单。拉普拉斯变换就是在傅里叶变换的基础上，对基函数进行修改而实现的。
如果对于音乐或语音这类频谱随时间改变的信号，傅里叶变换无法提供给我们不同的频率成分在什么时间出现的信息，这样“时频分析”就被提出来，实现“时频分析”就要用窗口傅里叶变换。
窗口傅里叶变换的时窗频窗是固定不变的，而经验告诉我们，在研究高频信号时，时窗应开得小，而处理低频信号时，时窗要开得大些。小时窗为了观察细节，大时窗为了观察概貌。这一矛盾在引入小波分析的多尺度分析后得到解决。多尺度分析的基本思想就是对一个信号的研究按照由粗到细的过程逐步分析，先把握信号的全局（粗），再研究信号的细节（细）。换言之，就是将函数空间（一般是能量有限的，即L2）分解，然后将信号不断地向各个L2的子空间投影实现的。
1.3傅里叶变换的性质
1.3.1线性
傅里叶变换是一种线性运算。
若
f1（t?)F1(jω) f2(t)?F2(jω)
则
af1(t)+bf2(t)?aF1(jω)+bF2(jω) (11)
在（11）中可以看出，a和b都是常数项，我们可以通过傅里叶变换的定义来证明。
例36 求阶跃信号的频谱函数。
解因
由式可得
1.3.2对称性
若
证明 因为
有
如果将上述过程中变量用x表示，结果保持不变，如下
再将t用代之，上述关系依然成立，即
最后再将x用t代替，则得
所以
证毕
若是一个偶函数，即，相应有，则成为
可知，傅里叶变换之间存在对称关系，意思是信号和频谱函数的波形之间可以相互转换，幅度比为2π。上述中的ω的含义为频谱函数必须正负相反。例如：
例 若信号的傅里叶变换为
试求。
解 将中的换成t，并考虑为的实函数，有
该信号的傅里叶变换由式(354)可知为
根据对称性
故
再将中的换成t，则得
为抽样函数，其波形和频谱如图所示。
1.3.3折叠性
若
目 录
第一章 傅里叶分析5
1.1 函数空间5
1.2 傅里叶的矢量分解5
1.3 博里叶变换的性质5
1.4 离散傅里叶变换12
第二章 窗口傅里叶变换13
2.1 时频分析13
2.2 加窗时频分析13
2.3 窗口傅里叶变换的基本思想13
2.4 离散化的窗口傅里叶变换14
2.5 基于MATLAB的窗口傅里叶变换16
小波变换18
3.1 连续小波变换18
3.2 离散小波变换18
3.3 二进小波18
3.4 正交小波和正交小波变换20
第四章 多分辨率分析与正交小波24
结束语25
致谢26
参考文献27
附录一28
附录二30
第一章 傅里叶分析
1.1函数空间
经典分析学通常把问题简单化或者零散化对待函数也如此。即使有时把个别符合要求的函数类作为研究对象，但是又没有把其归类到几何中。而现代分析学的处理方法一般主要是视为拓展空间或者测量空间同时又凭问题的关键来表现其函数关系→1、满足条件，比如其连续性、局限性，测量值，可微性，积累性等；从几何学、拓扑方面、代数等三门文学类来看，首先对加法和
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
数量相乘实现封闭性，加法为:∈ ， ∈ → + ∈ ，( + )( )= ( )+ ( )，对 ∈ ；数量乘法为： ∈ ，λ∈ A→ ∈ ，( )( )= ( )，对 ∈（对一般函数的线性运算封闭）；另外使其为拓扑空间，二者又要同时特定的要求，（比如?线性运算关于拓扑是连续的等）。如此说来，函数空间 在一般意义上来说也是拓扑线性空间。经典分析学做出了很多对函数空间有不小的意义的研究。现在在某些函数空间的理论中已取得相当可观的成就。
1.2傅里叶的矢量分解
初中的平面几何是建立在几个公理基础之上的，平面几何图形与数是分离的。这一现象延续直到法国哲学家笛卡尔创立解析几何学，将坐标系引入就几何问题。坐标系的引入使几何与数紧密联系起来。平面的任意一点P可以用两个数(x, y)来表示，如图
(x, y)被称为P的坐标，这两个数可以看作一个从原点O出发，终止于的点P的矢量OP分别在X轴和Y轴上的投影，记作x = (OP, i)，y = (OP, j)，其中i和j分别是X方向和Y方向的单位矢量，或称为平面的一组基矢量。换言之，矢量OP可以“分解”为X方向和Y方向的两个矢量的和，即OP = x*i + y *j。坐标才系的引入使得很多以往只有大数学家才能处理的问题，现在用解析几何的方法很容易解决了。
这种“分解”概念在几何学方面取得了巨大的成功，引发人们联想，是否能将一个函数“分解”为一组函数的线性组合？法国数学家傅里叶在这方面取得了成功，他发现满足狄氏条件的周期函数可以用三角函数sin(x)和cos(x)（基函数）通过线性组合表示，而组合系数，即每个基函数的权重为该函数在这个基函数上的“投影”来决定。
处理解析几何问题时我们发现解决问题的难易程度和坐标系的选取很有关系，平面解析几何中，除了传统的直角坐标系之外，还有极坐标系可供选择。人们联想到在函数分解时，选取适当的一组基函数可以让问题变得简单。拉普拉斯变换就是在傅里叶变换的基础上，对基函数进行修改而实现的。
如果对于音乐或语音这类频谱随时间改变的信号，傅里叶变换无法提供给我们不同的频率成分在什么时间出现的信息，这样“时频分析”就被提出来，实现“时频分析”就要用窗口傅里叶变换。
窗口傅里叶变换的时窗频窗是固定不变的，而经验告诉我们，在研究高频信号时，时窗应开得小，而处理低频信号时，时窗要开得大些。小时窗为了观察细节，大时窗为了观察概貌。这一矛盾在引入小波分析的多尺度分析后得到解决。多尺度分析的基本思想就是对一个信号的研究按照由粗到细的过程逐步分析，先把握信号的全局（粗），再研究信号的细节（细）。换言之，就是将函数空间（一般是能量有限的，即L2）分解，然后将信号不断地向各个L2的子空间投影实现的。
1.3傅里叶变换的性质
1.3.1线性
傅里叶变换是一种线性运算。
若
f1（t?)F1(jω) f2(t)?F2(jω)
则
af1(t)+bf2(t)?aF1(jω)+bF2(jω) (11)
在（11）中可以看出，a和b都是常数项，我们可以通过傅里叶变换的定义来证明。
例36 求阶跃信号的频谱函数。
解因
由式可得
1.3.2对称性
若
证明 因为
有
如果将上述过程中变量用x表示，结果保持不变，如下
再将t用代之，上述关系依然成立，即
最后再将x用t代替，则得
所以
证毕
若是一个偶函数，即，相应有，则成为
可知，傅里叶变换之间存在对称关系，意思是信号和频谱函数的波形之间可以相互转换，幅度比为2π。上述中的ω的含义为频谱函数必须正负相反。例如：
例 若信号的傅里叶变换为
试求。
解 将中的换成t，并考虑为的实函数，有
该信号的傅里叶变换由式(354)可知为
根据对称性
故
再将中的换成t，则得
为抽样函数，其波形和频谱如图所示。
1.3.3折叠性
若
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