四阶常微分方程的数值解
IV阶常微分方程的数值解
摘要
在本文中,我们利用有限差分法导出了求阶数为O()和O()的IV阶常微分方程数值解的数值方法.阶数为O()的方法最早由Usmani和Marsden[VI]导出.证明了IV阶方法的收敛性.通过计算两个例子,以显示我们的方法的优越性.
I..引言
考虑边值问题
(I.)
满足条件
(II)
这个微分方程的I.种特殊情况是加载矩形板支持在整个弹性地基的表面并严格沿着边缘[V,p.III0]产生的弯曲问题.这种类型的问题通常发生在板弯曲理论.解析解(I.)-(II)不能找到所有的f(x)和g(x).因此在这种情况下我们必须利用数值方法,得到I.个近似的解决方案,确保所需的精度.其中I.个方法是y的近似值都在集合内的有限差分.这种类型的常微分方程的解已经被许多作者(II.III.VII)求出.最近Usmani和Marsden[VI]设计了I.个差分方式,给出了(I.)-(II)两个问题的解决方案.
在本文中,我们已经提出了两个方法:IV阶VI阶算法;利用正交算法.我们来求解(I.)-(II)两个例子来说明这些方法求解的优势.
II.差分方式
我们把区间[a,b]分成,记做,近似的表示为y(x)在的值.
考虑恒等
(III)
通过I.次积分,右边II次积分的变换,(III)可以变成
(IV)
借助合适的权重函数w(u),[IV].[IV]右边积分可以变成
(V)
在区间-II<
因此我们看到,每个算法有I.个求积规则,同时公式(VI)的右边每组都有参数的选择.
i)如果我们选择,,对于所有i,我们得到了这个方案.
(VII *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
)
这是Usmani和Marsden开发的II阶方法[VI]
ii)如果,对于所有i,我们获得了唯I.的IV阶方案.
(VIII)
与截断误差,这个公式是唯I.的,因为任何涉及步点的公式可以最终将减少到(VIII),因为
(IX)
如果我们把,对于所有的i在公式[VI]中,我们得到的唯I.的VI阶方案
(I.0)
正如上文(ii),我们可以在这里指出.因为
(I.I.)
任何取决于步点的VI阶算法可以减少到(I.0),所以,(I.0)是VI阶算法取决于V个连续网格点唯I.的方法.
我们注意到系统(VIII)给我们N-III方程N-I.的未知数,i=I.(I.)N-I..从边界条件我们可以得到两个关系
(I.II)
和
(I.III)
因此,方程(I.II)(VIII)及(I.III)形成我们的IV阶方法.(I.0)是VI阶方法,系数矩阵A保留的带宽为V,我们令方程(I.II)和(I.III)分别为n=I.,n-I..这两个方程的截断误差是为了求.然而,数值结果表明,这种方法就像第VI阶的方法,因为的误差E将有I.个小的系数.
令从方程(I.)我们得到
(I.IV)
在和,如果我们从方程(I.IV)中的代入系统方程(I.II).(VIII)和(I.III)的矩阵形式可以写成
AY=R(I.V)
A的V阶矩阵
同时R是I.个列向量
现在i=I.(I.)N-I.可以很容易从已知的方程(I.V)利用算法[I.]来求解V对角线系统.同理,求解得到VI阶方程组.
III.方法的收敛性
我们现在证明IV阶的收敛方案.给出IV阶方法的误差方程
AE=T(I.VI)
其中E是误差向量和T是给予方程的截断误差向量
(I.VII)
其中
证明了方法的收敛性,我们需要表明,矩阵A是单调的.
令
同时然后和
(I.VIII)
其中.因为,,因此我们有和
根据Usmani和Marsden[VI],我们有
(I.IX)
因此,从D中获得由中替换.由格尔什戈林的定理,B的所有特征值都在圆内.很明显.因此
和
因此,
因此,(I.IX)将收敛
(II0)
矩阵P是单调的[III],因此也是单调的.现在,如果
(III.)
然后是I.个单调增的矩阵,因此,在M=I+I.个单调增的矩阵,也单调增.令,其中
否则
令和,我们由公式[VI]
我们发现()也是对称
和
代入和简化,我们得到
否则
因此
如果,从(III.)我们推断A单调
或者
(IIII)
因为.因此从(II0)和(IIII)推断,如果(IIIII)从(III.)我们推断A单调.
从方程(I.VIII),我们有.因为矩阵A和都是单调的,并且,它遵循从单调矩阵([III])的理论,所以(见[VI]).
(IIIV)
因此
通过IV个步骤,证明了该方法的收敛性.现在我们通过上面总结出下面的定理.
定理:令y(x)是(I.)-(II)边值问题的精确解和令:n=I(I.)N- *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
I.是系统(I.V)的确切的解决办法.如果由(I.VI)给出E和f(x)满足(IIIII),满足(IIIV),误差可以忽略.
IV.数值结果
我们使用IV阶和VI阶方法解决以下两个问题[VI].
i)
边界条件
确切的解决方案
ii)
y(0)=y(I.)=0和y"(0)=0,y"(I.)=-IVe
在这种情况下的精确解
表I.
在IV阶方程的解,m=II(I.)VII
IV阶方法VI阶方法II阶方法[VI]
变量常数变量常数变量常量
m系数系数系数系数系数系数
问题(ii)问题(i)问题(ii)问题(i)问题(ii)问题(i)
II0.I.IVVIX(-IV)0.IIIIX0VI(-VI)0.I.I.VIIV(-IV)0.IIII.I.0(-VI)0.VIII.VI0(-II)0.I.IIVIIIIX(-II)
III0.VIVVIIIVI(-VI)0.I.IVVIVI(-VII)0.I.IXI.III(-VI)0.V0VIIIII(-VIII)0.I.VIIIVIV(-II)0.IIIIII.V(-III)
IV0.IIVIIIIIIX(-VII)0.VIIVVIIX(-IX)0.IIII.I.VII(-VIII)0.VIIII.VIVII(-I.0)0.IVIIIIII0(-III)0.VIII0IIII.(-IV)
V0.I.VIVIII.(-VIII)0.IVIVVIIII(-I.0)0.IVIXVIIIIII(-I.0)0.I.III0II(-I.I.)0.I.0VIIII.(-III)0.II00VII(-IV)
VI0.I.0IIIX(-IX)0.IIVIIVV(-I.I.)0.VIIIXI.VIII(-I.II)0.III.IIIVI(-I.III)0.IIVII0III(-IV)0.V0I.VIII(-V)
VII0.VIIVVVIII(-I.I.)0.I.VIIIV0(-I.II)0.VIVVIIIVIII(-I.III)0.I.I.IVV(-I.III)0.VIVIIVVI(-V)-----
我们注意到(i)的解决方案是I.个偶函数,我们第I.个问题在区间[0,I.],步长.m=II(I.)VII和最大绝对误差的每种情况表I.中都有给出.(ii)中从x=0到x=I.相同的步长和最大绝对误差也记录在表I..以双精度执行计算.
从表中我们注意到,如所料,VI阶公式所产生的误差是小于IV阶公式中的误差.这两种方法所产生的结果都优于Usmani和Marsden[VI]的II阶方法.从表中进I.步验证,对减少h/II,h的步长最大绝对值误差大约减少了(IV阶方法)和(VI阶方法).
参考文献
[I.]S.D.Conte和CarldeBoor,基本数值分析,麦格劳希尔(I.IXVIIII).
[II]L.Fox,常微分方程两点边值问题的数值解,牛津大学出版社,伦敦(I.IXVVII).
[III]P.Henrici,离散变量在常微分方程方法,约翰威利,纽约(I.IXVIII).
[IV]F.B.Hildebrand,介绍数值分析,麦格劳希尔,纽约(I.IXVVI).
[V]S.Timoshenko和Woinowsky-Krieger,盘子和壳理论,麦格劳希尔,纽约(I.IXVIX).
[VI]R.A.Usmani和M.J.Marsden中板挠度理论,工程数学学报发生I.些常微分方程的数值解.卷IX(I.IXVIIV年)I.-I.0.
[VII]R.S.Varga,矩阵迭代分析,普伦蒂斯霍尔,恩格尔伍德悬崖,新泽西州(I.IXVIII).
摘要
在本文中,我们利用有限差分法导出了求阶数为O()和O()的IV阶常微分方程数值解的数值方法.阶数为O()的方法最早由Usmani和Marsden[VI]导出.证明了IV阶方法的收敛性.通过计算两个例子,以显示我们的方法的优越性.
I..引言
考虑边值问题
(I.)
满足条件
(II)
这个微分方程的I.种特殊情况是加载矩形板支持在整个弹性地基的表面并严格沿着边缘[V,p.III0]产生的弯曲问题.这种类型的问题通常发生在板弯曲理论.解析解(I.)-(II)不能找到所有的f(x)和g(x).因此在这种情况下我们必须利用数值方法,得到I.个近似的解决方案,确保所需的精度.其中I.个方法是y的近似值都在集合内的有限差分.这种类型的常微分方程的解已经被许多作者(II.III.VII)求出.最近Usmani和Marsden[VI]设计了I.个差分方式,给出了(I.)-(II)两个问题的解决方案.
在本文中,我们已经提出了两个方法:IV阶VI阶算法;利用正交算法.我们来求解(I.)-(II)两个例子来说明这些方法求解的优势.
II.差分方式
我们把区间[a,b]分成,记做,近似的表示为y(x)在的值.
考虑恒等
(III)
通过I.次积分,右边II次积分的变换,(III)可以变成
(IV)
借助合适的权重函数w(u),[IV].[IV]右边积分可以变成
(V)
在区间-II<
因此我们看到,每个算法有I.个求积规则,同时公式(VI)的右边每组都有参数的选择.
i)如果我们选择,,对于所有i,我们得到了这个方案.
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)
这是Usmani和Marsden开发的II阶方法[VI]
ii)如果,对于所有i,我们获得了唯I.的IV阶方案.
(VIII)
与截断误差,这个公式是唯I.的,因为任何涉及步点的公式可以最终将减少到(VIII),因为
(IX)
如果我们把,对于所有的i在公式[VI]中,我们得到的唯I.的VI阶方案
(I.0)
正如上文(ii),我们可以在这里指出.因为
(I.I.)
任何取决于步点的VI阶算法可以减少到(I.0),所以,(I.0)是VI阶算法取决于V个连续网格点唯I.的方法.
我们注意到系统(VIII)给我们N-III方程N-I.的未知数,i=I.(I.)N-I..从边界条件我们可以得到两个关系
(I.II)
和
(I.III)
因此,方程(I.II)(VIII)及(I.III)形成我们的IV阶方法.(I.0)是VI阶方法,系数矩阵A保留的带宽为V,我们令方程(I.II)和(I.III)分别为n=I.,n-I..这两个方程的截断误差是为了求.然而,数值结果表明,这种方法就像第VI阶的方法,因为的误差E将有I.个小的系数.
令从方程(I.)我们得到
(I.IV)
在和,如果我们从方程(I.IV)中的代入系统方程(I.II).(VIII)和(I.III)的矩阵形式可以写成
AY=R(I.V)
A的V阶矩阵
同时R是I.个列向量
现在i=I.(I.)N-I.可以很容易从已知的方程(I.V)利用算法[I.]来求解V对角线系统.同理,求解得到VI阶方程组.
III.方法的收敛性
我们现在证明IV阶的收敛方案.给出IV阶方法的误差方程
AE=T(I.VI)
其中E是误差向量和T是给予方程的截断误差向量
(I.VII)
其中
证明了方法的收敛性,我们需要表明,矩阵A是单调的.
令
同时然后和
(I.VIII)
其中.因为,,因此我们有和
根据Usmani和Marsden[VI],我们有
(I.IX)
因此,从D中获得由中替换.由格尔什戈林的定理,B的所有特征值都在圆内.很明显.因此
和
因此,
因此,(I.IX)将收敛
(II0)
矩阵P是单调的[III],因此也是单调的.现在,如果
(III.)
然后是I.个单调增的矩阵,因此,在M=I+I.个单调增的矩阵,也单调增.令,其中
否则
令和,我们由公式[VI]
我们发现()也是对称
和
代入和简化,我们得到
否则
因此
如果,从(III.)我们推断A单调
或者
(IIII)
因为.因此从(II0)和(IIII)推断,如果(IIIII)从(III.)我们推断A单调.
从方程(I.VIII),我们有.因为矩阵A和都是单调的,并且,它遵循从单调矩阵([III])的理论,所以(见[VI]).
(IIIV)
因此
通过IV个步骤,证明了该方法的收敛性.现在我们通过上面总结出下面的定理.
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I.是系统(I.V)的确切的解决办法.如果由(I.VI)给出E和f(x)满足(IIIII),满足(IIIV),误差可以忽略.
IV.数值结果
我们使用IV阶和VI阶方法解决以下两个问题[VI].
i)
边界条件
确切的解决方案
ii)
y(0)=y(I.)=0和y"(0)=0,y"(I.)=-IVe
在这种情况下的精确解
表I.
在IV阶方程的解,m=II(I.)VII
IV阶方法VI阶方法II阶方法[VI]
变量常数变量常数变量常量
m系数系数系数系数系数系数
问题(ii)问题(i)问题(ii)问题(i)问题(ii)问题(i)
II0.I.IVVIX(-IV)0.IIIIX0VI(-VI)0.I.I.VIIV(-IV)0.IIII.I.0(-VI)0.VIII.VI0(-II)0.I.IIVIIIIX(-II)
III0.VIVVIIIVI(-VI)0.I.IVVIVI(-VII)0.I.IXI.III(-VI)0.V0VIIIII(-VIII)0.I.VIIIVIV(-II)0.IIIIII.V(-III)
IV0.IIVIIIIIIX(-VII)0.VIIVVIIX(-IX)0.IIII.I.VII(-VIII)0.VIIII.VIVII(-I.0)0.IVIIIIII0(-III)0.VIII0IIII.(-IV)
V0.I.VIVIII.(-VIII)0.IVIVVIIII(-I.0)0.IVIXVIIIIII(-I.0)0.I.III0II(-I.I.)0.I.0VIIII.(-III)0.II00VII(-IV)
VI0.I.0IIIX(-IX)0.IIVIIVV(-I.I.)0.VIIIXI.VIII(-I.II)0.III.IIIVI(-I.III)0.IIVII0III(-IV)0.V0I.VIII(-V)
VII0.VIIVVVIII(-I.I.)0.I.VIIIV0(-I.II)0.VIVVIIIVIII(-I.III)0.I.I.IVV(-I.III)0.VIVIIVVI(-V)-----
我们注意到(i)的解决方案是I.个偶函数,我们第I.个问题在区间[0,I.],步长.m=II(I.)VII和最大绝对误差的每种情况表I.中都有给出.(ii)中从x=0到x=I.相同的步长和最大绝对误差也记录在表I..以双精度执行计算.
从表中我们注意到,如所料,VI阶公式所产生的误差是小于IV阶公式中的误差.这两种方法所产生的结果都优于Usmani和Marsden[VI]的II阶方法.从表中进I.步验证,对减少h/II,h的步长最大绝对值误差大约减少了(IV阶方法)和(VI阶方法).
参考文献
[I.]S.D.Conte和CarldeBoor,基本数值分析,麦格劳希尔(I.IXVIIII).
[II]L.Fox,常微分方程两点边值问题的数值解,牛津大学出版社,伦敦(I.IXVVII).
[III]P.Henrici,离散变量在常微分方程方法,约翰威利,纽约(I.IXVIII).
[IV]F.B.Hildebrand,介绍数值分析,麦格劳希尔,纽约(I.IXVVI).
[V]S.Timoshenko和Woinowsky-Krieger,盘子和壳理论,麦格劳希尔,纽约(I.IXVIX).
[VI]R.A.Usmani和M.J.Marsden中板挠度理论,工程数学学报发生I.些常微分方程的数值解.卷IX(I.IXVIIV年)I.-I.0.
[VII]R.S.Varga,矩阵迭代分析,普伦蒂斯霍尔,恩格尔伍德悬崖,新泽西州(I.IXVIII).
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