Fourier变换的时频小波表示
在信号分析的相关理论中，傅立叶变换(Fourier transform)是一种十分重要的分析工具，而用时频小波来表示傅立叶变换则是一种全新的概念。我们可以认为傅里叶变换其实是将一个信号用以复数形式表示的正余弦函数来表示的一种方法，该方法与我们熟知的时域表示方法不同，我们可以使用傅里叶变换在频率域上分析和解释一个信号。但是如果我们对信号在整个时间域中进行傅里叶分析，实际上并不能获得信号在局部某处随着时间变化的一些个别频率性。傅立叶变换的缺点在小波变换中能够得到很好的解决，该变换的局部化特征在时间域和频率域中都很显。
本文主要利用时频小波对傅里叶变换进行讨论与探索，特别是对一些非平稳信号的讨论与探索。本文主要介绍了傅立叶变换的一种新的表示方法——即用小波变换来表示，并且列举了一些基于Matlab平台的分析研究的计算机仿真与数值计算过程。 M000262
关键词：Fourier变换 小波变换 短时傅里叶变换
Fourier transform is a very significant signal analysis tool. Representing it in the frequency of the wavelet is a relatively new method of signal analysis. Fourier transform can be seen as a signal to be represented as cosine function and sine function. Using Fourier transform to analyze and interpret signals in the frequency domain. It is different to representing one signal in the time domain .But analyzing the signal by Fourier transform in the whole time domain cannot obtain the local frequency of the signal as change of time. The shortcoming of the Fourier transform has overcome greatly by wavelet transform. The wavelet transform both in time domain and frequency domain has good localization characteristics.
In this paper, we introduce the Fourier Transform Representation by Frequency-Time Wavelets, especially for non-stationary signal analysis. In this passage, we mainly introduced a method of representing Fourier transform by wavelets, and give some necessary computer simulation and numerical calculation based on Matlab.
Keywords: Fourier transform; short-time Fourier transform; wavelet transform.
本文基于傅立叶变换的性质，提出了一种新的变换——A小波变换，描述了用小波变换来表示傅里叶变换的一种新方法。A小波变换和传统连续小波变换的主要区别在于他们在时频平面内的几何轨迹不同。A小波变换定义在时频平面内特定的点集上，该变换使用了一个完全可扩展的调制窗口，但不是所有点都适用。推导出小波变换的频率时间点的几何轨迹，并给出了实例。我们认为当信号通过在其轨迹上定义的小波变换的唯一值可以恢复时，对于傅里叶变换来说这个轨迹是最好的。逆傅里叶变换也是由定义在时频平面内一些特殊点的小波变换表示的。A小波变换的概念可扩展为其他统一的变换（如，Hartly变换和余弦变换）。
第一章 绪论 查看完整请+Q:351916072获取
1.1Fourier变换的时频小波表示的研究背景
需要比较傅里叶分析和小波分析的情况我们在信号分析和图像处理过程中会经常遇到。小波分析技术十分成功的结合了纯数学理论，应用数学理论与工程技术应用等众多学科的知识。小波分析技术目前已经在语音和图像压缩、计算机应用、信号处理、医疗成像和生物医学等许多领域得到了成功运用。
傅里叶变换（Fourier transform）分析法是一种分析连续时间信号与系统和离散时间信号与系统的主要分析方法。一般情况下，傅立叶变换是比较适合用来研究确定性信号和平稳随机过程的。简而言之，傅里叶变换就是用一组基函数来表示某信号，这组基函数是以复数形式表示的余弦函数或正弦函数。然而，一个信号的傅里叶变换是一种没有时间分辨率的变换，它不能决定信号中正弦波形发生的时间，信号中某一部分的傅立叶变换与该信号的全局量有关。
傅里叶分析通常情况下包括分析非平稳信号时用于语音信号处理的短时傅立叶变换（也可以称为加窗傅里叶变换）。在这个修改后的傅立叶变换的版本中，信号被窗函数分成许多部分，在具体分析每一部分时都要用傅里叶变换。这个窗口是由一个覆盖整个时间域的时间轴通过一些特定步骤转换的。短时傅里叶变换对于所有的频率成分都使用一个单窗口，但是这个单窗口并不能决定当前频率的位置。
小波变换与短时傅里叶变换则不一样，在小波分析中，我们通常用一个完全可扩展的调制窗口来定位一些比较特别的频率点。随着该调制窗口的滑动，就可以计算出每个位置处的部分信号的小波变换。然后一个稍长或稍短的窗口用于计算的每一个新的阶段，这个窗口的规模变量与频率正好成反比。在小波分析中，使用的是可调时频窗，频率比较高时使用较窄的窗口，频率比较低时使用较宽的窗口，因此小波变换可以用不同的尺度表示信号。与此同时我们可以看出小波变换与小波基的宽度没有关系，但是短时傅里叶变换与窗口的宽度则有密切联系。
1.2毕业论文的安排 查看完整请+Q:351916072获取
本论文的结构这样安排：
第一章简要介绍傅立叶变换时频小波表示的研究背景和研究进展。
第二章主要介绍小波变换的一些主要概念并且列举了一个基本的小波变换的例子——基于墨西哥帽函数的小波变换。
第三章主要介绍了傅里叶变换的时频小波分解方法和A小波变换的基本概念。
第四章主要描述了在时频域用小波变换表示的逆傅里叶变换。
第五章总结全文，给出本论文的主要体系、架构。
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第一章 绪论 1
1.1Fourier变换的时频小波表示的研究背景 1
1.2毕业论文的安排 1
第二章 小波变换 3
2.1 连续小波变换的定义 3
2.2 典型的小波变换 3
第三章 傅里叶变换的小波表示 5
3.1傅里叶小波变换基本概念 5
3.2 正余弦小波变换 10
3.3半小波变换 16
第四章 逆傅里叶小波变换 17
第五章 全文总结 23
参考文献 24
致谢 25
本文主要利用时频小波对傅里叶变换进行讨论与探索，特别是对一些非平稳信号的讨论与探索。本文主要介绍了傅立叶变换的一种新的表示方法——即用小波变换来表示，并且列举了一些基于Matlab平台的分析研究的计算机仿真与数值计算过程。 M000262
关键词：Fourier变换 小波变换 短时傅里叶变换
Fourier transform is a very significant signal analysis tool. Representing it in the frequency of the wavelet is a relatively new method of signal analysis. Fourier transform can be seen as a signal to be represented as cosine function and sine function. Using Fourier transform to analyze and interpret signals in the frequency domain. It is different to representing one signal in the time domain .But analyzing the signal by Fourier transform in the whole time domain cannot obtain the local frequency of the signal as change of time. The shortcoming of the Fourier transform has overcome greatly by wavelet transform. The wavelet transform both in time domain and frequency domain has good localization characteristics.
In this paper, we introduce the Fourier Transform Representation by Frequency-Time Wavelets, especially for non-stationary signal analysis. In this passage, we mainly introduced a method of representing Fourier transform by wavelets, and give some necessary computer simulation and numerical calculation based on Matlab.
Keywords: Fourier transform; short-time Fourier transform; wavelet transform.
本文基于傅立叶变换的性质，提出了一种新的变换——A小波变换，描述了用小波变换来表示傅里叶变换的一种新方法。A小波变换和传统连续小波变换的主要区别在于他们在时频平面内的几何轨迹不同。A小波变换定义在时频平面内特定的点集上，该变换使用了一个完全可扩展的调制窗口，但不是所有点都适用。推导出小波变换的频率时间点的几何轨迹，并给出了实例。我们认为当信号通过在其轨迹上定义的小波变换的唯一值可以恢复时，对于傅里叶变换来说这个轨迹是最好的。逆傅里叶变换也是由定义在时频平面内一些特殊点的小波变换表示的。A小波变换的概念可扩展为其他统一的变换（如，Hartly变换和余弦变换）。
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1.1Fourier变换的时频小波表示的研究背景
需要比较傅里叶分析和小波分析的情况我们在信号分析和图像处理过程中会经常遇到。小波分析技术十分成功的结合了纯数学理论，应用数学理论与工程技术应用等众多学科的知识。小波分析技术目前已经在语音和图像压缩、计算机应用、信号处理、医疗成像和生物医学等许多领域得到了成功运用。
傅里叶变换（Fourier transform）分析法是一种分析连续时间信号与系统和离散时间信号与系统的主要分析方法。一般情况下，傅立叶变换是比较适合用来研究确定性信号和平稳随机过程的。简而言之，傅里叶变换就是用一组基函数来表示某信号，这组基函数是以复数形式表示的余弦函数或正弦函数。然而，一个信号的傅里叶变换是一种没有时间分辨率的变换，它不能决定信号中正弦波形发生的时间，信号中某一部分的傅立叶变换与该信号的全局量有关。
傅里叶分析通常情况下包括分析非平稳信号时用于语音信号处理的短时傅立叶变换（也可以称为加窗傅里叶变换）。在这个修改后的傅立叶变换的版本中，信号被窗函数分成许多部分，在具体分析每一部分时都要用傅里叶变换。这个窗口是由一个覆盖整个时间域的时间轴通过一些特定步骤转换的。短时傅里叶变换对于所有的频率成分都使用一个单窗口，但是这个单窗口并不能决定当前频率的位置。
小波变换与短时傅里叶变换则不一样，在小波分析中，我们通常用一个完全可扩展的调制窗口来定位一些比较特别的频率点。随着该调制窗口的滑动，就可以计算出每个位置处的部分信号的小波变换。然后一个稍长或稍短的窗口用于计算的每一个新的阶段，这个窗口的规模变量与频率正好成反比。在小波分析中，使用的是可调时频窗，频率比较高时使用较窄的窗口，频率比较低时使用较宽的窗口，因此小波变换可以用不同的尺度表示信号。与此同时我们可以看出小波变换与小波基的宽度没有关系，但是短时傅里叶变换与窗口的宽度则有密切联系。
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本论文的结构这样安排：
第一章简要介绍傅立叶变换时频小波表示的研究背景和研究进展。
第二章主要介绍小波变换的一些主要概念并且列举了一个基本的小波变换的例子——基于墨西哥帽函数的小波变换。
第三章主要介绍了傅里叶变换的时频小波分解方法和A小波变换的基本概念。
第四章主要描述了在时频域用小波变换表示的逆傅里叶变换。
第五章总结全文，给出本论文的主要体系、架构。
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第一章 绪论 1
1.1Fourier变换的时频小波表示的研究背景 1
1.2毕业论文的安排 1
第二章 小波变换 3
2.1 连续小波变换的定义 3
2.2 典型的小波变换 3
第三章 傅里叶变换的小波表示 5
3.1傅里叶小波变换基本概念 5
3.2 正余弦小波变换 10
3.3半小波变换 16
第四章 逆傅里叶小波变换 17
第五章 全文总结 23
参考文献 24
致谢 25
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